唐新陽

湖南省寧鄉(xiāng)市第一高級中學

1 問題的提出

人教版各版教材的復習參考題中都有一道以下習題：

該習題在2019版的人教版教科書必修第一冊第161頁依然編入，可以看出歷任編者對該道習題的情有獨鐘.結合新教材第87頁關于函數(shù)對稱中心問題的研究，本文中以該習題為例探究一類指數(shù)型分式函數(shù)的對稱中心.

2 問題的初探

關于奇偶性的討論，注意到函數(shù)定義域為R，可以有較多方式探究.此處僅以奇偶性定義求解.

3 問題的引申與探究

3.1 直接求解

3.2 利用奇偶性的引申結論

人教版教材必修一第87頁有如下結論：函數(shù)y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，可以將其推廣為:函數(shù)y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).

G(-x)=f(-x+m)-n

反之亦成立.

3.3 指數(shù)型分式函數(shù)的圖象特點

(1)b>0

若b>0，則函數(shù)y=f(x)的定義域為R，且ax+b>b.

圖1

(2)b<0

若b<0，則函數(shù)y=f(x)的定義域為{x|x≠loga|b|}，且ax+b≠0.

如圖2，f(x)的圖象類似于反比例函數(shù)的圖象.

圖2

(3)函數(shù)值之間的關系

4 問題的應用

解析：f(x)是奇函數(shù)，則圖象關于原點中心對稱.如前所述，log2n=0，得n=1.又f(0)=0，則m=-2.

A.(-∞,1) B. (1,+∞)

C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.(0，1)

倒序得

兩式相加，得2S=2 020.故S=1 010.

總之，以上內容最大限度地挖掘了教材中函數(shù)奇偶性在研究函數(shù)圖象對稱性上的應用，并對指數(shù)型分式函數(shù)模型的圖象特點作了深入全面的研究，挖掘了教材內涵.Z