樂哲君

摘 ?要：在學生學習冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，函數(shù)的概念、性質及應用，導數(shù)及其應用等內容的基礎上，類比已有經(jīng)驗，運用計算器、Excel軟件、GeoGebra軟件等多種信息技術工具，探究函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質，目的是使學生學會用幾何直觀和代數(shù)推理的方法探究函數(shù)，為之后研究新的函數(shù)提供方法指導．

關鍵詞：冪對差值函數(shù)；信息技術；圖象與性質；探究函數(shù)

一、教學內容解析

1. 教學內容

借助代數(shù)推理與幾何直觀探究函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質，并通過函數(shù)圖象和代數(shù)運算理解和解決問題. 教學內容與函數(shù)單元框架，如圖1所示.

2. 內容解析

本節(jié)課從滬教版《普通高中教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊“4.3 對數(shù)函數(shù)”的課后閱讀、探究與實踐出發(fā)，主要內容是在學生已經(jīng)學習了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，函數(shù)的概念、性質及應用，導數(shù)及其應用的基礎上，運用信息技術探究函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質，并通過代數(shù)推理證明部分性質. 目的是使學生學會用幾何直觀和代數(shù)推理的方法探究函數(shù)，為之后研究新的函數(shù)提供方法指導，同時使學生對對數(shù)函數(shù)的增長速度有更嚴謹?shù)恼J識，是高中數(shù)學學習的點睛之筆.

函數(shù)是中學數(shù)學的核心內容之一. 高中的函數(shù)內容主要安排在教材必修第一冊第四章“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”和第五章“函數(shù)的概念、性質及應用”，教材必修第二冊第七章“三角函數(shù)”，以及教材選擇性必修第二冊第五章“導數(shù)及其應用”．函數(shù)的概念、函數(shù)的基本性質以及基本初等函數(shù)的圖象與性質既是高等數(shù)學的基礎，也是建立函數(shù)模型解決諸多實際問題的重要工具．學習函數(shù)，有助于增強學生對用數(shù)學方法描述客觀規(guī)律的認識，有助于學生感悟用數(shù)學模型解釋自然現(xiàn)象的作用，有助于在用函數(shù)知識解決一些簡單實際問題的過程中增強學生的數(shù)學應用意識．

本節(jié)課是一節(jié)探究課，探究的內容是一個新的函數(shù)[y=xa-logbx]，基于教材的拓展內容新定義該函數(shù)為冪對差值函數(shù). 冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)都是基本的、應用廣泛的函數(shù)，是進一步學習函數(shù)相關內容的基礎，也是本節(jié)課探究的基礎. 根據(jù)冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質的分類，本節(jié)課在此基礎上先將冪對差值函數(shù)[y=xa-][logbx]按[a，b]的取值范圍進行分類. 直接利用冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，從代數(shù)角度分析冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]在[a≤0，b>1]與[a≥0，0

對于難以通過性質分析直接得到函數(shù)性質的情況，即當[a>0，b>1]和[a<0，0

函數(shù)性質的探究需要經(jīng)歷“描繪具體函數(shù)圖象—歸納猜想函數(shù)共性—代數(shù)推理嚴格論證”的過程，并運用信息技術開展探究，這是本節(jié)課的重點. 本節(jié)課讓學生完整地經(jīng)歷觀察、猜測和證明等探究過程，引導學生嘗試從代數(shù)推理和幾何直觀兩個角度研究函數(shù)，讓學生充分體驗分類討論、從特殊到一般、數(shù)形結合的數(shù)學思想，發(fā)展邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)．同時，使用Excel，GeoGebra等軟件能讓學生感受到信息技術在探究過程中的作用，讓學生感受到信息技術讓實踐和創(chuàng)新成為可能，驅動學生在數(shù)學探究活動中有更多的熱情，并投入更多的精力．

二、教學目標設置

1. 教學目標

本節(jié)課的教學目標設置如下.

（1）回顧冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在[0，+∞]上的性質，了解冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]的分類方法，學會分析冪對差值函數(shù)的性質，體會類比思想.

（2）經(jīng)歷用Excel軟件描點繪圖的過程，并觀察用GeoGebra軟件繪制的冪對差值函數(shù)圖象，體會從特殊到一般的研究方法，學會通過觀察具體函數(shù)圖象歸納猜想冪對差值函數(shù)的圖象特征，感受信息技術在探索函數(shù)的圖象與性質中的作用，提升運用數(shù)形結合思想解決問題的能力，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

（3）在歸納猜想的基礎上學會用代數(shù)推理證明性質，能夠用導數(shù)證明冪對差值函數(shù)的單調性，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

（4）在交流活動中分享探究的喜悅與困惑，養(yǎng)成規(guī)范表達的習慣，反思研究函數(shù)的一般方法，培養(yǎng)勇于探索的思維品質，樹立學好數(shù)學的信心．

2. 目標解析

達成教學目標（1）的標志：能在回顧冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)在[0，+∞]上的圖象與性質后，對冪對差值函數(shù)[y=xa-][logbx]按[a，b]的取值范圍進行分類，能通過分析冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質得出當[a≤0，b>1]時的冪對差值函數(shù)的性質，并類比得到[a≥0，0

達成教學目標（2）的標志：讓學生用Excel軟件繪制冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]在[a>0，b>1]時的幾個具體函數(shù)圖象，并觀察用GeoGebra軟件演繹的參數(shù)變化時的函數(shù)圖象，感受冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]的形態(tài)變化與運動規(guī)律，能歸納猜想出圖象特征與函數(shù)的性質.

達成教學目標（3）的標志：能用導數(shù)證明冪對差值函數(shù)[y=][xa-logbx]在[a>0，b>1]時的單調性.

達成教學目標（4）的標志：讓學生經(jīng)歷完整的冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質的探究過程，在交流活動中分享探究的喜悅與困惑，養(yǎng)成規(guī)范表達的習慣，學會探究函數(shù)的一般思路（描繪具體函數(shù)圖象—歸納猜想函數(shù)共性—代數(shù)推理嚴格論證），并能自主地對本節(jié)課的探究過程和思想方法加以總結．

三、學生學情分析

本節(jié)課的授課對象為高三年級的學生，他們經(jīng)歷了對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的探究過程，掌握了函數(shù)的概念、性質及其應用，了解了導數(shù)的概念，能借助導數(shù)研究函數(shù)的單調性，對函數(shù)的研究思路與方法有了一定的感性認識，具有一定的觀察、分析和推理能力，這為本節(jié)課的探究提供了保障. 學生能較好地表達自己的觀點，渴望應用所學的知識解決問題，但對新的函數(shù)進行探究仍然存在一定的困難. 學生需要進一步鞏固與實踐“為什么要研究”“研究什么”“如何研究”這些問題．

此外，在數(shù)學課堂上，該班級學生較多地呈現(xiàn)出被動學習的狀態(tài)，缺少主動研究的意識. 但是通過溝通了解，大部分學生能夠接受合作學習，并喜歡合作學習，也希望數(shù)學教學方法能夠更加多元化，并富有趣味性．

因此，本節(jié)課從教材中對數(shù)函數(shù)的增長速度的探究出發(fā)，讓學生自己動手計算函數(shù)值，交流對三類函數(shù)增長速度差異的思考；讓學生親自用Excel軟件描點繪圖，觀察用GeoGebra軟件演示參數(shù)變化時冪對差值函數(shù)的形態(tài)變化. 組織合作交流、觀察圖象、歸納性質、代數(shù)證明等環(huán)節(jié)，鼓勵學生分享自己的發(fā)現(xiàn)，讓學生完整地參與研究函數(shù)的過程，有效激發(fā)學生的學習興趣，增強學生的學習能動性．

四、教學策略分析

1. 類比已有經(jīng)驗，構建整體研究架構

本節(jié)課從教材內容出發(fā)，在回顧已學的冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)相關內容的基礎上，類比得到探究函數(shù)[y=xa-logbx]的分類情況，并啟發(fā)學生通過分析初等函數(shù)的性質直接得出當[a≤0，b>1]時函數(shù)[y=xa-logbx]的性質，并由此類比得到[a≥0，] [0

2. 借助信息技術，提高課堂教學效能

課前安排學生借助計算器計算三對函數(shù)的函數(shù)值，讓學生在計算中感受計算器的計算功能，在比較計算結果中增強數(shù)感. 在回顧冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質時，通過課件演示動圖，清晰、快捷地鞏固已學知識. 在通過分析性質得到結論1和結論2之后，由性質指導作圖，并通過課件演示，促進學生對這兩類情況下冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象與性質的理解. 通過課前活動的計算已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]的數(shù)據(jù)結果較為復雜，不易描點作圖，借助Excel軟件的繪圖功能，可以繪制出多個具體函數(shù)的散點圖，且能通過多次改變自變量的初始值、步長、個數(shù)探究自己想觀察的部分，既清晰準確，又方便快捷，讓學生體會到信息技術強大的數(shù)據(jù)處理功能與圖象繪制功能. 同時，用GeoGebra軟件輔助演示參數(shù)變化時的函數(shù)圖象，讓學生感受冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]的形態(tài)變化與運動規(guī)律，通過觀察更好地歸納函數(shù)的共性，更好地提高學生用數(shù)形結合思想解決問題的能力.

3. 以學生為中心，通過引導輔助探究

本節(jié)課通過安排課前學習活動，讓學生在比較中產(chǎn)生認知沖突，繼而思考用已學知識研究這一問題，引出本節(jié)課要探究的新函數(shù)[y=xa-logbx]. 引導學生類比已學知識得到研究方法，明確研究思路，安排小組活動，讓學生自己使用Excel軟件描點繪圖，觀察冪對差值函數(shù)的圖象特征，鼓勵學生多次嘗試，并分享自己的發(fā)現(xiàn). 本節(jié)課采用開放式小結，親身經(jīng)歷了完整探究過程的學生一定有自己最真切和強烈的感受，鍛煉學生的語言表達能力和歸納能力，肯定學生的發(fā)現(xiàn)與收獲，建立積極的正反饋．

五、教學過程設計

課前活動：學生在課前完成“探究與實踐”學習單（如圖2）.

【設計意圖】對于教材中的探究與實踐，本節(jié)課進行了適當改編，增設了計算當[x]位于較小數(shù)區(qū)間時的函數(shù)值和計算兩個函數(shù)的差值，旨在讓學生感受對數(shù)函數(shù)在不同區(qū)間的增長速度. 借助兩個增函數(shù)的差值變化來了解這兩個函數(shù)增長的快慢，并制作了課前學習單，讓學生在計算中感受計算器的計算功能，在比較計算結果中增強數(shù)感，為本節(jié)課的探究作準備.

1. 創(chuàng)設情境，引入課題

材料1：北京時間2022年7月24日14時22分，搭載問天實驗艙的長征五號B遙三運載火箭在我國文昌航天發(fā)射場點火發(fā)射，約495秒后，問天實驗艙與火箭成功分離并進入預定軌道，發(fā)射取得圓滿成功．

材料2：教材必修第一冊第101頁“課后閱讀：火箭速度的公式”. 航天之父、俄羅斯科學家齊奧科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年給出火箭速度的計算公式[v=V0ln1+Mm0]，其中V0是燃料相對于火箭的噴射速度，M是燃料的質量，m0是火箭（除去燃料）的質量，v是火箭將燃料噴射完之后達到的速度. 可以看出v與M是對數(shù)函數(shù)的關系，由于對數(shù)函數(shù)增長速度很慢，通過大量增加燃料（[即增加Mm0]）難以達到航天器繞地球運行所需要的第一宇宙速度，據(jù)此他又提出了采用多級火箭發(fā)射航天器的設想. 現(xiàn)代運載火箭大多采用三級火箭，當?shù)谝患壔鸺娜剂嫌猛陼r，點燃第二級火箭并拋棄第一級火箭，這相當于減小第二級火箭推進時的m0，從而在第二級火箭燃料用完時航天器可以達到較高的速度. 然后類似地點燃第三級火箭并拋棄第二級火箭，最終可以將航天器送入太空軌道．

材料3：教材必修第一冊第101頁“探究與實踐：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)增長速度的比較”.

我們已經(jīng)知道，如果指數(shù)函數(shù)的底數(shù)[a]大于[1]，當自變量[x]增大時，指數(shù)函數(shù)[y=ax]增長得非?？欤Q為“指數(shù)增長”. 類似地，可以分析底數(shù)[a]大于[1]的對數(shù)函數(shù)[y=logax]的增長速度．

（1）計算函數(shù)[y=0.01x]和[y=lgx]當[x=102，104，][106，108，1010]時的值，并由此比較兩個函數(shù)的增長速度.

（2）計算函數(shù)[y=x0.1]和[y=lgx]當[x=1010，1020，][1050，][10100，10200]時的值，并由此比較兩個函數(shù)的增長速度．

（3）計算函數(shù)[y=1.1x]和[y=lgx]當[x=102，104，106，][108，1010]時的值，并由此比較兩個函數(shù)的增長速度.

通過上述比較，你對對數(shù)函數(shù)的增長速度有何體會？

展示課前學習單的學生成果，學生分享課前小組活動的學習體會．

【設計意圖】用長征五號B遙三運載火箭的新聞作為開篇，激發(fā)學生的學習興趣，增強學生的民族自豪感. 材料2和材料3源自教材必修第一冊“4.3 對數(shù)函數(shù)”，旨在說明本節(jié)課源于已學內容，又通過之后的學習解決并深化所學內容. 由多名學生分享體會，讓學生發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的增長速度并非一直很慢，從而產(chǎn)生認知沖突，引發(fā)學生思考，激發(fā)學生的探究熱情，引出本節(jié)課要探究的新函數(shù)[y=xa-logbx]．

定義：當[a，b]為常數(shù)，且[b>0，b≠1]時，等式[y=xa-logbx]確定了變量[y]隨變量[x]變化的規(guī)律，稱為指數(shù)為[a]、底數(shù)為[b]的冪對差值函數(shù)，簡稱冪對差值函數(shù)．

【設計意圖】為本節(jié)課探究的新函數(shù)定義一個名稱，踐行提出一類函數(shù)、給出一種研究思路的探究理念. 同時，激發(fā)學生的學習興趣，幫助學生實現(xiàn)大膽創(chuàng)新和積極探索．

2. 鞏固舊知，溫故知新

問題1：回顧函數(shù)的學習經(jīng)歷，探究一個新的函數(shù)主要探究哪些內容？

探究一個新的函數(shù)主要探究定義域、值域、單調性、對稱性（奇偶性）、周期性、特殊點、零點、極值點、最值……

因為只有當[x>0]時[logbx]才有意義，此時[xa]總有意義，所以冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]的定義域是[0，+∞]．

回顧冪函數(shù)[y=xa]和對數(shù)函數(shù)[y=logbx]在[0，+∞]上的圖象與性質．

問題2：根據(jù)在探究冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)時對[a，b]展開的分類，能否推測冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]可以分為哪幾類進行探究？

【設計意圖】由于冪對差值函數(shù)是由冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)經(jīng)過初等運算得到的，因此在開始探究前先回顧冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，旨在基于已有經(jīng)驗開展探究，也由此為開展探究確定分類依據(jù)和分類情況，培養(yǎng)學生的分類討論思想，并為快速得出結論1與結論2作鋪墊．

問題3：在以上幾類中，哪幾類冪對差值函數(shù)的圖象與性質較易探究？

結論1：當[a≤0，b>1]時，冪對差值函數(shù)[y=xa-][logbx]的圖象過點[1，1]，在定義域[0，+∞]上是嚴格減函數(shù)，值域為[R，] 函數(shù)零點[x0∈1，+∞]．

問題4：能否根據(jù)結論1，類比得到冪對差值函數(shù)在[a≥0，0

結論2：當[a≥0，0

【設計意圖】通過分析冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質快速得出結論1，合理運用已知函數(shù)的單調性是判斷未知的相關函數(shù)的單調性的重要方法之一，將新函數(shù)的零點問題轉化為兩個已知函數(shù)圖象的交點問題也是處理函數(shù)零點問題的重要方法，為學生以后的函數(shù)學習提供了方法指導. 類比結論1，推測當[a≥0，][0

3. 運用技術，合作探究

探究：當[a>0，b>1]時，冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象有何特征？冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]有什么性質？

問題5：面對一個無法通過基本函數(shù)的性質直接分析得到其性質的復雜函數(shù)，我們該如何展開探究呢？

取[a，b]的一些特殊數(shù)值，描繪冪對差值函數(shù)的大致圖象．

問題6：運用Excel軟件，小組合作描繪8個具體的冪對差值函數(shù)的大致圖象，你能觀察到它們的圖象有哪些共性特征嗎？

【設計意圖】在開始探究前，先結合已有的高中函數(shù)的學習經(jīng)驗得出探究思路，給出方法指導. 引導學生認識圖象作為數(shù)學問題直觀模型的作用，借助圖形探索解決問題的思路，體現(xiàn)“數(shù)缺形時少直觀”，發(fā)展直觀想象素養(yǎng). 安排小組活動，讓學生親身經(jīng)歷使用Excel軟件描點作圖的過程，激發(fā)學生的學習興趣，感受信息技術對數(shù)據(jù)與圖象處理的強大輔助作用. 同時，在實踐中體會取點的要義，并為學生提供了思考、討論、歸納的時間和空間，讓學生感受冪對差值函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了數(shù)學探究學習的高度自主性，注重學生在學習過程中的體會．

歸納猜想當[a>0，b>1]時，冪對差值函數(shù)[y=xa-][logbx]的圖象特征和函數(shù)性質．

問題7：觀察利用GeoGebra軟件得到的冪對差值函數(shù)的圖象，歸納猜想，冪對差值函數(shù)的圖象有哪些共性特征？

問題8：由上述圖象的共性特征，能歸納得到冪對差值函數(shù)的哪些性質？

【設計意圖】由Excel軟件描繪幾個特殊的冪對差值函數(shù)的圖象，到用GeoGebra軟件呈現(xiàn)改變[a，b]時圖象特征發(fā)生的變化，引導學生感悟從特殊到一般的研究方法，多個信息技術軟件的使用有利于學生更好地歸納猜想冪對差值函數(shù)的圖象特征與函數(shù)性質，充分發(fā)揮了信息技術在探索函數(shù)的圖象與性質中的重要作用，有利于學生更好地探究冪對差值函數(shù)的圖象特征，從而分解本節(jié)課的難點，也發(fā)展了學生的幾何直觀能力，增強了學生運用幾何直觀和空間想象思考和解決問題的意識. 將直觀操作、合情推理和邏輯推理有機整合在一起，使后續(xù)的推理論證成為學生實驗、觀察、歸納猜想的自然延續(xù)．

4. 代數(shù)推理，生成結論

通過代數(shù)推理，證明[a>0，b>1]時冪對差值函數(shù)的圖象特征與函數(shù)性質．

問題9：若[a>0，b>1]，是否存在[c>0]，使得冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]在區(qū)間[0，c]上是嚴格減函數(shù)，在區(qū)間[c，+∞]上是嚴格增函數(shù)．

性質1：若[a>0，b>1]，則冪對差值函數(shù)[y=xa-][logbx]在區(qū)間[0， 1alnb1a]上是嚴格減函數(shù)；在區(qū)間[1alnb1a，+∞]上是嚴格增函數(shù)．

性質2：若[a>0，b>1]，則當[x=1alnb1a]時，冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]取到最小值[1alogbealnb]．

性質3：若[a>0，b>1]，則冪對差值函數(shù)[y=xa-][logbx]的值域為[1alogbealnb，+∞]．

推論：若[a>0，b>1]，則在區(qū)間[0， 1alnb1a]上冪函數(shù)[y=xa]的增長速度慢于對數(shù)函數(shù)[y=logbx]的增長速度；在區(qū)間[1alnb1a，+∞]上冪函數(shù)[y=xa]的增長速度快于對數(shù)函數(shù)[y=logbx]的增長速度．

結論3：當[a>0，b>1]時，冪對差值函數(shù)[y=xa-logbx]的圖象特征和函數(shù)性質如表4所示.

【設計意圖】僅由觀察圖象歸納猜想得到函數(shù)的圖象特征與函數(shù)性質并不嚴謹，也不能得到具體的值，需要進一步通過代數(shù)推理嚴格論證，引導學生經(jīng)歷從猜想到論證的過程，體會從幾何直觀到代數(shù)推理的過程，發(fā)揮導數(shù)在證明函數(shù)單調性中的作用，并通過計算得到具體的單調區(qū)間、最小值等，體現(xiàn)“形少數(shù)時難入微”，提升學生用數(shù)形結合思想解決問題的能力，得到函數(shù)性質的同時也回答了引入環(huán)節(jié)存在的疑惑. 冪對差值函數(shù)的性質還有很多，留給學生很大的探究空間，體現(xiàn)數(shù)學探究的開放性．

5. 總結反思，深化認知

問題10：本節(jié)課研究了什么內容？

問題11：本節(jié)課經(jīng)歷了一個怎樣的探究過程？

問題12：在探究過程中，你覺得有哪些重要的方法？有哪些收獲或體會？

【設計意圖】引導學生從知識內容和學習過程兩個方面總結自己的收獲，強調數(shù)形結合的思想方法和從特殊到一般的研究問題的方法，以及信息技術在探究過程中的作用. 本節(jié)課的小結具有開放性，親身經(jīng)歷了完整探究過程的學生一定有自己最真切和強烈的感受，通過小結鍛煉學生的語言表達能力與歸納能力，關注不同層次的學生對所學內容的理解和掌握情況.

6. 拓展延伸，探究思考

思考1：你能通過類比，研究當[a<0，0

思考2：你能進一步研究“指冪差值函數(shù)”或“指對差值函數(shù)”的圖象特征和函數(shù)性質嗎？

思考3：（2022年全國新高考Ⅰ卷第22題第（2）小題）已知函數(shù)[fx=ex-x]，[gx=x-lnx]，證明：存在直線[y=b]，其與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

【設計意圖】本節(jié)課的學習為通過類比結論3得到結論4，甚至為進一步研究“指冪差值函數(shù)”或“指對差值函數(shù)”提供方法指導，讓學生體會化未知為已知的思想. 思考3是一道選編題，旨在應用本節(jié)課所學的知識與方法探索求解方法，提升學生運用數(shù)形結合思想解決問題的能力，發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng)．

7. 作業(yè)設計

（1）基礎練習.

練習1：函數(shù)[y=-x+lgx]在區(qū)間[0，+∞]上是（ ? ?）.

（A）嚴格增函數(shù)

（B）嚴格減函數(shù)

（C）先嚴格增，再嚴格減

（D）先嚴格減，再嚴格增

練習2：已知函數(shù)[fx=x-lnx]，若[fx≥a]恒成立，則實數(shù)[a]的取值范圍是（ ? ?）.

（A）[-∞，1] （B）[1，+∞]

（C）[-∞，e-1] （D）[-∞， 1e+1]

練習3：對于任意實數(shù)[a]，函數(shù)[y=xa+lnx]的圖象恒經(jīng)過定點______．

練習4：已知函數(shù)[fx=1x-lgx]，則不等式[fx+1

練習5：若函數(shù)[fx=x2-logbx]（其中[b>1]）有唯一的零點，則[b]的值為______．

練習6：根據(jù)本節(jié)課結論3，類比得到結論4，并對其中的單調性加以證明．

（2）能力拓展.

練習7：（2022年全國新高考Ⅰ卷第22題第（2）小題）已知函數(shù)[fx=ex-x]，[gx=x-lnx]，證明：存在直線[y=b]，其與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

練習8：結合本節(jié)課的學習，以小組為單位，合作探究“指冪差值函數(shù)”或“指對差值函數(shù)”（二選一）的圖象與性質，完成一份研究報告．

【設計意圖】分層作業(yè)設計旨在關注學生的學習差異，使不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展. 基于分層作業(yè)的彈性空間，學生充分展示自己的學習能力，收獲成功的喜悅，增強做數(shù)學作業(yè)的興趣，進而提高數(shù)學教學的質量．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020．

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.