張 寧，張敏娟，銀子燕

（中北大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，山西 太原 030051）

0 引 言

取樣示波器在電子信息測(cè)量、高速信號(hào)的完整性分析、雷達(dá)、航空航天等重要領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用[1]。因其不僅具有對(duì)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量及顯示的功能[2]，還具有眼圖分析、眼圖模板測(cè)試、波形分析以及幅度分析等功能，所以取樣示波器可以有效地完成時(shí)域測(cè)試任務(wù)，是一種不可或缺的測(cè)試工具。取樣示波器采用等效采樣技術(shù)[3-5]，對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行多次觸發(fā)、多次采樣，把信號(hào)在連續(xù)周期的采樣數(shù)據(jù)重組，從而復(fù)現(xiàn)頻率遠(yuǎn)低于Nyquist 極限頻率的信號(hào)波形[6-7]，降低了對(duì)ADC 器件的要求及系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度。等效采樣按觸發(fā)方式不同可以分為順序等效采樣和隨機(jī)等效采樣兩種方式[8]，兩者的區(qū)別在于隨機(jī)等效采樣的采樣時(shí)刻在一個(gè)周期內(nèi)都是隨機(jī)的，而順序等效采樣的采樣時(shí)刻是按順序等時(shí)間間隔增幅，每次采樣時(shí)刻相對(duì)于采樣觸發(fā)時(shí)間都會(huì)比上一次采樣時(shí)刻有一個(gè)相同的時(shí)間增量，這個(gè)增量就是等效出來(lái)的采樣間隔。

國(guó)外在取樣示波器的波形測(cè)量與性能分析這一方面的研究仍然占據(jù)著主導(dǎo)地位，代表公司包括是德科技、泰克、力科等[1]。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)在信號(hào)測(cè)量?jī)x器的研發(fā)方面也取得了不錯(cuò)的成果，但取樣示波器相關(guān)技術(shù)的研究發(fā)展仍無(wú)法滿足市場(chǎng)的測(cè)試需求，取樣示波器產(chǎn)品目前還處于樣機(jī)研制階段，沒(méi)有成熟產(chǎn)品，最具有代表性的研究機(jī)構(gòu)為電子科技大學(xué)、蘇州聯(lián)訊儀器。因此，國(guó)內(nèi)需要加快對(duì)取樣示波器技術(shù)及樣機(jī)的研究。

取樣示波器的硬件與軟件分析功能融合，借助軟件進(jìn)行硬件特性修正或數(shù)據(jù)處理，如統(tǒng)計(jì)、插值、頻域分析等復(fù)雜算法，軟件成為取樣示波器的重要組成部分。同時(shí)示波器作為測(cè)量?jī)x器，對(duì)重構(gòu)波形參數(shù)的測(cè)量、眼圖及抖動(dòng)的分析算法都將影響到儀器的測(cè)量精度、探測(cè)的靈敏度，所以提高算法的測(cè)量精度是非常有必要的。在等效采樣過(guò)程中，由于采樣點(diǎn)數(shù)存在非周期性的特點(diǎn)，因此很難得到被采樣信號(hào)的傳輸速率。為了得到準(zhǔn)確的信號(hào)參數(shù)測(cè)量值，需要確定一個(gè)周期內(nèi)的信號(hào)數(shù)據(jù)，因此精確計(jì)算出信號(hào)的傳輸速率至關(guān)重要。本文提出一種快速傅里葉變換的優(yōu)化算法，對(duì)重構(gòu)的眼圖信號(hào)取對(duì)稱變換變成周期信號(hào)之后進(jìn)行傅里葉變換，將信號(hào)從時(shí)域分析轉(zhuǎn)換為頻域分析，從而獲取信號(hào)的頻譜分布，測(cè)得信號(hào)傳輸速率。該算法用時(shí)較少、精確度高，而且在采樣數(shù)據(jù)量比較少的情況下也可以準(zhǔn)確計(jì)算出信號(hào)的傳輸速率。

1 順序等效采樣原理

順序等效采樣的基本原理是利用取樣技術(shù)把高頻、快速的重復(fù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成低頻、慢速的信號(hào)[9]。該等效采樣重構(gòu)方法能以遠(yuǎn)小于Nyquist 采樣頻率的采樣速率對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行采樣重構(gòu)[10]，能夠有效地解決ADC 在采集高速通信信號(hào)過(guò)程中面臨的問(wèn)題。

被測(cè)信號(hào)為周期信號(hào)，其重復(fù)周期為T，根據(jù)順序等效采樣原理[8，11-12]，每個(gè)周期只采樣一次，且每個(gè)采樣點(diǎn)都較前一次增加一個(gè)精確的增量時(shí)延Δt的時(shí)間，該增量時(shí)延由信號(hào)頻率、時(shí)基設(shè)置和采樣點(diǎn)數(shù)決定。其采樣過(guò)程如圖1 所示。當(dāng)?shù)? 個(gè)觸發(fā)沿到來(lái)時(shí)，取樣示波器會(huì)對(duì)被測(cè)信號(hào)進(jìn)行第一次取樣，對(duì)應(yīng)于信號(hào)波形第1 個(gè)采樣點(diǎn)；當(dāng)?shù)? 個(gè)觸發(fā)沿到來(lái)時(shí)，對(duì)被測(cè)信號(hào)進(jìn)行第二次取樣，對(duì)應(yīng)于信號(hào)波形第2 個(gè)采樣點(diǎn)，其中觸發(fā)信號(hào)相對(duì)于前一次取樣時(shí)間延時(shí)了Δt的時(shí)間；當(dāng)?shù)? 個(gè)觸發(fā)沿到來(lái)時(shí)，先對(duì)觸發(fā)信號(hào)延時(shí)2Δt，再對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣；類似地，當(dāng)每一次觸發(fā)到來(lái)時(shí)，都會(huì)對(duì)觸發(fā)信號(hào)較前一次取樣時(shí)間延時(shí)Δt后再進(jìn)行采樣。此過(guò)程會(huì)一直重復(fù)，直到獲取完整的波形。當(dāng)采樣周期足夠多時(shí)，遍歷所有采樣點(diǎn)數(shù)，將采集到的數(shù)據(jù)點(diǎn)根據(jù)時(shí)間位置排列進(jìn)行重組[13-14]，重構(gòu)出原始信號(hào)，從而達(dá)到比較高的等效采樣速率。其結(jié)果與采樣間隔為Δt的樣本還原結(jié)果等效，等效時(shí)間采樣相當(dāng)于原信號(hào)在時(shí)間軸上放大了(T+Δt)/ Δt倍，然后進(jìn)行采樣周期為T+Δt的實(shí)時(shí)采樣。將重構(gòu)之后的波形進(jìn)行疊加就形成了眼圖。

圖1 順序等效采樣原理及眼圖的形成

為滿足Nyquist 采樣定理，順序等效采樣的觸發(fā)點(diǎn)和采樣點(diǎn)之間的延時(shí)調(diào)整分辨率很小，可以是皮秒級(jí)別甚至幾十飛秒，這樣在波形重構(gòu)的時(shí)候采樣點(diǎn)之間的時(shí)間間隔很小，因此會(huì)等效出非常高的采樣率。順序等效采樣原理簡(jiǎn)單，采樣點(diǎn)以時(shí)間為順序排列易于波形恢復(fù)，但是由于相鄰的兩次采樣間的時(shí)間間隔不一致，采樣點(diǎn)為非周期點(diǎn)，因此被測(cè)信號(hào)的傳輸速率難以確定。

2 高速數(shù)字信號(hào)傳輸速率測(cè)量算法

由于各個(gè)采樣點(diǎn)之間的時(shí)間信息無(wú)法確定，并且采樣信號(hào)為非周期信號(hào)，直接對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換，結(jié)果如圖2 所示，其頻譜分布比較均勻，不能確定采樣信號(hào)的頻率。針對(duì)這一問(wèn)題本文將眼圖信號(hào)（如圖3 所示）的中間電平幅值作為閾值0，大于閾值的幅值為正，小于閾值的幅值為負(fù)，將幅值變換后的眼圖信號(hào)做對(duì)稱變換成為周期信號(hào)，然后進(jìn)行傅里葉變換。

圖2 眼圖信號(hào)直接FFT 變換結(jié)果

圖3 眼圖信號(hào)

2.1 計(jì)算眼圖信號(hào)閾值

為了確定眼圖信號(hào)的閾值，首先需要將眼圖分為上下兩部分，上面部分為1 電平，數(shù)據(jù)集幅值為正，下面部分為0 電平，數(shù)據(jù)集幅值為負(fù)。使用聚類算法可以將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)劃分為一個(gè)特定的組，同一組中的數(shù)據(jù)點(diǎn)具有相似的屬性或特征，而不同組中的數(shù)據(jù)點(diǎn)具有高度不同的屬性或特征。聚類算法[15]主要有基于劃分的算法、基于層次的算法、基于密度的算法、基于網(wǎng)格的算法和基于模型的算法等。這些算法都能取得不錯(cuò)的聚類效果，其中基于劃分的K-Means 算法[16-17]應(yīng)用最多且算法思想較為簡(jiǎn)單，當(dāng)處理大量數(shù)據(jù)時(shí)其時(shí)間效率較高，這里幅值（Y軸）通過(guò)K-Means 聚類算法完成分組，算法具體流程如圖4 所示。

圖4 K-Means 聚類算法計(jì)算信號(hào)閾值流程圖

讀取N個(gè)波形點(diǎn)的數(shù)據(jù)，每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)包含時(shí)間信息和電壓幅值信息，利用K-Means 聚類算法首先隨機(jī)選擇k個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為最初的聚類中心{C1,C2,…,Ck}，1 ＜k≤n（此處k為2），計(jì)算出剩余數(shù)據(jù)點(diǎn)到各個(gè)聚類中心的距離，可表示為：

式中：Xi為第i個(gè)對(duì)象；Cj為第j個(gè)聚類中心；Xit為第i個(gè)對(duì)象的第t個(gè)屬性；Cjt為第j個(gè)聚類中心的第t個(gè)屬性。

根據(jù)最小距離原則將剩余數(shù)據(jù)分配到各類中，劃分完成后將得到k個(gè)簇{ }S1,S2,…,Sk。重新計(jì)算新簇的中心點(diǎn)，再次重新分配數(shù)據(jù)集。算法通過(guò)在前兩個(gè)步驟之間交替重復(fù)，直到準(zhǔn)則函數(shù)發(fā)生收斂為止，即聚類中心點(diǎn)不再切換或者計(jì)算的質(zhì)心不再改變，則分組完成。

完成分組后取上面部分幅值的最小值為眼圖數(shù)據(jù)的閾值，并將其幅值設(shè)為零，剩余點(diǎn)的幅值以閾值點(diǎn)為基準(zhǔn)進(jìn)行相應(yīng)的變換，則閾值以上部分幅值為正，閾值以下部分幅值為負(fù)。

2.2 眼圖數(shù)據(jù)做對(duì)稱處理

將幅值變換后的眼圖數(shù)據(jù)取絕對(duì)值，如圖5 所示。

圖5 眼圖數(shù)據(jù)對(duì)稱處理結(jié)果

2.3 FFT 算法確定信號(hào)傳輸速率

FFT 算法是離散傅里葉變換基礎(chǔ)上的一種改進(jìn)算法[18]，可以將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域變換到頻域[19-20]，將信號(hào)的頻譜提取出來(lái)，對(duì)頻譜進(jìn)行分析，根據(jù)采樣定理可計(jì)算出信號(hào)的周期。本文采用以2為基的FFT算法[21]，提升運(yùn)算性能。該算法做FFT 時(shí)并不要求數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)必須為以2為基數(shù)的整數(shù)次方，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)不是以2 為基數(shù)的整數(shù)次方時(shí)，可以在原始數(shù)據(jù)末尾補(bǔ)零，即將數(shù)據(jù)補(bǔ)到以2 為基數(shù)的整數(shù)次。根據(jù)Nyquist 采樣定理可知FFT 返回值的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存在對(duì)稱關(guān)系，即：X(i)=X(n-i)，只需要關(guān)心前N/2 個(gè)有效采樣點(diǎn)就能得到頻率，而每個(gè)采樣點(diǎn)與頻率的關(guān)系由下面公式給出：Fn=(n-1)*Fs/N，其中：Fn為信號(hào)頻率；n為采樣點(diǎn)；Fs為采樣頻率；N為采樣總數(shù)。同時(shí)得到信號(hào)周期：Tn=N/(n-1)*Fs。

3 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文算法的正確性，采用Visual Studio 2019 開(kāi)發(fā)環(huán)境在.net 平臺(tái)對(duì)本文算法進(jìn)行仿真。測(cè)試實(shí)驗(yàn)前，對(duì)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行了搭建。如圖6 所示，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)包括：誤碼儀（BERTWave E410A）一臺(tái)、取樣示波器一臺(tái)和筆記本電腦一臺(tái)。實(shí)驗(yàn)中使用誤碼儀產(chǎn)生NRZ數(shù)據(jù)流作為串行數(shù)據(jù)輸入，其支持112.5 Mb/s～11.3 Gb/s速率串行數(shù)據(jù)輸出。

圖6 測(cè)試實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

將2.2 節(jié)中取對(duì)稱處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉變換，單邊頻譜如圖7 所示，頻譜絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的最大值點(diǎn)的位置為二進(jìn)制信號(hào)的比特率，可根據(jù)采樣定理計(jì)算出信號(hào)的傳輸速率。

圖7 FFT 單邊頻譜圖

調(diào)節(jié)誤碼儀輸出不同的信號(hào)速率，并且截取每組數(shù)據(jù)的前2 048 個(gè)點(diǎn)作為處理對(duì)象，部分輸出速率存在微小誤差，誤差均在允許的范圍之內(nèi)。誤差分析如表1 所示。由表1 可知，絕對(duì)誤差較小，相對(duì)誤差未超過(guò)1%。產(chǎn)生誤差的原因可能是：由于硬件時(shí)基測(cè)量不準(zhǔn)確，從而導(dǎo)致FFT 計(jì)算時(shí)產(chǎn)生誤差；采樣點(diǎn)數(shù)較少，頻譜分辨率低?？蓪?duì)頻譜進(jìn)行細(xì)化處理從而減小誤差，并對(duì)同一速率的波形進(jìn)行多次測(cè)量，使其結(jié)果具有較高的一致性。

表1 不同信號(hào)速率測(cè)量結(jié)果誤差分析

4 結(jié) 論

本文針對(duì)取樣示波器順序等效采樣系統(tǒng)恢復(fù)的眼圖信號(hào)，在采樣點(diǎn)為非周期時(shí)速率計(jì)算的局限性，提出一種基于快速傅里葉變換的速率計(jì)算方法。通過(guò)誤碼儀產(chǎn)生的NRZ 數(shù)據(jù)流為輸入信號(hào)進(jìn)行等效采樣，然后對(duì)恢復(fù)的波形疊加形成的眼圖信號(hào)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)合KMeans 聚類算法確定其0/1 電平及閾值，再對(duì)其做對(duì)稱處理后進(jìn)行傅里葉變換，從而確定信號(hào)的傳輸速率。在采樣數(shù)據(jù)較少的情況下，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了通過(guò)優(yōu)化算法計(jì)算信號(hào)傳輸速率結(jié)果比較精確，絕對(duì)誤差及相對(duì)誤差均在允許的范圍之內(nèi)。該算法運(yùn)算速度快、易于實(shí)現(xiàn)，并且有效解決了采樣數(shù)據(jù)較少和點(diǎn)分布不夠密集時(shí)計(jì)算存在的問(wèn)題。