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      運(yùn)用“待定系數(shù)法”求解多項(xiàng)式新定義考題

      2023-04-12 07:02:08盛正才
      初中生世界 2023年11期
      關(guān)鍵詞:代數(shù)式考題題意

      文/盛正才

      新定義考題是近年來各地中考的高頻題型。本文選取一道與多項(xiàng)式有關(guān)的新定義考題,和大家談?wù)劇按ㄏ禂?shù)法”在解決這類問題中的作用。

      例題對于代數(shù)式,不同的表達(dá)形式能表現(xiàn)出它的不同性質(zhì)。例如代數(shù)式A=x2-6x+11,若將其寫成A=(x-3)2+2 的形式,就能看出該多項(xiàng)式有最小值是2;若將它寫成A=(x-1)2-4(x-1)+6 的形式,就能與代數(shù)式B=x2-4x+6建立聯(lián)系。下面我們改變x的值,研究A、B兩個代數(shù)式取值的規(guī)律:

      (1)表中※=____,■=____,☆=____。

      (2)觀察表格可以發(fā)現(xiàn):若x=m時,B=x2-4x+6=n,則x=m+1 時,A=(x-1)2-4(x-1)+6=x2-6x+11=n。我們把這種現(xiàn)象稱為代數(shù)式A參照代數(shù)式B取值后移,此時后移值為1。

      ①若代數(shù)式C參照代數(shù)式B取值后移,相應(yīng)的后移值為2,求代數(shù)式C;

      ②已知代數(shù)式ax2-7x+2b參照代數(shù)式2x2-3x+c取值后移,求出a+2b-c的值。

      【簡答】(1)6,2,2。

      (2)①C=(x-2)2-4(x-2)+6=x2-8x+18。

      ②設(shè)后移值為m。由題意知,a=2。

      2(x-m)2-3(x-m)+c=2x2-7x+2b。

      2x2+(-4m-3)x+2m2+3m+c=2x2-7x+2b。

      解得m=1,2b-c=5。

      ∴a+2b-c=7。

      【解后回顧】本例題的本質(zhì)是多項(xiàng)式的變形,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用待定系數(shù)法?,F(xiàn)在來看這道新定義題的簡化問題。

      【簡化問題】用(x+1)冪的形式表示多項(xiàng)式x2+4x-2。

      【分析】可先設(shè)x2+4x-2=(x+1)2+p(x+1)+q,進(jìn)一步求p、q的值,有兩種不同的思路。

      思路1:將(x+1)2+p(x+1)+q展開,得x2+(2+p)x+p+q+1,將各項(xiàng)系數(shù)對應(yīng)起來,可得到關(guān)于p、q的方程組。p+2=4,p+q+1=-2,解得p=2,q=-5,即x2+4x-2=(x+1)2+2(x+1)-5。

      思路2:將x取特殊值0、-1,可得-2=1+p+q,-5=q,解得p=2,q=-5。

      【變式】若x=m時,B=x2-4x+7=n,則x=m+2 時,A=x2-8x+19=n。我們把這種現(xiàn)象稱為代數(shù)式A參照代數(shù)式B取值延后,此時延后值為2。

      (1)若代數(shù)式D參照代數(shù)式B取值延后,相應(yīng)的延后值為1,請直接寫出代數(shù)式D;

      (2)已知代數(shù)式ax2-12x+b參照代數(shù)式2x2-4x+c取值延后,求c-b的值。

      【簡答】(1)∵代數(shù)式D參照代數(shù)式B取值延后,相應(yīng)的延后值為1,

      ∴D=(x-1)2-4(x-1)+7=x2-6x+12。

      (2)2x2-12x+b=2(x-m)2-4(x-m)+c,

      ∴4+4m=12,解得m=2。

      ∴b=2m2+4m+c。

      ∴c-b=-16。

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