趙 歡

(西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

引言

隨著人們對(duì)設(shè)計(jì)外形的性能表現(xiàn)和可信度要求的不斷提高,高可信度計(jì)算流體力學(xué)(computational fluid dynamics,CFD)數(shù)值模擬希望被應(yīng)用到氣動(dòng)設(shè)計(jì)中,這使得相同數(shù)量樣本的CFD 分析計(jì)算花費(fèi)急劇增加,因此急需發(fā)展更有效的代理優(yōu)化方法[1-4].為此,最流行的手段之一就是利用多可信度代理模型代替原來(lái)的單可信度代理模型以減少代理建模和優(yōu)化過(guò)程所使用的高可信度樣本數(shù)量.多可信度代理模型通過(guò)使用大量且廉價(jià)的低可信度樣本建模來(lái)反映高可信度模型趨勢(shì),并利用少量的高可信度樣本對(duì)該模型進(jìn)行修正,從而顯著減小構(gòu)造高可信度代理模型所需的計(jì)算花費(fèi)(更少的高可信度樣本數(shù)),提高了代理建模和代理優(yōu)化效率[5].

多可信度代理模型主要有3 種構(gòu)建方式[6],即加法或乘法標(biāo)度、混合標(biāo)度以及空間映射.加法標(biāo)度相對(duì)于乘法標(biāo)度能夠更好地全局近似高可信度分析函數(shù),魯棒性也更好.典型的如多可信度多項(xiàng)式混沌展開(kāi)(polynomial chaos expansion,PCE)[7]使用加法標(biāo)度對(duì)低可信度稀疏PCE 中重要項(xiàng)的恢復(fù)系數(shù)進(jìn)行修正,以減少所需的高可信度樣本數(shù).其建模效率相對(duì)于單可信度稀疏PCE 提高一倍多.但多可信度PCE 方法[7]缺乏合適的標(biāo)準(zhǔn)確定多項(xiàng)式矯正項(xiàng)項(xiàng)數(shù),對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題需要多次試探,從而引入了額外的計(jì)算花費(fèi).然而,單一的加法或乘法標(biāo)度缺乏對(duì)更多問(wèn)題的適應(yīng)性[6],為此研究者又提出了混合標(biāo)度法,即同時(shí)使用加法和乘法標(biāo)度修正低可信度模型.在各種混合標(biāo)度法中,兩種最流行的形式包括混合橋函數(shù)法[8]和類似co-Kriging[9]和分層Kriging(hierarchical Kriging,HK)[10]的貝葉斯估計(jì)方法[6].混合橋函數(shù)法指使用系數(shù)分別對(duì)乘法修正因子和加法修正因子進(jìn)行加權(quán).

相比于混合橋函數(shù)法,基于貝葉斯理論的co-Kriging[9]和HK 對(duì)許多問(wèn)題表現(xiàn)出了良好的靈活性和魯棒性,被廣泛用于航空航天系統(tǒng)優(yōu)化[1]和穩(wěn)健設(shè)計(jì)[11]中.co-Kriging 和HK 使用縮放因子和靜態(tài)高斯隨機(jī)過(guò)程分別作為乘法標(biāo)度項(xiàng)和加法標(biāo)度項(xiàng)對(duì)低可信度Kriging 模型進(jìn)行修正,從而獲得對(duì)高可信度函數(shù)的近似.隨后,研究者分別將co-Kriging 和HK 推廣到任意多層可信度數(shù)據(jù)建模和優(yōu)化設(shè)計(jì)中,優(yōu)勢(shì)更加明顯.然而對(duì)于復(fù)雜氣動(dòng)外形精細(xì)化設(shè)計(jì)問(wèn)題,仍然難以避免相關(guān)矩陣規(guī)模和條件數(shù)過(guò)大導(dǎo)致的訓(xùn)練花費(fèi)過(guò)高和精度急劇下降問(wèn)題.更嚴(yán)重的是,Toal[12]和Zhao 等[13]均發(fā)現(xiàn): 當(dāng)高、低可信度模型之間偏差較復(fù)雜(高非線性/高階)或高可信度模型是高非線性/高階時(shí),類似co-Kriging 和HK 等多可信度代理模型使用縮放因子(對(duì)低可信度Kriging)和高斯隨機(jī)過(guò)程項(xiàng)難以準(zhǔn)確近似這部分復(fù)雜(高非線性)偏差.即使使用更多高可信度樣本,其建模精度也難以和直接使用高階多項(xiàng)式作為趨勢(shì)函數(shù)的多項(xiàng)式混沌-Kriging (polynomial chaos-Kriging,PCKriging)等相比,缺乏對(duì)飛行器復(fù)雜氣動(dòng)設(shè)計(jì)等許多工程問(wèn)題所需的建模效率和泛化能力.

不僅如此,低可信度模型的選擇對(duì)多可信度代理模型的建模效率和精度有顯著影響,越好的低可信度模型應(yīng)該是其與高可信度模型間的偏差越簡(jiǎn)單或者相對(duì)于高可信度模型更低階[14].然而,越好的低可信度模型可能要求更高的計(jì)算花費(fèi).Peherstorfer等[6]在多可信度代理模型綜述中指出低可信度模型可以通過(guò)3 種方式獲得,即簡(jiǎn)化的低可信度模型、基于投影的低可信度模型以及數(shù)據(jù)擬合的低可信度模型.簡(jiǎn)化的低可信度模型指通過(guò)專業(yè)知識(shí)對(duì)高可信度模型進(jìn)行適度簡(jiǎn)化,如在流場(chǎng)特性分析時(shí),可以采用從直接數(shù)值模擬(direct numerical simulation,DNS)到大渦模擬(large eddy simulation,LES)、雷諾平均(Reynolds average Navier-Stokes,RANS)、

Euler 方程再到勢(shì)流方程求解等,或者對(duì)于確定的物理方程如RANS,可使用從密網(wǎng)格再到不同密度的稀網(wǎng)格等,他們依次降低可信度和計(jì)算花費(fèi).而基于投影的低可信度模型指通過(guò)數(shù)學(xué)的方法探測(cè)問(wèn)題內(nèi)在的結(jié)構(gòu),比如通過(guò)在低維子空間投影得到的降階模型等.數(shù)據(jù)擬合類低可信度模型指構(gòu)建輸入到輸出的低可信度映射或數(shù)學(xué)近似模型等,如低階回歸或插值等.不同的多可信度代理模型對(duì)低可信度模型的要求和適應(yīng)性不同,也顯著影響了他們的建模效率和泛化能力,越好的多可信度代理模型應(yīng)該能適應(yīng)廣泛的低可信度模型并提供良好的預(yù)測(cè)能力.

多可信度代理模型泛化能力的不足也嚴(yán)重影響了代理優(yōu)化算法的表現(xiàn)[4].為了改進(jìn)基于多可信度代理模型的優(yōu)化算法的表現(xiàn),目前主要包括兩方面有潛力工作.其一,改進(jìn)多可信度代理模型的泛化能力[12].如前所述,當(dāng)前流行的多可信度代理模型如co-Kriging,HK 以及多可信度多項(xiàng)式混沌(multifidelity polynomial chaos expansion,MF-PCE)等模型在不同問(wèn)題中表現(xiàn)差異明顯.在實(shí)際問(wèn)題中,如果使用不當(dāng)他們建模和優(yōu)化效果可能很差.基于此,文獻(xiàn)[13,15] 提出了一種自適應(yīng)多可信度PC-Kriging(multi-fidelity polynomial chaos-Kriging,MF-PCK)代理模型對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了有效解決,并通過(guò)在復(fù)雜數(shù)值函數(shù)和氣動(dòng)數(shù)據(jù)建模問(wèn)題中驗(yàn)證表明: 其相對(duì)于流行的通用Kriging,MF-PCE 和HK 等對(duì)高非線性/高階響應(yīng)的泛化能力更強(qiáng)和建模效率更高.其二,發(fā)展更有效的多可信度優(yōu)化加點(diǎn)準(zhǔn)則[16].目前針對(duì)多可信度代理優(yōu)化的加點(diǎn)策略研究仍比較少.Zhang 等[17]針對(duì)分層Kriging (HK)模型提出了變可信度期望改進(jìn)(variable-fidelity expected improvement,VF-EI)加點(diǎn)策略.Huang 等[18]提出通過(guò)最大化增廣EI (augmented expected improvement,AEI)函數(shù)來(lái)選取高或低可信度樣本點(diǎn).Jiang 等[19]發(fā)展的基于變可信度Kriging 的變可信度置信下屆(VF-LCB)準(zhǔn)則等.然而,此類多可信度優(yōu)化加點(diǎn)策略對(duì)更多工程實(shí)際問(wèn)題的適應(yīng)性以及效率并沒(méi)有得到廣泛驗(yàn)證,尤其難以適用于一般多可信度代理模型如多可信度多項(xiàng)式混沌以及多可信度徑向基函數(shù)等.

如上所述,如何發(fā)展新的多可信度代理模型以改進(jìn)他們的泛化能力,以及改進(jìn)基于多可信度代理模型的全局優(yōu)化能力和拓寬應(yīng)用范圍是當(dāng)前亟需解決的難題.針對(duì)第一個(gè)難題,本文首先引入了作者提出的自適應(yīng)多可信度多項(xiàng)式混沌-Kriging (MFPCK) 代理模型[13].該MF-PCK 模型通過(guò)結(jié)合PCE 的全局近似特性以及Kriging 的局部插值特點(diǎn),自適應(yīng)選擇最優(yōu)的多項(xiàng)式基函數(shù)和構(gòu)建最優(yōu)的多可信度代理模型.該方法已經(jīng)通過(guò)多個(gè)復(fù)雜數(shù)值函數(shù)算例和跨音速氣動(dòng)數(shù)據(jù)建模應(yīng)用進(jìn)行了廣泛驗(yàn)證,結(jié)果均表明,其相對(duì)于分層Kriging,PC-Kriging以及多可信度PCE 等流行代理模型全局建模效率和泛化能力均顯著提高,尤其對(duì)高階/高非線性等復(fù)雜響應(yīng)的近似準(zhǔn)確率提升顯著,大大拓展了多可信度代理模型的應(yīng)用范圍和適應(yīng)性.針對(duì)第二個(gè)難題,本文發(fā)展了基于MF-PCK 代理模型的高維全局氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法,和基于MF-PCK 代理模型的全局優(yōu)化加點(diǎn)方法,顯著改進(jìn)了多可信度代理優(yōu)化算法的優(yōu)化效率和優(yōu)化能力.為了驗(yàn)證新方法的表現(xiàn),本文將其應(yīng)用在經(jīng)典的數(shù)值算例,以及跨音速氣動(dòng)外形確定性優(yōu)化和復(fù)雜的氣動(dòng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用中.結(jié)果均表明,基于MF-PCK 代理模型的優(yōu)化方法相對(duì)于基于Kriging 的代理優(yōu)化算法效率提高超過(guò)一倍,并且結(jié)果更好也更可靠.該方法的成功驗(yàn)證為未來(lái)發(fā)展基于MF-PCK 代理模型的大規(guī)模變量全局優(yōu)化設(shè)計(jì)新方法奠定了基礎(chǔ)[20],也為解決當(dāng)前多可信度代理優(yōu)化算法適應(yīng)范圍窄的難題提供了新思路.

1 自適應(yīng)多可信度PC-Kriging 代理模型

在氣動(dòng)特性數(shù)值分析中,CFD 模擬根據(jù)所使用的網(wǎng)格數(shù)量,控制方程及近似假設(shè)等不同可以提供多個(gè)可信度系列樣本數(shù)據(jù).低可信度模型能提供相對(duì)于高可信度模型可參考的趨勢(shì),并且越低可信度的模型其計(jì)算花費(fèi)也通常顯著更低.利用數(shù)量充足但計(jì)算花費(fèi)非常低的低可信度樣本來(lái)訓(xùn)練趨勢(shì)模型將大大減少多可信度代理模型的建?；ㄙM(fèi).本文結(jié)合多可信度建模技術(shù)發(fā)展了一種更加高效的代理建模途徑.

1.1 多可信度多項(xiàng)式混沌-Kriging 模型近似

多可信度建模技術(shù)通過(guò)有技巧地利用充足但廉價(jià)的低可信度數(shù)據(jù)去輔助多可信度代理建模,在提高代理建模精度的同時(shí),顯著降低計(jì)算花費(fèi)[6-7,14,21].為此,提出一種全新的混合標(biāo)度形式來(lái)矯正低可信度PC-Kriging 模型[13],即

其中 α0為多乘標(biāo)度因子,其暗示了高、低可信度模型之間的相關(guān)性,C(X) 為增加標(biāo)度項(xiàng).代表低可信度PC-Kriging 預(yù)測(cè)器.MF-PCK 使用基于LAR的低可信度PC-Kriging 作為預(yù)測(cè)模型,即

式 中rl=[R(X(1),X),R(X(2),X),···,R(X(Nl),X)]T表 示低可信度觀測(cè)樣本Sl與未知點(diǎn)X之間的相關(guān)向量,他們的計(jì)算均需要代入低可信度模型相關(guān)的超參數(shù)θl和ql,具體可參考文獻(xiàn)[13,22].

在式(1)中,yc(X)是對(duì)低可信度PCE 的矯正修正項(xiàng).多項(xiàng)式校正展開(kāi)項(xiàng)表達(dá)如下

其中 αci和Ac分別表示校正展開(kāi)多項(xiàng)式項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)的多項(xiàng)式項(xiàng)索引集合.式(3)中校正展開(kāi)多項(xiàng)式項(xiàng)必須是低可信度PC-Kriging 模型中多項(xiàng)式項(xiàng)的子集.本文設(shè)計(jì)了一種新的基于嵌套留一交叉驗(yàn)證(leave-one-out cross-validation,LOOCV)的LAR 自適應(yīng)基函數(shù)選擇方法(即Nested LOOCV-LAR),詳情可見(jiàn)1.2 節(jié).

通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)“universal Kriging”擬合過(guò)程即可得到MF-PCK 在未知點(diǎn)的預(yù)測(cè)模型,可參考前期工作[13],得到MF-PCK 預(yù)測(cè)模型在未知點(diǎn)X的預(yù)測(cè)值為

1.2 基于LOOCV-LAR 的自適應(yīng)基函數(shù)選擇方法

為了構(gòu)建最優(yōu)的MF-PCK 預(yù)測(cè)模型,本節(jié)設(shè)計(jì)了一個(gè)基于嵌套留一交叉驗(yàn)證?最小角回歸(nested LOOCV-based LAR,LOOCV-LAR)方法來(lái)選擇最優(yōu)的多項(xiàng)式項(xiàng)集合,以建立最優(yōu)的MF-PCK 預(yù)測(cè)模型.該方法詳細(xì)步驟如下.

2 基于MF-PCK 模型的自適應(yīng)加點(diǎn)優(yōu)化方法

2.1 基于MF-PCK 代理模型的優(yōu)化流程

如上所述,相對(duì)于單可信度代理模型,為了相同的近似準(zhǔn)確率,多可信度代理模型能顯著減少計(jì)算花費(fèi).因此,應(yīng)用多可信度代理模型到氣動(dòng)優(yōu)化中能使高、低精度的樣本數(shù)據(jù)有機(jī)結(jié)合,以平衡分別基于高、低可信度數(shù)據(jù)優(yōu)化的差異,減少迭代周期和總花費(fèi).本文以第1 節(jié)提出的自適應(yīng)MFPCK 代理模型為基礎(chǔ),發(fā)展基于變可信度模型的加點(diǎn)準(zhǔn)則.基于MF-PCK 代理模型的優(yōu)化流程圖如圖2 所示.

圖1 自適應(yīng)選擇最相關(guān)的低可信度多項(xiàng)式集合和最優(yōu)的矯正多項(xiàng)式集合圖示說(shuō)明Fig.1 Sketch map in selecting the optimal cardinalities of the lowfidelity PCE and corresponding correction expansion for the optimal MFPCK model

圖2 基于自適應(yīng)MF-PCK 的多可信度氣動(dòng)優(yōu)化流程圖Fig.2 The flow chart of adaptive MF-PCK-based multi-fidelity aerodynamic optimization algorithm

2.2 變可信度期望改進(jìn)加點(diǎn)方法

變可信度期望改進(jìn)(VF-EI)加點(diǎn)策略是基于基本的EI 加點(diǎn)方法和分層Kriging 方法發(fā)展而來(lái)的[17],本文在此基礎(chǔ)上發(fā)展了基于新型MF-PCK 的VFEI 加點(diǎn)策略.由第1 節(jié)發(fā)展的MF-PCK 預(yù)測(cè)器在任意點(diǎn)X的預(yù)測(cè)值為

則在任意點(diǎn)的均方差預(yù)測(cè)(MSE)為

在VF-EI 中,MF-PCK 預(yù)測(cè)的不確定性被定義為

相對(duì)于基于HK 定義的VF-EI 加點(diǎn)方法[17],基于MF-PCK 的VF-EI 方法能提供更好的全局趨勢(shì)預(yù)測(cè)能力和局部空間預(yù)測(cè)精度.這是因?yàn)榉謱覭riging和co-Kriging 等模型僅僅使用縮放因子和高斯隨機(jī)過(guò)程去建模高、低可信度模型之間的差異部分,而廣泛的工程問(wèn)題中高、低可信度模型之間的差異是非常復(fù)雜和高非線性的,這使得他們難以提供準(zhǔn)確的趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型,也就導(dǎo)致了他們的均方差預(yù)測(cè)無(wú)法準(zhǔn)確暗示誤差最大位置.而MF-PCK 模型使用低可信度PC-Kriging 和高可信度矯正展開(kāi)多項(xiàng)式可以準(zhǔn)確地近似高可信度函數(shù)趨勢(shì)部分,高斯隨機(jī)過(guò)程可以精確模擬剩余殘差,使得MF-PCK 均方差預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)誤差一致性更好,近似高可信度模型的準(zhǔn)確率也顯著更高[13],更多詳細(xì)的分析和驗(yàn)證可參考課題組相關(guān)的文獻(xiàn)[13].通過(guò)相似的方式[24],可以得到目標(biāo)函數(shù)改進(jìn)的期望為

然后在VF-EI 加點(diǎn)過(guò)程中的子優(yōu)化就為尋找合適的加點(diǎn)位置以及可信度水平使VF-EI 最大,即

其中 gj表示約束函數(shù),mc為約束函數(shù)個(gè)數(shù).

3 優(yōu)化應(yīng)用驗(yàn)證

為了檢測(cè)提出的MF-PCK 代理模型在優(yōu)化設(shè)計(jì)中的表現(xiàn),本節(jié)分別使用一個(gè)典型函數(shù)優(yōu)化算例和兩個(gè)氣動(dòng)優(yōu)化應(yīng)用進(jìn)行測(cè)試.基于MF-PCK 代理模型的優(yōu)化過(guò)程使用VF-EI 加點(diǎn)策略(MF-PCK_VFEI),并與使用基于Kriging 的EI (Kriging_EI)加點(diǎn)算法和使用基于分層Kriging (HK)的VF-EI (HK_VFEI)加點(diǎn)算法進(jìn)行對(duì)比,3 種優(yōu)化方法均使用全局加強(qiáng)學(xué)習(xí)粒子群(comprehensive learning particle swarm optimizer,CLPSO)算法.

3.1 函數(shù)優(yōu)化測(cè)試

測(cè)試函數(shù)使用Branin 函數(shù),其表達(dá)式為

相應(yīng)的低可信度表達(dá)為

Branin 函數(shù)的函數(shù)值分布如圖3 所示,圖中紅色實(shí)心點(diǎn)表示3 個(gè)最小值位置,最小值均為0.397887,最小值位置分別為 (?π,12.275),(π,2.275)以 及 (9.42 478,2.475).對(duì)應(yīng)Branin 函數(shù)的低可信度函數(shù)如圖4 所示.對(duì)基于MF-PCK_VF-EI 和HK_VF-EI 的多可信度優(yōu)化過(guò)程,通過(guò)拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling,LHS) 分別選取5 個(gè)高可信度樣本點(diǎn)和50 個(gè)低可信度樣本點(diǎn)作為初始樣本點(diǎn),而基于Kriging_EI 的代理優(yōu)化過(guò)程選取10 個(gè)高可信度樣本點(diǎn)作為初始樣本.3 種方法均使用全局加強(qiáng)學(xué)習(xí)粒子群(CLPSO) 優(yōu)化算法.當(dāng)兩種方法分別添加50 個(gè)高可信度樣本點(diǎn)時(shí),結(jié)果均接近收斂,高可信度樣本點(diǎn)對(duì)比分布如圖5～ 圖7 所示.基于MF-PCK_VF-EI 和HK_VF-EI 的方法在3 個(gè)極值點(diǎn)附近均添加了更多樣本點(diǎn),而基于Kriging_EI 的方法添加樣本點(diǎn)的位置仍然變化較大.圖8 給出了函數(shù)值收斂過(guò)程對(duì)比,明顯可以看出,基于MF-PCK_VF-EI 的方法優(yōu)化過(guò)程收斂最快,其次是基于HK_VF-EI 的方法,并且兩種多可信度代理優(yōu)化方法均較基于Kriging_EI 的優(yōu)化算法收斂更快.基于MF-PCK_VF-EI的優(yōu)化方法在添加了20 個(gè)高可信度樣本以后就已經(jīng)收斂,而基于HK_VF-EI 和Kriging_EI 的優(yōu)化方法則分別需要添加37 和40 個(gè)高可信度樣本以后才接近收斂.圖9 給出了每次加點(diǎn)位置處預(yù)測(cè)誤差對(duì)比曲線.可以看出,基于MF-PCK_VF-EI 方法的預(yù)測(cè)誤差明顯小于基于HK_VF-EI 和Kriging_EI 方法的預(yù)測(cè)誤差,并且較早收斂;而基于HK_VF-EI 和Kriging_EI 的方法都需要添加到40 個(gè)樣本以后,預(yù)測(cè)誤差才不再明顯波動(dòng).表1 給出了3 種方法找到的最優(yōu)位置和最優(yōu)值對(duì)比,可以看出,在相同較少的計(jì)算花費(fèi)下,基于MF-PCK 的方法找到的最優(yōu)值低于基于HK_VF-EI 和Kriging_EI 的方法找到的最優(yōu)值,他們找到的位置也有較大區(qū)別.

圖3 Branin 函數(shù)及最優(yōu)值位置Fig.3 The Branin function contour

圖4 近似Branin 函數(shù)的低可信度函數(shù)Fig.4 The corresponding LF function of Branin function

圖5 基于Kriging_EI 加點(diǎn)過(guò)程Fig.5 The infilling process of Kriging_EI optimization method

圖6 基于HK_VF-EI 的加點(diǎn)過(guò)程Fig.6 The infilling process of HK_VF-EI optimization method

圖7 基于MF-PCK_VF-EI 的加點(diǎn)過(guò)程Fig.7 The infilling process of MF-PCK_VF-EI optimization method

圖8 函數(shù)值收斂過(guò)程對(duì)比Fig.8 The convergence history of the function values

圖9 代理模型預(yù)測(cè)誤差收斂過(guò)程對(duì)比Fig.9 The convergence history of the surrogate prediction errors

表1 3 種優(yōu)化方法結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison of optimization results using three methods

3.2 跨音速氣動(dòng)優(yōu)化應(yīng)用

3.2.1 跨音速RAE2822 翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)

首先測(cè)試了針對(duì)RAE2822 翼型的不同網(wǎng)格水平的計(jì)算結(jié)果.網(wǎng)格為C 型拓?fù)?遠(yuǎn)場(chǎng)距離為50 倍翼型弦長(zhǎng),湍流模型均使用兩方程SST.不同網(wǎng)格量網(wǎng)格近場(chǎng)分布如圖10 所示.遠(yuǎn)場(chǎng)網(wǎng)格分布如圖11所示.選取的典型計(jì)算狀態(tài)為:Ma=0.734,Re=6.5×106,以及Cl=0.824(α=2.79?).圖12 給出了數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)值壓力分布對(duì)比.可以看出,隨著網(wǎng)格密度增加,數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合越來(lái)越好,對(duì)激波位置和強(qiáng)度的捕捉也更為準(zhǔn)確.表2 給出了數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)氣動(dòng)力系數(shù)的對(duì)比.結(jié)果顯示,從稀網(wǎng)格(L1水平)增加到中等網(wǎng)格(L3水平),網(wǎng)格量增加了接近20.25 倍,阻力系數(shù)誤差降低了17.22%.繼續(xù)增加網(wǎng)格量到密網(wǎng)格(L5水平),網(wǎng)格量增加了49.5 倍,阻力系數(shù)降低了18.80%,而與L3水平僅僅相差了1.58%,壓力系數(shù)分布接近收斂.因此本文分別使用L1水平和L3水平為低可信度和高可信度樣本CFD 分析網(wǎng)格,使用L5水平網(wǎng)格作為優(yōu)化外形氣動(dòng)特性檢驗(yàn)網(wǎng)格,以滿足高效氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)需求.

圖10 針對(duì)RAE2822 翼型的不同可信度水平計(jì)算網(wǎng)格Fig.10 Different levels of fidelity grids around RAE2822 airfoil

圖11 高可信度網(wǎng)格遠(yuǎn)場(chǎng)圖Fig.11 Far view of the high-fidelity grid

圖12 不同網(wǎng)格量計(jì)算壓力分布與試驗(yàn)壓力分布對(duì)比Fig.12 Comparison of pressure distributions among computational and experimental results

表2 RAE2822 網(wǎng)格收斂結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparison of computational results of different levels of grids

為了對(duì)比說(shuō)明,本節(jié)基于單可信度Kriging 模型的初始樣本為Nh=40,即計(jì)算花費(fèi)為4 0t.而基于MF-PCK 模型的方法使用課題組提出的基于留一交叉驗(yàn)證-Voronoi-最大尺度距離(LOOCV-Voronoi-MSD)的序列抽樣方法[13]從Nh=1和Nl=10開(kāi)始自適應(yīng)選樣直到獲得相同計(jì)算花費(fèi)(4 0t)的高、低可信度樣本分布和樣本數(shù)量,即使用Nh=15個(gè)高可信度樣本和Nl=500 個(gè)低可信度樣本.其中t表示一次高可信度CFD 計(jì)算分析時(shí)間,高、低可信度數(shù)值分析均使用RANS 數(shù)值求解器求解.設(shè)計(jì)狀態(tài)為Ma=0.734,Cl=0.824,Re=6.5×106.設(shè)計(jì)約束包括升力系數(shù)、力矩系數(shù)和面積均不減小,優(yōu)化模型為

本算例使用SST 湍流模型進(jìn)行氣動(dòng)分析,初始翼型阻力為0.02171.采用類函數(shù)/形函數(shù)(class/shape transformation,CST)參數(shù)化方法控制翼型變形,上下表面各選取12 個(gè)設(shè)計(jì)變量,共24 個(gè)變量,初始設(shè)計(jì)范圍如圖13 所示.3 種方法均使用全局加強(qiáng)學(xué)習(xí)粒子群(CLPSO)優(yōu)化算法.基于MF-PCK_VF-EI 的優(yōu)化流程如圖2 所示,迭代加點(diǎn)70 次.圖14 給出了3 種方法阻力系數(shù)收斂曲線對(duì)比,可以看出,相比于基于Kriging_EI 和HK_VF-EI 的兩種優(yōu)化方法,基于MF-PCK_VF-EI 的代理優(yōu)化算法獲得了最快的收斂速度以及最低的阻力適應(yīng)值,在迭代到第30 次高可信度加點(diǎn)時(shí),阻力系數(shù)已經(jīng)收斂;而基于HK_VF-EI 的優(yōu)化算法則需要迭代加點(diǎn)到50 個(gè)高可信度加點(diǎn)時(shí)才逐漸收斂;基于Kriging_EI的代理優(yōu)化方法收斂速度最慢,直到第70 次迭代加點(diǎn)時(shí)阻力系數(shù)仍在少量下降.從圖15 可以找出原因,MF-PCK 代理模型在迭代過(guò)程中持續(xù)擁有更準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)精度,從第30 次高可信度加點(diǎn)以后,加點(diǎn)位置處阻力系數(shù)預(yù)測(cè)誤差在0.0002 以內(nèi),而HK 和Kriging 代理模型阻力系數(shù)預(yù)測(cè)誤差仍然在0.0006較大范圍以內(nèi)波動(dòng).MF-PCK 模型使用了較多的低可信度樣本,可以更準(zhǔn)確地捕捉整個(gè)設(shè)計(jì)空間的特點(diǎn).在Kriging_EI 加點(diǎn)過(guò)程中,由于EI 搜索兼具了提高全局近似準(zhǔn)確率的特性,造成了加點(diǎn)位置波動(dòng)較大.當(dāng)加點(diǎn)樣本較少時(shí),Kriging 代理模型本身的近似不足,進(jìn)而造成最優(yōu)位置以及近似誤差的波動(dòng).隨著基于Kriging_EI 的加點(diǎn)過(guò)程進(jìn)行,優(yōu)化目標(biāo)值和代理預(yù)測(cè)誤差均逐漸收斂,但優(yōu)化目標(biāo)的收斂卻慢于代理預(yù)測(cè)誤差的收斂,這與EI 加點(diǎn)過(guò)程后期收斂性變差密切相關(guān),當(dāng)代理預(yù)測(cè)誤差和優(yōu)化目標(biāo)均收斂時(shí),該優(yōu)化過(guò)程趨于收斂,得到收斂外形.表3給出了基于3 種代理模型的優(yōu)化算法在接近收斂時(shí)的總計(jì)算時(shí)間和氣動(dòng)力系數(shù)對(duì)比.基于MF-PCK_VF-EI 的代理優(yōu)化方法在第30 次高可信度加點(diǎn)時(shí)阻力系數(shù)已經(jīng)收斂,收斂阻力系數(shù)值為111.82 counts,總計(jì)算時(shí)間(初始樣本和新添加樣本的CFD 分析時(shí)間)約等于 7 0t;而基于HK_VF-EI 和Kriging_EI 的代理的優(yōu)化方法分別在第50 次和第70 次加點(diǎn)時(shí)阻力系數(shù)在接近收斂,收斂的阻力系數(shù)值分別為112.82 counts 和113.75 counts,總計(jì)算時(shí)間分別約等于 9 0t和1 10t.因此,基于MF-PCK 的代理優(yōu)化方法相對(duì)于HK_VF-EI 和Kriging_EI 等兩種經(jīng)典代理優(yōu)化方法在更短時(shí)間內(nèi)獲得了阻力值更低的翼型,效率和可靠性均顯著提升.此外,因?yàn)樵诨贛FPCK_VF-EI 的優(yōu)化過(guò)程中,子迭代自適應(yīng)選擇和分析低可信度樣本點(diǎn)的計(jì)算花費(fèi)非常低,其相對(duì)于添加高可信度樣本點(diǎn)的花費(fèi)可忽略不計(jì),因此本文忽略了加點(diǎn)過(guò)程中低可信度樣本的計(jì)算花費(fèi).圖16 給出了優(yōu)化翼型和RAE2822 翼型外形對(duì)比,可以看出基于MF-PCK_VF-EI 的方法優(yōu)化的翼型較基于Kriging_EI 方法優(yōu)化的翼型最大厚度位置略有后移,彎度略有增加.圖17 給出了4 個(gè)翼型的壓力分布對(duì)比,可以看出,基于MF-PCK_VF-EI 的方法優(yōu)化的翼型激波幾乎完全抹平.

圖13 翼型設(shè)計(jì)空間展示Fig.13 The design space of airfoil

圖14 阻力系數(shù)收斂過(guò)程Fig.14 The convergence history of drag coefficients

圖15 阻力系數(shù)代理模型預(yù)測(cè)誤差收斂過(guò)程Fig.15 The convergence history of surrogate prediction errors of drag coefficients

表3 RAE2822 翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果對(duì)比Table 3 Comparison of optimization results of RAE2822 airfoil

圖16 優(yōu)化翼型與初始翼型外形對(duì)比Fig.16 Comparison of optimized and initial airfoils

圖17 優(yōu)化翼型壓力分布對(duì)比Fig.17 Comparison of pressure distributions of optimized and initial airfoils

3.2.2 跨音速RAE2822 翼型穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)

然而當(dāng)考察單點(diǎn)優(yōu)化得到的翼型在非設(shè)計(jì)點(diǎn)表現(xiàn)時(shí),結(jié)果如圖18 所示.單點(diǎn)優(yōu)化翼型在非設(shè)計(jì)點(diǎn)阻力劇烈增加,其氣動(dòng)表現(xiàn)對(duì)馬赫數(shù)、升力系數(shù)等狀態(tài)參數(shù)波動(dòng)非常敏感,因而難以被工程使用.針對(duì)這個(gè)問(wèn)題,穩(wěn)健優(yōu)化是最有希望的解決途徑[25-27].然而,穩(wěn)健優(yōu)化是一個(gè)典型的雙循環(huán)過(guò)程[26,28],外循環(huán)為優(yōu)化設(shè)計(jì)循環(huán),內(nèi)循環(huán)在迭代的每一步對(duì)每個(gè)候選設(shè)計(jì)(粒子)進(jìn)行不確定分析,得出量化的不確定量,如均值和方差等.這使得即使在內(nèi)循環(huán)使用高效的不確定分析方法,如PCE,但依然不可避免的要求遠(yuǎn)遠(yuǎn)更多的計(jì)算花費(fèi),遠(yuǎn)超過(guò)基于代理的確定性優(yōu)化[11,29].針對(duì)這個(gè)問(wèn)題,本文構(gòu)建關(guān)于設(shè)計(jì)變量與隨機(jī)變量的聯(lián)合代理模型,使得在搜索過(guò)程中通過(guò)調(diào)用此代理模型對(duì)每個(gè)候選設(shè)計(jì)進(jìn)行不確定分析,從而大大減少了計(jì)算花費(fèi)[30-31].定義上述問(wèn)題的穩(wěn)健優(yōu)化模型為

圖18 單點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)翼型在非設(shè)計(jì)點(diǎn)氣動(dòng)特性對(duì)比Fig.18 Comparison of aerodynamic characteristics of optimized airfoil on off-design points

對(duì)該優(yōu)化問(wèn)題首先構(gòu)建馬赫數(shù)Ma∈[0.7,0.75]與設(shè)計(jì)變量xi∈[?0.03,0.03](i=1,2,···,24)共25 個(gè)變量的聯(lián)合代理模型S(Ma,x1,x2,···,x24),其中設(shè)計(jì)變量設(shè)計(jì)范圍如圖13 所示.在聯(lián)合代理模型構(gòu)建后,在迭代的每一步,每個(gè)候選設(shè)計(jì)的表現(xiàn)不確定量化可通過(guò)下式估算

其中 Ξ 代表了不確定因素,如Ma.

通過(guò)LHS 抽樣選取100 個(gè)混合變量高可信度樣本以及1000 個(gè)混合變量低可信度樣本,構(gòu)建聯(lián)合代理模型.此時(shí),MF-PCK 預(yù)測(cè)力矩系數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差RRMSE 分別為0.00364 和0.01935,完全可以滿足優(yōu)化設(shè)計(jì)使用.然后使用全局加強(qiáng)學(xué)習(xí)粒子群(CLPSO)優(yōu)化算法優(yōu)化迭代1000 次,得到如圖19 所示穩(wěn)健優(yōu)化翼型.可以發(fā)現(xiàn),相比于單點(diǎn)優(yōu)化翼型,最大厚度位置后移,前緣半徑變小.圖20 給出了穩(wěn)健設(shè)計(jì)翼型與單點(diǎn)優(yōu)化翼型及初始翼型阻力發(fā)散特性對(duì)比.可以看出,穩(wěn)健優(yōu)化翼型阻力發(fā)散馬赫數(shù)超過(guò)0.75,高于其他兩個(gè)翼型,并且在馬赫數(shù)0.70～ 0.75范圍內(nèi)阻力系數(shù)變化更加穩(wěn)健.圖21 給出了穩(wěn)健設(shè)計(jì)翼型與其他兩個(gè)翼型在不同馬赫數(shù)下壓力分布對(duì)比.在0.734 馬赫數(shù)下,穩(wěn)健優(yōu)化翼型上表面出現(xiàn)一個(gè)雙弱激波,在0.75 馬赫數(shù)下,穩(wěn)健優(yōu)化翼型也出現(xiàn)了一個(gè)雙弱激波,強(qiáng)度均明顯弱于單點(diǎn)設(shè)計(jì)翼型的強(qiáng)激波.因此,通過(guò)穩(wěn)健設(shè)計(jì)優(yōu)化,RAE2822 翼型上表面出現(xiàn)了穩(wěn)定的雙弱激波,從而提高了對(duì)馬赫數(shù)的穩(wěn)健性.然而,針對(duì)其他氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)算例,雙弱激波是否具有對(duì)馬赫數(shù)等的穩(wěn)健性,仍然值得更多詳細(xì)研究.

圖19 優(yōu)化翼型與初始翼型外形對(duì)比Fig.19 Comparison of optimized and initial airfoils

圖20 優(yōu)化翼型阻力發(fā)散特性對(duì)比Fig.20 Comparison of drag-divergence characteristics of optimized and initial airfoils

圖21 優(yōu)化翼型與RAE2822 翼型在不同狀態(tài)下壓力分布對(duì)比Fig.21 Comparison of pressure distributions of optimized and initial airfoils under different Mach numbers

3.2.3 跨音速ONERA M6 機(jī)翼優(yōu)化設(shè)計(jì)

跨音速ONERA M6 機(jī)翼經(jīng)常被用來(lái)測(cè)試數(shù)值計(jì)算程序或者優(yōu)化算法的可靠性.本算例考慮的計(jì)算狀態(tài)為Ma=0.839 5,Re=1.172×107,α=3.06?.該狀態(tài)下,ONERA M6 機(jī)翼上表面有較強(qiáng)激波.首先使用3 套不同網(wǎng)格量計(jì)算網(wǎng)格驗(yàn)證計(jì)算程序的可靠性,計(jì)算網(wǎng)格分布如圖22 所示.圖23 分別給出了41%和63%位置處剖面壓力分布對(duì)比,可以看出,640 W 網(wǎng)格和試驗(yàn)壓力分布吻合良好,而320 W 網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果接近640 W 網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果,30 W 網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果能捕捉到激波基本位置.正如第1 節(jié)指出,低可信度計(jì)算網(wǎng)格的選擇應(yīng)該以能較為準(zhǔn)確地捕捉到高可信度計(jì)算的趨勢(shì)為準(zhǔn).因此,在本算例中,高可信度氣動(dòng)分析使用網(wǎng)格量為320 W 的計(jì)算網(wǎng)格,而低可信度計(jì)算使用網(wǎng)格量為30 W 的網(wǎng)格,兩者在相同計(jì)算資源下,計(jì)算時(shí)間相差10.67 倍.本算例均使用SST 湍流模型進(jìn)行計(jì)算,高可信度計(jì)算初始機(jī)翼阻力為113.97 counts,升力系數(shù)為0.1670.設(shè)計(jì)問(wèn)題定義為在機(jī)翼各個(gè)剖面最大厚度和機(jī)翼升力系數(shù)不減小的情況下最小化機(jī)翼阻力系數(shù),其優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

圖22 M6 機(jī)翼CFD 計(jì)算空間網(wǎng)格展示Fig.22 Computational grids of M6 wing

圖23 不同計(jì)算網(wǎng)格量下計(jì)算壓力分布與試驗(yàn)壓力分布對(duì)比Fig.23 Comparison of computational and experimental pressure distributions under different number of grids

采用自由變形(free form deformation,FFD)方法對(duì)機(jī)翼進(jìn)行參數(shù)化,如圖24 所示,選擇4 個(gè)剖面對(duì)機(jī)翼進(jìn)行變形,每個(gè)剖面定義了12 個(gè)控制點(diǎn),通過(guò)控制每個(gè)控制點(diǎn)沿z方向移動(dòng)從而產(chǎn)生新外形,機(jī)翼剖面不扭轉(zhuǎn).針對(duì)基于MF-PCK_VF-EI 的代理優(yōu)化方法,采用LHS 產(chǎn)生Nini,h=d×2=96個(gè)初始高可信度樣本,以及Nini,l=d×20=960個(gè)初始低可信度樣本,采用VF-EI 加點(diǎn)方法進(jìn)行優(yōu)化.兩種方法均使用全局加強(qiáng)學(xué)習(xí)粒子群(CLPSO)優(yōu)化算法.作為對(duì)比,針對(duì)基于Kriging 代理模型的優(yōu)化方法使用LHS 產(chǎn)生Nini=d×5=240個(gè)初始高可信度樣本,采用EI 加點(diǎn)優(yōu)化方法,其中d為設(shè)計(jì)變量數(shù).圖25 給出了兩種方法阻力收斂歷程對(duì)比.結(jié)果顯示,基于MF-PCK 的代理優(yōu)化方法隨著高可信度樣本填充,具有更快的收斂速度,到78 次高可信度加點(diǎn)時(shí)阻力已經(jīng)收斂到98.07 counts,阻力下降了15.9 counts;而基于Kriging_EI 的代理優(yōu)化方法收斂很慢,直到200 次加點(diǎn)時(shí)阻力才收斂到99.04 counts.因此,基于提出的多可信度代理模型采用更少的計(jì)算花費(fèi)獲得了更好的收斂解,大大提高了代理優(yōu)化收斂速度以及獲得更優(yōu)解的效率(優(yōu)化效率提高了一倍多).圖26 給出了初始M6 機(jī)翼和(基于MF-PCK)代理優(yōu)化的機(jī)翼上表面壓力云圖對(duì)比.可以看出,優(yōu)化的機(jī)翼基本消除了原始機(jī)翼上表面的兩道強(qiáng)激波,僅僅在局部位置存在非常弱的激波.可以發(fā)現(xiàn)到接近收斂時(shí),每一次迭代阻力值下降很小.這是因?yàn)樵跓o(wú)激波外形附近,阻力值變化接近平坦,隨機(jī)搜索算法效率很低.圖27 給出了4 個(gè)剖面位置處的壓力分布和剖面翼型對(duì)比,強(qiáng)激波已經(jīng)消除.設(shè)計(jì)結(jié)果再次驗(yàn)證了提出的方法相對(duì)于基于Kriging_EI 的代理優(yōu)化方法的有效性和巨大優(yōu)勢(shì).

圖24 M6 機(jī)翼FFD 框Fig.24 FFD frame of M6 wing

圖25 兩種方法阻力收斂歷程對(duì)比Fig.25 The convergence history of different optimization algorithms

圖26 初始機(jī)翼和優(yōu)化后機(jī)翼(MF-PCK_VF-EI)上表面壓力云圖對(duì)比Fig.26 Comparison of pressure distribution contours of upper surface of M6 wing using the MF-PCK_VF-EI method

圖27 初始機(jī)翼和優(yōu)化后的機(jī)翼(MF-PCK_VF-EI)各剖面壓力分布和翼型對(duì)比Fig.27 Comparison of pressure distributions and shapes of initial and optimized wing sections

4 總結(jié)

本文針對(duì)基于代理模型的全局氣動(dòng)優(yōu)化方法效率低下和CFD 可信度要求不斷提高帶來(lái)的優(yōu)化設(shè)計(jì)難題,提出了基于新型自適應(yīng)多可信度多項(xiàng)式混沌-Kriging (MF-PCK)代理模型的高效全局氣動(dòng)優(yōu)化方法和框架.本文詳細(xì)推導(dǎo)了建模過(guò)程及構(gòu)建步驟,并陳述了優(yōu)化框架中的關(guān)鍵模塊和技術(shù)難點(diǎn).通過(guò)使用相同標(biāo)度形式再次矯正MF-PCK 模型,該方法也可用于3 層及以上多水平多可信度氣動(dòng)數(shù)據(jù)建模和優(yōu)化設(shè)計(jì)中.同時(shí)本文提出了基于MF-PCK 模型的變可信度期望改進(jìn)加點(diǎn)優(yōu)化方法,其在每次加點(diǎn)迭代過(guò)程中能自適應(yīng)地選擇高可信度或低可信度樣本添加到樣本庫(kù)中,提高優(yōu)化過(guò)程中氣動(dòng)分析效率,從而進(jìn)一步提升多可信度全局氣動(dòng)優(yōu)化效率和能力.最后本文將發(fā)展的框架應(yīng)用到RAE2822 翼型和M6 機(jī)翼的單點(diǎn)確定性設(shè)計(jì)和RAE2822 翼型的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)中,并與基于HK_VF-EI 和Kriging_EI 的代理優(yōu)化方法進(jìn)行了全面比較.基于本文氣動(dòng)優(yōu)化算例的結(jié)果顯示,基于新型MF-PCK 代理模型的優(yōu)化方法其優(yōu)化效率相對(duì)于基于HK_VF-EI 和Kriging_EI 的優(yōu)化效率顯著提高,結(jié)果更好也更加可靠,并且穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)效率和結(jié)果也更加符合實(shí)際工程應(yīng)用對(duì)氣動(dòng)優(yōu)化方法的要求,從而廣泛驗(yàn)證了發(fā)展的新方法相對(duì)于當(dāng)前基于HK_VF-EI 和Kriging_EI 的代理優(yōu)化算法的顯著優(yōu)勢(shì)和巨大潛力.此外,雖然MF-PCK 模型相比HK 模型等具有更強(qiáng)的泛化能力,但訓(xùn)練時(shí)間也更長(zhǎng),未來(lái)可通過(guò)發(fā)展基于多核并行的自適應(yīng)LOOCV-LAR 基函數(shù)選擇方法來(lái)有效解決.同時(shí)當(dāng)前流行的多可信度代理模型如Co-Kriging,HK 以及MF-PCK 等均遭遇維數(shù)災(zāi)難難題,未來(lái)需要發(fā)展更有效的高維空間代理建模技術(shù),如降維代理建模方法等.最后基于MF-PCK 代理模型的優(yōu)化算法亦缺乏對(duì)廣泛工程問(wèn)題的驗(yàn)證,未來(lái)需要結(jié)合具體的復(fù)雜應(yīng)用來(lái)探究它的實(shí)際的表現(xiàn)和可能的改進(jìn).