田 野，寧 濤，陳志同

（1.北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院復(fù)雜曲面先進(jìn)加工技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191；2.北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院飛行器制造工程實(shí)驗(yàn)室，北京 100191）

復(fù)雜曲面類(lèi)零件被廣泛應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)、直升機(jī)螺旋槳、汽輪機(jī)、汽車(chē)精密模具等關(guān)鍵部件的生產(chǎn)制造中。航空發(fā)動(dòng)機(jī)具有高復(fù)雜度和高精密性的特點(diǎn)，其制造技術(shù)是國(guó)防實(shí)力的重要衡量標(biāo)準(zhǔn)。航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的質(zhì)量很大程度上決定了發(fā)動(dòng)機(jī)的核心性能。葉片曲面的光順造型對(duì)后續(xù)的加工流程極為重要，光順的曲面造型更有利于生成平滑的刀軌，提高加工精度與加工效率。因此葉片的曲面造型不是僅停留在對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)的簡(jiǎn)單擬合來(lái)獲得其大致外形，更重要的是對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行一系列的優(yōu)化，自動(dòng)快速地獲得光順曲面。國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)于曲面的光順造型開(kāi)展了一系列研究。

在葉片光順曲面造型方面，根據(jù)葉片幾何特征間約束的表達(dá)可分為基于曲線變形的曲面造型方法與基于曲線擬合的曲面造型方法。曲線變形方法包含七段圓弧法、非剛性配準(zhǔn)法、分段高斯映射法等。七段圓弧法最早由Mohaghegh 等[1]提出，通過(guò)單層二維截面上數(shù)據(jù)點(diǎn)的劃分來(lái)拼接構(gòu)造七段圓弧以獲得完整截面輪廓線。從特征約束的角度出發(fā)，Mohaghegh 等[2]提出了葉片曲面重構(gòu)的3 個(gè)基本步驟來(lái)構(gòu)造葉片曲面。Piya 等[3]提出分段高斯映射法并在機(jī)翼上應(yīng)用且取得了成功。Li等[4]提出的非剛性變形配準(zhǔn)方法可在一定的精度條件下重構(gòu)多層截面輪廓線。Zhao 等[5]提出基于自由變形的葉片截面線重構(gòu)方法重構(gòu)截面輪廓線。曲線擬合方法中較有代表性的方法為Werghi 等[6–7]提出的直線和圓弧特征在葉片截面輪廓線中的約束擬合法。Ke 等[8]提出了基于B 樣條等自由曲線的約束擬合方法。Khameneifar 等[9]給出了基于數(shù)據(jù)點(diǎn)不確定度的最小波動(dòng)線擬合方法。

在曲面造型這一領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)也進(jìn)行了相當(dāng)多的研究工作。莫堃等[10]提出了結(jié)合流場(chǎng)約束的隱式曲面重構(gòu)方法，保證了重構(gòu)曲面的幾何精度要求。呂學(xué)庚[11]提出一種航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片流曲面重構(gòu)方法，降低了葉片曲面重構(gòu)的不確定性。曲學(xué)軍等[12]利用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)給出了平面輪廓線數(shù)據(jù)的B 樣條曲面擬合算法并對(duì)平面輪廓線掃描數(shù)據(jù)進(jìn)行B 樣條曲面擬合。張?jiān)芠13]給出了一種改進(jìn)的中弧線–厚度分布方法，可用于精鍛葉片自適應(yīng)重構(gòu)。施恒濤等[14]提出了一種基于多項(xiàng)式的曲率連續(xù)前緣造型方法，通過(guò)給定葉片前后緣和葉身交點(diǎn)過(guò)渡部分的中弧線和厚度分布的各階導(dǎo)數(shù)來(lái)保證截面輪廓線曲率連續(xù)。周承號(hào)等[15]對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了流場(chǎng)的數(shù)據(jù)模擬，完成了渦輪葉片的曲面造型。黃攀[16]基于葉片二維翼型及三維葉片泛函集成表達(dá)理論,利用NURBS 節(jié)點(diǎn)控制向量構(gòu)建了風(fēng)力機(jī)葉片曲面模型。

上述研究中依舊存在一些問(wèn)題，具體表現(xiàn)在：（1）通常將每層截面輪廓線作為整體來(lái)進(jìn)行優(yōu)化，生成的整張封閉曲面往往需要在調(diào)整數(shù)據(jù)點(diǎn)位置時(shí)，同時(shí)控制其逼近精度，導(dǎo)致算法異常復(fù)雜，影響在實(shí)際工程中的應(yīng)用；（2）忽視了參數(shù)均勻性對(duì)葉片曲面造型的影響，除了沿截面輪廓線的周向參數(shù)外，葉片曲面沿徑向的參數(shù)均勻性也會(huì)很大程度上影響曲面質(zhì)量。

為了進(jìn)一步解決由于參數(shù)不均勻?qū)е碌那娌还忭槅?wèn)題，本文提出了一種基于高參數(shù)均勻性的葉片曲面光順造型方法：（1）通過(guò)生成4 張曲面以代替整張封閉曲面，實(shí)現(xiàn)了對(duì)葉片造型過(guò)程的解耦，避免葉片邊緣過(guò)渡部分與葉身的過(guò)度約束；（2）以弧長(zhǎng)參數(shù)化方式構(gòu)造關(guān)鍵曲線，在保證造型精度的前提下使多層截面輪廓線光順，達(dá)到葉片周向和徑向同時(shí)參數(shù)均勻?qū)R的效果，提升了曲面的光順程度；（3）用戶輸入數(shù)據(jù)點(diǎn)，應(yīng)用優(yōu)化算法即可高效自動(dòng)地生成光順葉片曲面，極大程度上簡(jiǎn)化了葉片的建模流程。通過(guò)對(duì)某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)葉片數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲面造型與實(shí)際加工，對(duì)提出方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 基于高參數(shù)均勻性的葉片曲面光順造型方法

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片模型構(gòu)造過(guò)程中，可能會(huì)面臨兩方面問(wèn)題。（1）初始數(shù)據(jù)點(diǎn)通常沿徑向分層分布，每一層數(shù)據(jù)點(diǎn)均位于同一平面上，層與層之間相互平行。在構(gòu)建葉片截面輪廓線時(shí)，如直接用封閉曲線擬合，在首尾相接處極易出現(xiàn)不光順現(xiàn)象，邊緣部分曲率變化越劇烈，得到封閉曲線的精度越低，進(jìn)而導(dǎo)致構(gòu)造的曲面發(fā)生扭曲或自交叉。（2）目前曲線的參數(shù)化方式多為積累弦長(zhǎng)參數(shù)化，在數(shù)據(jù)點(diǎn)曲率變化較大的部分，實(shí)際弦長(zhǎng)與實(shí)際弧長(zhǎng)的差值變大，故需要對(duì)積累弦長(zhǎng)參數(shù)化方法進(jìn)行改進(jìn)以提高參數(shù)均勻性，具有高均勻性的參數(shù)可以保證葉片曲面各層截面輪廓線的周向和徑向參數(shù)準(zhǔn)確對(duì)齊，避免曲面起伏或局部厚度變化而導(dǎo)致整體造型結(jié)果不理想，本文提出一種葉片曲面光順造型方法。算法輸入為葉片初始數(shù)據(jù)點(diǎn)信息，通過(guò)數(shù)據(jù)預(yù)處理進(jìn)行初步區(qū)域劃分，進(jìn)而利用樣條擬合以及非線性方程組的迭代求解獲取關(guān)鍵曲線參數(shù)，進(jìn)而結(jié)合中弧線–變半徑厚度圓的曲線包絡(luò)理論生成光順葉片曲面，整體構(gòu)造流程如圖1所示，需要說(shuō)明的是，每個(gè)前置條件衍生出的所有后置條件均需全部滿足，才能進(jìn)入下一流程。

圖1 葉片光順曲面造型流程Fig.1 Process of blade smooth surface modeling

1.1 光順葉片截面輪廓線的快速生成

1.1.1 誘導(dǎo)曲線的構(gòu)造

本文采用中弧線–厚度分布函數(shù)的形式來(lái)生成葉片截面輪廓線，在輸入僅有數(shù)據(jù)點(diǎn)的前提下，首先將數(shù)據(jù)點(diǎn)大致分為葉盆、葉背、前緣、后緣4 個(gè)部分，葉盆曲線與葉背曲線統(tǒng)稱(chēng)為葉身曲線，對(duì)前緣和后緣部分的數(shù)據(jù)點(diǎn)分別進(jìn)行最小二乘圓弧擬合，得到其擬合圓圓心；接著對(duì)葉身部分的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行樣條擬合，以獲得葉身曲線的大致輪廓；最后由兩擬合圓圓心以及其連線的中垂線與葉身曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)生成中弧線的誘導(dǎo)曲線。誘導(dǎo)曲線生成算法具體步驟如下。

（1）將數(shù)據(jù)點(diǎn)分為左右兩個(gè)半?yún)^(qū)，需要先獲取這組數(shù)據(jù)點(diǎn)集的最小二乘直線。對(duì)于同一平面上的數(shù)據(jù)點(diǎn)集，最小二乘直線是指已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)集到該直線距離的平方和最小，即具有最小二乘解。在獲得最小二乘直線LALB后，可以獲取數(shù)據(jù)點(diǎn)集中距離最小二乘直線距離最大的測(cè)量點(diǎn)，記為PA，過(guò)PA做Y軸的平行線LP，找到數(shù)據(jù)點(diǎn)集中距離LP最近的一點(diǎn)，記為PB；以PA和PB將數(shù)據(jù)點(diǎn)分為左右半?yún)^(qū)，申請(qǐng)兩組容器pntsL和pntsR 來(lái)儲(chǔ)存左右半?yún)^(qū)的數(shù)據(jù)。

（2）為將數(shù)據(jù)點(diǎn)分為葉盆、葉背、前緣、后緣4 個(gè)區(qū)域，需要選取4 個(gè)特征點(diǎn)。首先找到數(shù)據(jù)點(diǎn)的精確公切線，由于僅尋找公切線，會(huì)有很多可行解，因此需要加上一個(gè)限制條件：兩個(gè)切點(diǎn)分別位于左右半?yún)^(qū)的下側(cè)。得到的精確公切線CT 和切點(diǎn)PCL、PCR，如圖2所示，選取PCL、PCR作為兩個(gè)特征點(diǎn)。利用已獲取的公切線，遍歷數(shù)據(jù)點(diǎn)集，尋找左右半?yún)^(qū)兩端在公切線方向向量上投影的極值點(diǎn)作為另外兩個(gè)特征點(diǎn)，文中取x坐標(biāo)的極大值點(diǎn)PM與極小值點(diǎn)PN，圖3給出了后緣部分的特征點(diǎn)PN。獲取了全部4 個(gè)特征點(diǎn)后，將數(shù)據(jù)點(diǎn)集分為4 部分并存儲(chǔ)在4組容器中，后緣、葉盆、前緣和葉背部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)存儲(chǔ)容器pnts1、pnts2、pnts3 和pnts4，點(diǎn)區(qū)間的選取規(guī)則為左閉右開(kāi)。

圖2 截面輪廓線數(shù)據(jù)點(diǎn)的精確公切線Fig.2 Exact common tangent of contour data points

圖3 后緣部分的特征點(diǎn)Fig.3 Feature points of trailing edge

（3）利用步驟（2）存儲(chǔ)容器pnts1和pnts3 中的點(diǎn)進(jìn)行最小二乘圓弧擬合，得到葉片前緣與后緣部分的最小二乘擬合圓弧。值得注意的是，進(jìn)行一次擬合很難滿足精度要求，因此需要給定一定的容差δ來(lái)進(jìn)行迭代擬合，容差由葉片造型允許誤差決定。得到滿足精度要求的最小二乘擬合圓弧后，可以獲得兩側(cè)的圓弧圓心，記為O1和O2。

（4）利用步驟（2）存儲(chǔ)容器pnts2和pnts4 中的點(diǎn)，以樣條插值方式得到近似的葉身曲線，記為CA和CB。連接O1和O2，得到線段并計(jì)算出其中垂線T，中垂線T與CA、CB分別交于PU和PD兩點(diǎn)，取PU和PD的中點(diǎn)，記為PO；以O(shè)1、PD、O23 點(diǎn)插值出誘導(dǎo)曲線LG，如圖4所示。

圖4 精確中弧線的獲取Fig.4 Generation of accurate camber curve

1.1.2 弧長(zhǎng)參數(shù)化方式光順中弧線的獲取

根據(jù)1.1.1 節(jié)中生成的誘導(dǎo)曲線，利用改進(jìn)的牛頓迭代法生成初始中弧線，進(jìn)而對(duì)中弧線進(jìn)行弧長(zhǎng)參數(shù)化，最后進(jìn)行給定容差的光順處理，可以得到容差范圍內(nèi)的光順中弧線以及厚度分布函數(shù)。

誘導(dǎo)曲線的參數(shù)區(qū)間Interval 為u∈[0，1]，在誘導(dǎo)曲線上按照一定的步長(zhǎng)取點(diǎn)，過(guò)這些點(diǎn)分別作誘導(dǎo)曲線的垂線，內(nèi)切圓圓心一定在垂線上。葉背曲線CA的含參數(shù)表達(dá)式為CA（s），葉盆曲線CB的含參數(shù)表達(dá)式為CB（t），O（x0，y0）為誘導(dǎo)曲線上的點(diǎn)，將其作為內(nèi)切圓圓心的初始點(diǎn)，內(nèi)切圓半徑為r0，其初始值設(shè)為左側(cè)最小二乘圓弧的半徑，直線VC為過(guò)O點(diǎn)的誘導(dǎo)曲線的垂線且滿足方程Ax0+By0+C=0，Q（s0）與R（t0）分別為VC與CA和CB的交點(diǎn)，將其作為切點(diǎn)初始值；CA'（S0）和CB'（t0）為曲線在該處的切矢，則可列出非線性方程組，即

通過(guò)具有預(yù)估–校正格式的改進(jìn)牛頓迭代法可求解上述非線性方程組，初始值上文已經(jīng)給出。通過(guò)試驗(yàn)得知，上文的初始值迭代運(yùn)算次數(shù)一般在3 次以內(nèi)，可以快速收斂至近似解。可以得到一系列內(nèi)切圓圓心{Oi}以及內(nèi)切圓半徑{ri}，i=0，1，…，n，其中，n為按給定步長(zhǎng)選取的參數(shù)點(diǎn)數(shù)量，進(jìn)而利用3 次樣條插值的方法獲得精確中弧線，其參數(shù)表達(dá)式為MCac（u）。對(duì)生成的精確中弧線進(jìn)行光順處理和弧長(zhǎng)參數(shù)化，首先利用改進(jìn)的能量法，對(duì)中弧線進(jìn)行給定容差的光順處理，得到更加平滑的中弧線，按示例葉片的加工要求，建模允許誤差應(yīng)比最大允許加工誤差降低一個(gè)數(shù)量級(jí)，因此其偏差控制在0.001 mm 以內(nèi)，針對(duì)不同葉片的加工要求，光順偏差可靈活調(diào)整，圖5給出了光順前后的中弧線曲率梳分析。

圖5 中弧線曲率梳分析Fig.5 Analysis of curvature combs of camber curve

目前曲線的參數(shù)化多為積累弦長(zhǎng)參數(shù)化方式，即用弦長(zhǎng)近似代替弧長(zhǎng)，這種參數(shù)化方式在參數(shù)的末端邊界部分會(huì)產(chǎn)生較大的積累誤差。為了消除由于算法本身所帶來(lái)的誤差，對(duì)光順中弧線進(jìn)行重新參數(shù)化，即由積累弦長(zhǎng)參數(shù)化轉(zhuǎn)變?yōu)榛￠L(zhǎng)參數(shù)化。具體分為以下4 個(gè)步驟。

（1）計(jì)算出光順中弧線的總弧長(zhǎng)，然后按照上文給定的參數(shù)步長(zhǎng)在中弧線上取點(diǎn)，記錄下這些數(shù)據(jù)點(diǎn){Di}，以及對(duì)應(yīng)中弧線上的參數(shù){ui}，其中，i=0，1，…，n。

（2）依次計(jì)算從中弧線起始點(diǎn)到數(shù)據(jù)點(diǎn){Di}的弧長(zhǎng)與曲線總弧長(zhǎng)的比值，以這個(gè)比值來(lái)代替原先的參數(shù)，記為{ui'}，i=0，1，…，n。

（3）計(jì)算{ui'}與{ui}的差值，當(dāng)所有差值均小于給定容差 （針對(duì)文中算例，容差取10–6mm）時(shí)弧長(zhǎng)參數(shù)化結(jié)束，令ui=ui'，否則回到步驟（1），直到滿足差值小于給定容差，其中，i=0，1，…，n。

（4）用給定點(diǎn)串和參數(shù)的方式插值步驟 （3）中最終得到的數(shù)據(jù)點(diǎn)，其參數(shù)和節(jié)點(diǎn)矢量均固定，最終得到弧長(zhǎng)參數(shù)化的光順中弧線MC（u）。

1.1.3 光順葉片截面輪廓線生成

在生成弧長(zhǎng)參數(shù)化的光順中弧線后，首先利用中弧線–厚度分布函數(shù)的方式構(gòu)造葉身曲線，然后在葉片截面輪廓線的前緣和后緣部分生成過(guò)渡曲線，并保證過(guò)渡曲線與葉身曲線G1連續(xù)，最終得到光順的葉片截面輪廓線。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下。

（1）求解厚度分布函數(shù)。對(duì)內(nèi)切圓半徑集合{ri}，其中，i=0，1，…，n以及1.1.2 節(jié)中最終得到的中弧線上的參數(shù)集合{ui}進(jìn)行3 次樣條插值可以得到r–u曲線，即厚度分布函數(shù)曲線。

（2）厚度分布函數(shù)曲線的光順與弧長(zhǎng)參數(shù)化。利用改進(jìn)的能量法，對(duì)步驟 （1）中生成的r–u曲線進(jìn)行給定容差的光順處理，得到更加平滑的中弧線，其偏差控制在0.001 mm以內(nèi)。利用與1.1.2 中相同的弧長(zhǎng)參數(shù)化方法對(duì)厚度分布函數(shù)曲線進(jìn)行弧長(zhǎng)參數(shù)化。圖6給出了光順前后的厚度分布函數(shù)曲線以及以曲率為參數(shù)的曲率梳分析。

圖6 厚度分布函數(shù)曲線曲率梳分析Fig.6 Analysis of curvature combs of thickness distribution function curve

（3）生成葉身曲線。利用1.1.2中得到的中弧線MC（u）以及步驟（2）中得到的光順厚度分布函數(shù)曲線生成葉身曲線。首先計(jì)算一系列內(nèi)切圓圓心，中弧線起點(diǎn)記為O0MC，其參數(shù)u0MC=0，終點(diǎn)記為O1MC，其參數(shù)u1MC=0，取參數(shù)中點(diǎn)=（u0MC+u1MC），然后得到對(duì)應(yīng)內(nèi)切圓圓心，計(jì)算到O0MC與O1MC連線之間的距離，當(dāng)距離大于給定容差時(shí) （針對(duì)文中算例，容差取10–4mm），記分別為O3MC、u3MC，O3MC將中弧線分為兩部分，對(duì)這兩部分中弧線重復(fù)上述過(guò)程，直至所有相鄰3 個(gè)內(nèi)切圓圓心均小于給定容差，計(jì)算結(jié)束。

最終得到內(nèi)切圓圓心集合{OiMC}，以及對(duì)應(yīng)中弧線上參數(shù){uiMC}，i=0，1，…，p。其中，p為最終得到的內(nèi)切圓圓心數(shù)量。

通過(guò)上述計(jì)算得到的厚度分布函數(shù)曲線方程以及一系列內(nèi)切圓方程可以看作單參數(shù)曲線族F（x，y，c）=0，其中，c為參數(shù)，對(duì)應(yīng)中弧線上的參數(shù)u，F(xiàn)（x，y，c）對(duì)x，y，c連續(xù)可微。由包絡(luò)曲線的定義可以得到

在式（2）中消去參數(shù)而得到的方程F（x，y）=0，所表示的曲線即為單參數(shù)曲線族F（x，y，c）=0 的包絡(luò)曲線。依此求解可得到葉盆和葉背上的點(diǎn)，然后利用樣條插值得到葉身曲線，如圖7所示。

圖7 葉身曲線Fig.7 Profile of blade

（4）生成過(guò)渡曲線。在得到葉身曲線后，需要生成前緣和后緣部分的過(guò)渡曲線，可得到完整的葉片截面輪廓線；下文以生成葉片的前緣過(guò)渡曲線為例，后緣部分的過(guò)渡曲線生成方法完全相同。分別取葉身曲線的左端點(diǎn)M和N作為生成過(guò)渡曲線的兩個(gè)控制頂點(diǎn)，并生成端點(diǎn)在曲線處的切線TM和TN，過(guò)1.1.1 節(jié)中步驟 （3）得到的擬合最小二乘圓弧的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)做兩條切線的投影，在TM和TN上找到距離葉身左端點(diǎn)最遠(yuǎn)的投影點(diǎn)VA與VB，以此作為擬合過(guò)渡曲線的另兩個(gè)控制頂點(diǎn)。

以4 個(gè)控制頂點(diǎn)M、N、VA、VB生成3 次Bezier 曲線作為初始過(guò)渡曲線，為保證生成的過(guò)渡曲線與葉身曲線的連續(xù)性，將3 次Bezier 曲線進(jìn)行兩次升階操作，即5 次Bezier 曲線；對(duì)5 次Bezier 曲線以1.1.1 節(jié)中步驟（3）得到的擬合最小二乘圓弧的數(shù)據(jù)點(diǎn)為參考點(diǎn)進(jìn)行迭代的逼近與光順處理，直至過(guò)渡曲線與葉身曲線的搭接部分誤差小于10–8mm，以得到與葉身曲線G1連續(xù)的過(guò)渡曲線，如圖8所示。

圖8 過(guò)渡曲線的生成Fig.8 Generation of transition curve

值得指出的是，若直接用擬合最小二乘圓弧的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行迭代逼近與光順處理，會(huì)面臨點(diǎn)串越界的情況，即部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)位于M和N的右側(cè)，因此在進(jìn)行逼近和光順之前，對(duì)擬合最小二乘圓弧的數(shù)據(jù)點(diǎn)集進(jìn)行了處理，剔除掉越界的點(diǎn)。

1.2 光順葉片曲面的生成

1.2.1 葉身曲面造型

在得到光順的葉片截面輪廓線后，通過(guò)曲面放樣可獲得葉盆和葉背兩張曲面。曲面放樣中沿v方向參數(shù)化的具體方法：對(duì)1.1.3 節(jié)中生成的葉身曲線進(jìn)行反算，得到其B 樣條的控制頂點(diǎn)，如圖9所示，以葉盆曲線的一部分為例，RB 和RB'為相鄰兩層葉盆曲線的一部分，{CPi}和{CPi'}（i=0，1，…，6）為對(duì)應(yīng)的控制頂點(diǎn)，求解相鄰兩層對(duì)應(yīng)的控制頂點(diǎn)之間的實(shí)際距離占所有不同層對(duì)應(yīng)控制頂點(diǎn)的實(shí)際距離之和的比例作為v方向的控制參數(shù)。由于同一層截面線上的控制頂點(diǎn)均在同一平面上，且經(jīng)過(guò)1.1.3 節(jié)中步驟（3）的算法處理，所有的葉身曲線非常接近于弧長(zhǎng)參數(shù)化，極大地減小了積累弦長(zhǎng)參數(shù)化引起的不同層截面線之間的u方向誤差，因此可以確保v方向的參數(shù)對(duì)齊且不會(huì)出現(xiàn)參數(shù)曲線扭曲的情況，生成的放樣曲面如圖10所示。

圖9 反算B 樣條的控制頂點(diǎn)Fig.9 Inverse computation of B-splines control points

圖10 放樣曲面Fig.10 Lofted surface

1.2.2 前后緣過(guò)渡曲面造型

拾取兩張曲面，兩條脊線和多條過(guò)渡曲線進(jìn)行融合操作。以前緣過(guò)渡曲面生成為例，其具體步驟如下。

（1）如圖11所示，拾取葉盆曲面SE 和葉背曲面SX，以兩曲面的左邊界SC 與SC'作為前緣過(guò)渡曲面的脊線，相鄰兩層過(guò)渡曲線為T(mén)C0與TC1。TC0與SC、SC'交于IP0、IP0'并取連線的中點(diǎn)O0作為原點(diǎn)，過(guò)O0作平面PV垂直于線段IP0IP0'，過(guò)IP0作SC的切線T0，過(guò)IP0'作SC'的切線T0'，將T0與T0'求平均并投影到平面PV，投影所得向量為x軸，以平面PV中x軸的垂線方向?yàn)閦軸，利用右手定則得到y(tǒng)軸建立局部坐標(biāo)O0xyz。同樣的方法用于TC1建立局部坐標(biāo)系O1xyz。

圖11 融合曲面Fig.11 Blend surface

（2）取曲線SC 在IP0與IP1之間的部分取參數(shù)中點(diǎn)，得到IP2，對(duì)SC'采用相同的策略，獲得IP2'，用步驟（1）中的方法建立局部坐標(biāo)系O2xyz，將TC0與TC1在O2yz面內(nèi)的投影曲線進(jìn)行加權(quán)平均，并對(duì)其添加限制條件，令其兩個(gè)端點(diǎn)分別與IP2、IP2'兩點(diǎn)重合，且端點(diǎn)處與SE、SX 與O2yz平面的交線保持G1連續(xù)，利用迭代逼近的方法得到插值曲線TC2。

（3）對(duì)全部相鄰的過(guò)渡曲線重復(fù)步驟 （2），直至滿足密度要求，得到曲線組{TC0，TC1，…，TCn}，其中，n為給定曲線密度，以得到的曲線組生成平滑過(guò)渡曲面。

文中算法均在CAM5 曲面造型系統(tǒng)中進(jìn)行開(kāi)發(fā)，在葉片的光順造型過(guò)程中，用戶選擇航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的數(shù)據(jù)點(diǎn)文件，系統(tǒng)讀取數(shù)據(jù)點(diǎn)后，在用戶操作下，自動(dòng)進(jìn)行葉片曲面光順造型相關(guān)操作，包含誘導(dǎo)曲線的構(gòu)造、弧長(zhǎng)參數(shù)化方式光順中弧線的獲取、光順葉片截面輪廓線生成、葉身曲面造型以及前后緣過(guò)渡曲面造型，直到完成葉片曲面光順造型。

2 結(jié)果分析

2.1 理論分析

假設(shè)給出某條曲線的參數(shù)表達(dá)式C（u），a≤u≤b，其中，a∈R，b∈R，曲線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)集為{pi}，其中，i=0，1，…，n，則按照積累弦長(zhǎng)參數(shù)化所得到的參數(shù)區(qū)間為

對(duì)于曲線C（u），弧長(zhǎng)參數(shù)表示式為

式中，s為弧長(zhǎng)參數(shù)；a為曲線初始參數(shù)左邊界；t為積分參數(shù)；s（t）為一個(gè)確定的極限，與曲線整體長(zhǎng)度、數(shù)據(jù)點(diǎn)集分布、曲線局部的曲率變化率無(wú)關(guān)，因此其精度高于積累弦長(zhǎng)參數(shù)化。本文的優(yōu)化方法構(gòu)造了弧長(zhǎng)參數(shù)化的光順中弧線以及葉身曲線，選擇合適的曲面放樣方法得到葉身曲面。在邊緣過(guò)渡部分，由于曲線整體長(zhǎng)度較短，且脊線參數(shù)分布合理 （為葉身曲面的邊界），故采取積累弦長(zhǎng)參數(shù)化方式，為盡量消除曲率變化率對(duì)精度的影響，在參數(shù)化時(shí)采取了加密的策略。數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)經(jīng)上述步驟完全確定，在4 張曲面上的數(shù)據(jù)點(diǎn)沿雙方向等參數(shù)線曲率變化平滑，避免了曲面的扭曲現(xiàn)象，達(dá)到光順的效果。

2.2 造型實(shí)例分析

為驗(yàn)證本文提出的葉片曲面光順造型方法的正確性，選取具有20層截面輪廓線的某型號(hào)航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片數(shù)據(jù)點(diǎn)為例，進(jìn)行了葉片曲面光順造型試驗(yàn)驗(yàn)證，葉片的加工最大允許誤差為–0.03～+0.05 mm。通過(guò)對(duì)造型結(jié)果以及實(shí)際加工效果的分析，驗(yàn)證了所提出方法的正確性。結(jié)果分析從以下4 方面進(jìn)行。

（1）精度分析。計(jì)算所有數(shù)據(jù)點(diǎn)到生成曲面的距離，為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，圖12中僅展示葉背曲面的100 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)及后緣過(guò)渡曲面的100 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。其中數(shù)據(jù)點(diǎn)到葉身曲面的最大距離為0.008915 mm，到前緣后緣過(guò)渡曲面最大距離為0.006173 mm，均滿足葉片建模的精度要求。

圖12 數(shù)據(jù)點(diǎn)到曲面的距離Fig.12 Distance of data point to surface

（2）曲面曲率分析。分別對(duì)初始葉片曲面和經(jīng)過(guò)手工調(diào)整的模型曲面以及利用文中算法生成的光順葉片曲面進(jìn)行曲率分析。圖13中曲面由左至右分別是UG 初始建模曲面、人工調(diào)整的曲面和光順造型曲面。從分析結(jié)果可以看出，UG 直接通過(guò)插值曲線和曲線組方式建模，將葉片模型作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行曲面建模，其在前緣和后緣部分有曲率突變并延伸到了葉身部分 （圖13（b）），人工調(diào)整的模型曲面有同樣的問(wèn)題，而通過(guò)文中方法進(jìn)行的葉片光順曲面建模是由葉盆、葉背、前緣、后緣4個(gè)部分構(gòu)成，通過(guò)精確的分區(qū)避免了曲率突變問(wèn)題，較劇烈的曲率變化被嚴(yán)格地限制在邊緣過(guò)渡曲面部分，在邊緣和葉身過(guò)渡部分曲率變化更加平滑，曲面的整體也更加光順。

圖13 曲面的曲率分析Fig.13 Curvature analysis of surfaces

（3）截面輪廓線曲率梳分析。截面輪廓線的曲率梳分析最能說(shuō)明曲線的光順性，以曲率為參數(shù)對(duì)3 個(gè)模型均進(jìn)行了相同參數(shù)位置的截面輪廓線曲率梳生成。初始模型的截面輪廓線在前后緣過(guò)渡部分保持了G1連續(xù)，但葉身曲線曲率變化不平滑；手工調(diào)整模型是根據(jù)加工經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)人工修改數(shù)據(jù)點(diǎn)使其符合加工要求，可以看到，其葉身曲率變化不平滑，且在前后緣過(guò)渡部分無(wú)法保證G1連續(xù)。雖然可以生成較為平滑的刀軌，但是對(duì)于曲面建模而言具有很大的風(fēng)險(xiǎn)與不確定性。通過(guò)分析對(duì)比 （圖14）可以得到結(jié)論：應(yīng)用文中算法進(jìn)行快速建模的光順葉片曲面模型，其截面輪廓線曲率變化平滑，且在前緣后緣部分保持G1連續(xù)，具有良好的幾何性質(zhì)。

圖14 截面輪廓線曲率梳分析Fig.14 Curvature comb of profile curves

（4）刀軌平滑性分析。應(yīng)用控制變量法，分別在3 個(gè)模型中生成的葉片曲面上相同區(qū)域選取相同的加工參數(shù)生成刀軌，在初始模型中生成的刀軌有回折，從而引起刀軸突變，因此試件加工后表面會(huì)有振紋，加工效果很差。而應(yīng)用文中算法生成的葉片曲面上的刀軌平滑無(wú)回折，加工效果較好且滿足加工要求，如圖15和16 所示。由此可以得到結(jié)論：利用文中優(yōu)化方法快速自動(dòng)生成的光順葉片曲面具有良好的參數(shù)均勻性及光順度，減少了刀軌的波動(dòng)性，從而大幅提高加工質(zhì)量、減少機(jī)床磨損。

圖15 刀具軌跡的生成Fig.15 Generation of toolpaths

3 結(jié)論

圖16 經(jīng)過(guò)加工的葉片F(xiàn)ig.16 Machined blade

（1）本文以航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片為研究對(duì)象，對(duì)葉片曲面造型中存在的問(wèn)題進(jìn)行分析，將葉片特征之間的關(guān)系解耦與特征曲面均勻參數(shù)化相結(jié)合，提出了基于高參數(shù)均勻性的葉片曲面光順造型方法?？紤]到葉片目前的整體造型過(guò)程較為煩瑣，將優(yōu)化算法集合于曲面造型系統(tǒng)中，用戶可以通過(guò)簡(jiǎn)易操作自動(dòng)高效地獲取光順的葉片曲面。

（2）本文提出優(yōu)化算法通過(guò)生成4 張曲面以代替整張封閉曲面，實(shí)現(xiàn)了對(duì)葉片造型過(guò)程的解耦，避免了葉片邊緣過(guò)渡部分和葉身部分的過(guò)度約束，在使算法流程簡(jiǎn)化的同時(shí)保證了造型精度，利于在實(shí)際工程中的應(yīng)用。

（3）在葉片造型過(guò)程中實(shí)現(xiàn)特征曲面雙方向均勻參數(shù)化，有效提升了曲面的光順程度，便于后續(xù)的加工。在葉片曲面上具有相同v參數(shù)的點(diǎn)可以構(gòu)成等v參數(shù)線族，在實(shí)際加工中可以進(jìn)一步研究此曲線族與加工方法的關(guān)系。文中提出的方法還可以推廣至其他具有復(fù)雜曲面特征的典型航空類(lèi)零件的曲面造型。

（4）在輸入數(shù)據(jù)點(diǎn)后，用戶只需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的操作即可應(yīng)用優(yōu)化算法快速自動(dòng)地生成光順葉片曲面，解決了葉片曲面造型整體流程煩瑣的問(wèn)題。將優(yōu)化方法應(yīng)用于某型號(hào)葉片的實(shí)際加工，數(shù)據(jù)分析和加工效果驗(yàn)證了方法的正確性。