徐 彪，甘濱濱，陳 昊①

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院,安徽 淮北 235000）

0 引言

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型成功應用于并行計算、圖像信號處理、故障診斷等領(lǐng)域，因此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)受到許多學者的研究［1-4］。時滯在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中是不可避免的，同時，時滯可能導致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)產(chǎn)生震蕩、發(fā)散或不穩(wěn)定等現(xiàn)象［5-11］。由于存在建模誤差、外部干擾和參數(shù)波動，導致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)不確定性。為研究這種不確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，魯棒穩(wěn)定性成為研究熱點之一［12-14］。許多學者對不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析并得到穩(wěn)定性結(jié)果，文獻［15］通過凸組合方法，得到混合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性條件；文獻［16］利用增廣型李雅普諾夫泛函，得到時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性條件；文獻［17］運用自由矩陣積分不等式，研究時變時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性。針對具有分布時滯的不確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究較少，本文利用李雅普諾夫泛函和同胚映射定理研究具有離散和分布時滯的不確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒穩(wěn)定性，得到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定的一個新結(jié)果，并通過數(shù)值實驗驗證所得結(jié)果的有效性。

1 預備知識

考慮以下具有離散和分布時滯的不確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：

其中，xi(t)為第i個神經(jīng)元狀態(tài)變量，ci(t)為行為函數(shù)，fi(t)為激活函數(shù)，τi為離散時滯，aij,bij和dij為神經(jīng)元互聯(lián)強度，σ為分布時滯，ui為外部輸入。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）的矩陣-向量形式如下：

式（2）中，

神經(jīng)元激活函數(shù)fi(x)滿足以下條件：

其中γi(i=1,2,…,n)是正數(shù)。

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（1）中參數(shù)滿足以下條件：

引理1.1［12］設(shè)H(x):Rn→Rn，如果H(x)滿足下列條件：

（1）H(x)是單射，即當x≠y時，H(x)≠H(y)；

（2）H(x)是滿射，即當‖x‖ →∞時，‖H(x)‖ →∞，則H(x)是同胚映射。

引理1.2［13］設(shè)A為實矩陣，，對任意正對角矩陣P=diag(pi ＞0)和任意實向量x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn，下列不等式成立：

引理1.3［14］設(shè)B為實矩陣，對任意正對角矩陣P=diag(pi ＞0)和任意的2個實向量x=(x1,x2,…,xn)T和y=(y1,y2,…,yn)T，則下列不等式成立：

2 主要結(jié)果

2.1 平衡點的存在唯一性

定理2.1 對于式（2）定義的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)參數(shù)滿足條件式（3），如果存在正對角矩陣P=diag(pi ＞0)和正數(shù)η，μ，且滿足以下條件：

證明 可以得到與系統(tǒng)（2）關(guān)聯(lián)的映射：

考慮2個向量x,y∈Rn，當x≠y，對于式（4）定義的H(x)，可以寫出下式：

（1）當x≠y，f(x)=f(y) 時，式（5）變?yōu)镠(x)-H(y)=-C(x-y) ，由于x≠y，C為正對角矩陣，H(x)≠H(y)，即H(x)是單射。

（2）當x≠y，f(x)≠f(y)時，P=diag(pi ＞0)為正對角矩陣，式（5）兩邊同乘以2(x-y)TP可得：

由引理1.2可知：

由引理1.3可知：

將式（7）-（10）代入式（6）得：

當x≠y，可推出H(x)-H(y)≠0。將y=0 代入式（11），兩邊取絕對值可得：

由此類推：

由‖x‖∞≤‖x‖2，‖H(x)-H(0)‖1≤‖H(x)‖1+‖H(0)‖1，式（12）可寫成：

其中‖H(0)‖1是有界值。當‖x‖ →∞時，‖H(x)‖ →∞，即H(x)是滿射。

綜上所述，映射H(x):Rn→Rn是同胚映射，可得對于式（2）定義的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，每個輸入向量U都存在唯一的平衡點x*，使得H(x*)=0。

2.2 平衡點的穩(wěn)定性分析

因為系統(tǒng)（2）的穩(wěn)定性等價于系統(tǒng)（13）的穩(wěn)定性，故只需研究系統(tǒng)（13）的穩(wěn)定性。

定理2.2 對于式（13）定義的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)參數(shù)滿足式（3），如果存在正對角矩陣P=diag(pi ＞0)和正數(shù)η，μ，且滿足以下條件：

證明 構(gòu)造正定李雅普諾夫泛函：

其中k，η，μ為正數(shù)。李雅普諾夫泛函沿系統(tǒng)（13）軌跡的時間導數(shù)如下：

由引理1.2可得：

由引理1.3可得：

將式（15）-（17）代入式（14）可得：

其中當gi(yi(t-τi))≠0，可得V.(t)＜0。綜上所述，只有當yi(t)=gi(yi(t))=gi(yi(t-τi))=0 時，V.(t)=0，其他情況可得V.(t)＜0。當‖y‖i(t) →∞，‖V(t)‖ →∞時，可得V(t)是徑向無界的。因此，系統(tǒng)（2）或系統(tǒng)（13）的全局漸近魯棒穩(wěn)定點是原點，即系統(tǒng)（2）或系統(tǒng)（13）是魯棒穩(wěn)定的。

推論2.1 當C=-C=Cˉ，A=-A=Aˉ，B=-B=Bˉ，D=-D=Dˉ時，如果存在正對角矩陣P=diag(pi ＞0)和正數(shù)η，μ且滿足以下條件：

3 數(shù)值實驗

例1 考慮具有如下參數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（2）：

文獻［8］中σ允許的最大值為6.938，文獻［15］中σ允許的最大值為9.441，文獻［9］中σ允許的最大值為12.441，推論2.1中σ允許的最大值為12.527?？梢姳疚牡姆€(wěn)定性結(jié)果σ允許的最大值較大，保守性較小，穩(wěn)定性結(jié)果較好。

例2 考慮具有如下參數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（2）：

滿足定理2.2的條件，則神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（2）是全局漸進魯棒穩(wěn)定的。

4 結(jié)論

本文研究一類具有離散和分布時滯的不確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。首先，利用同態(tài)映射定理和李雅普諾夫泛函證明平衡點的存在性與唯一性和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的魯棒漸進穩(wěn)定性。然后，運用新的不等式來估計李雅普諾夫泛函的時間導數(shù)項，給出判別帶有離散和分布時滯的不確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定的一個新結(jié)果。最后，通過數(shù)值實驗驗證穩(wěn)定性結(jié)果的有效性。