上局部保距變換半群的Green 關(guān)系①

龍偉芳，葉緒國，龍偉鋒

（1.凱里學(xué)院，貴州 凱里 556011；2.貴州師范大學(xué)，貴州貴陽 550001）

半群作為上世紀(jì)50年代產(chǎn)生的一門新的代數(shù)學(xué)科，在計(jì)算機(jī)與信息科學(xué)的發(fā)展中起到重要的作用.因此，半群的研究受到各國數(shù)學(xué)家的關(guān)注，并投入了大量的精力從事這一領(lǐng)域的研究.在自動(dòng)機(jī)理論、編碼、密碼理論、非線性動(dòng)力系統(tǒng)和基因工程等新的應(yīng)用背景刺激下，引起了更多學(xué)者的研究興趣.而在半群代數(shù)的研究中，對半群結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的研究則是重要內(nèi)容之一，目前已經(jīng)有很多研究成果［1-7］.

設(shè)E為Xn上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系.對稱逆半群In中保等價(jià)關(guān)系E的部分雙射之集IE={α∈In:?x,y∈domα,(x,y)∈E?(xα,yα)∈E}是In是一個(gè)子半群，稱為Xn上保E的部分雙射半群.令

PDIE={α∈IE: ?x,y∈dom(α),(x,y)∈E?|xα-yα|=|x-y|}.

則PDIE是既保等價(jià)關(guān)系E，又在E類上保距的部分雙射半群.

設(shè)E2為Xn（n≥5）上的雙等價(jià)關(guān)系，即E2=(A×A)∪(B×B)∪ΔX，其中A，B是Xn是Xn的不相交的真子集，且|A|＞1，|B|＞1，ΔX={(x,x):x∈Xn}.

1 預(yù)備知識(shí)：相關(guān)定義與引理

設(shè)α∈In，記

Bα=(B∩dom(α))α，Bα-1=(B∩im(α))α-1，α#=(dom(α)(A∪B))α.記α|A=α|A∩dom為α限制在A∩dom上的映射.R關(guān)系和L關(guān)系不加特別說明時(shí)，表明是中的R關(guān)系和L關(guān)系.

定義1.設(shè)α，β∈若(im(α)∪dom(α))∩(im(β)∪dom(β))=?，則α與β不交.不交的α與β的并α∪β定義為

定義2.設(shè)A，B為非單點(diǎn)E2類，稱為正規(guī)的，如 果|A∩im(α)|≤1，且|B∩im(α)|≤1.否則稱α為非正規(guī)的.

引理1.設(shè)B∈E2-類，且B∩dom(α)≠?，α∈Bα必包含在某個(gè)E2類之中，因此，每個(gè)E2類的α的原象或?yàn)?或?yàn)槿舾蒃2類子集的并.

文中未說明的符號與概念請參看Howie［8］.

2 主要結(jié)果與證明

定理1設(shè)A，B 為非單點(diǎn)E2類則(α,β)∈L的充分必要條件是im(α)=im(β)，且Aβ-1?E2-類，Bβ-1?E2-類.

證 明：“?”(α,β)∈L，則存在γ,使得α=γβ，β=δα，于是im(α)?im(β)，im(β)?im(α)，故im(α)=im(β).

同理可證α|A的值域?yàn)榻敌蚺帕袝r(shí).同理可證，Bβ-1?E2-類.

定理2設(shè)E是Xn上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，α，β∈PDIE.則((αα,,β))∈?的充分必要條件是dom(α)=dom(β)，且?x,y∈Xn，有

（1）(xα,yα)∈E當(dāng)且僅當(dāng)(xβ,yβ)∈E；

（2）當(dāng)(xα,yα)∈E時(shí)，|xα-yα|=|xβ-yβ|.

證明：“必要性”若((αα,,β))∈∈?，則有θ,γ∈PDIE使得α=βθ，β=αγ，從而有

dom(α)=dom(β)，im(α)=im(θ)，im(γ)=im(β).

而α，β，θ，γ都是雙射，進(jìn)而有dom(θ)=im(β)，dom(γ)=im(α).

若?x,y∈Xn，有(xα,yα)∈E?(xβ,yβ)=(xαγ,yαγ)∈E?(xα,yα)=(xβθ,yβθ)∈E，則（1）成立.當(dāng)(xα,yα)∈E時(shí)，|xα-yα|=|xαγ-yαγ|=|xβ-yβ|，則（2）成立.

“充分性”令θ=β-1α，則dom(θ)=[im(β-1)∩dom(α)]β=[dom(β)∩dom(α)]β=im(β).

對 于?a,b∈dom(θ)，則 有x,y∈dom(β) 使得a=xβ，b=yβ.若(a,b)∈E，由（1），則(aθ,bθ)=((xβ)β-1α,(yβ)β-1α)=(xα,yα)∈E.所以，θ∈IE.而且，由（2）得 |aθ-bθ|=|(xβ)β-1α-(yβ)β-1α|=|xα-yα|=|xβ-yβ|=|a-b|.所以，θ∈PDIE，且α=βθ.

同理，令γ=α-1β，有γ∈PDIE，且β=αγ.所以(αα,,β))∈?(.

定理3設(shè)α，β∈若(α,β)∈D，則|im(α)|=|im(β)|.

證明：若(α,β)∈D，則存在γ，使得αγ=β.于是，

定理4設(shè)α，β∈，若α，β都是正規(guī)的，則(α,β)∈D.