楊盛慶,陳筠力,鐘超,劉艷陽,王文妍

1.上海航天控制技術(shù)研究所,上海 201109 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201109 3.上海航天技術(shù)研究院,上海 201109 4.上海衛(wèi)星工程研究所,上海 201109

1 引言

21世紀(jì)以來,衛(wèi)星編隊(duì)的理論研究和技術(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了蓬勃快速的發(fā)展。目前,國內(nèi)外均有長期自主控制的編隊(duì)衛(wèi)星發(fā)射入軌。在軌運(yùn)行的編隊(duì)衛(wèi)星中,主要以雙星編隊(duì)為主,進(jìn)行合成孔徑雷達(dá)(SAR)載荷的干涉成像[1]。隨著人們對分布式SAR快速測繪、三維成像、動目標(biāo)檢測等新觀測需求的不斷提出[2],多星編隊(duì)已成為衛(wèi)星編隊(duì)領(lǐng)域的熱點(diǎn),多星編隊(duì)形成的多通道、多基線是實(shí)現(xiàn)高分辨率寬測繪帶(high-resolution and wide-swath,HRWS)的有效途徑。以TanDEM-X為例,TanDEM-X衛(wèi)星搭配TerraSAR-X衛(wèi)星形成雙星編隊(duì)開展合成孔徑雷達(dá)干涉(interferometric SAR,InSAR)成像。該系統(tǒng)在軌分別采用了45m和30m模糊高度進(jìn)行兩輪地面高程測量(每輪用時一年),通過中國余數(shù)定理解決全球干涉相位解纏繞問題。如果采用多星編隊(duì),可同時獲取45m和30m模糊高度的InSAR數(shù)據(jù),快速實(shí)現(xiàn)地面高程測量。因此,多星編隊(duì)構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計(jì)與控制是未來分布式SAR衛(wèi)星的重要研究方向之一。

衛(wèi)星編隊(duì)研究開展伊始,主要圍繞相對動力學(xué)模型的構(gòu)造?；诘劝腴L軸和小偏心率的假設(shè),構(gòu)造以參考衛(wèi)星為動坐標(biāo)系原點(diǎn)的Hill方程,Hill方程具有經(jīng)典的CW方程形式的解析解。由CW方程可以直觀地得到軌道面內(nèi)橢圓運(yùn)動、軌道面外簡諧運(yùn)動的相對運(yùn)動特征。同時,為了提高相對運(yùn)動方程進(jìn)行軌道積分的有效性,文獻(xiàn)[3]提出了改進(jìn)型Hill方程和Hill方程的精確模型形式。但需要指出的是,Hill方程使用的Hill坐標(biāo)參數(shù)以軌道周期變化,其時域解析形式的幾何意義不夠清晰。文獻(xiàn)[4-5]利用空間幾何關(guān)系,給出了使用相對軌道參數(shù)與Hill坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系,并分析了攝動環(huán)境下相對軌道參數(shù)的變化規(guī)律。相對軌道參數(shù)的變化剝離了周期特性,由其刻畫的構(gòu)型參數(shù)變化穩(wěn)定。目前,該方法成功應(yīng)用在了PRISMA[6-7]、TanDEM-X[8-9]和天繪二號[10-12]等衛(wèi)星編隊(duì)的任務(wù)之上。但隨著未來衛(wèi)星編隊(duì)中個體數(shù)量的逐漸增多,個體之間將出現(xiàn)同構(gòu)和異構(gòu)特征[13]。其中,異構(gòu)多星編隊(duì)內(nèi)衛(wèi)星間相對運(yùn)動差異更大,編隊(duì)控制的難度也將更大。衛(wèi)星編隊(duì)在軌長期自主控制的一項(xiàng)重要工作是編隊(duì)構(gòu)型保持,即形成空間中穩(wěn)定的載荷測量基線,支撐對地觀測的任務(wù)規(guī)劃。文獻(xiàn)[14-16]討論了空間基線和載荷測量基線的關(guān)系,給出了保障InSAR成像需求的編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)設(shè)計(jì)方法。多星編隊(duì)的基礎(chǔ)是相對運(yùn)動構(gòu)型參數(shù)設(shè)計(jì),即滿足多星相對運(yùn)動耦合條件下的安全性要求,同時滿足載荷測量基線的工作要求。因此,本文基于Hill坐標(biāo)和三角函數(shù)公式分析了多星編隊(duì)中任意兩星的相對運(yùn)動特征,給出了編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)中軌道面內(nèi)角度的設(shè)計(jì)依據(jù)。結(jié)合構(gòu)型參數(shù)和載荷測量基線定義不難發(fā)現(xiàn),對于確定的視線角,最大有效基線的峰值僅一處。考慮到軌道面外構(gòu)型的長期穩(wěn)定,采用等傾角設(shè)計(jì)。編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)中軌道面外參數(shù)的可取值空間較小。理論上,單主星加雙輔星的組合能夠?qū)崿F(xiàn)最大有效基線組合。隨著輔星數(shù)量的增多,編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)中軌道面內(nèi)角度需要考慮峰值附近的折中取值來保障多星的星間相位差。基于上述理論分析,本文提出了多星編隊(duì)最大有效基線組合的構(gòu)型參數(shù)設(shè)計(jì)方法。

編隊(duì)構(gòu)型保持可以分為軌道面內(nèi)構(gòu)型保持和軌道面外構(gòu)型保持。其中,軌道面外的構(gòu)型漂移主要由于日月三體攝動、不同軌道高度下J2項(xiàng)攝動和太陽光壓攝動長期累積造成,控制周期較長。軌道面內(nèi)的構(gòu)型漂移主要由于J2項(xiàng)攝動和大氣阻力的長期影響[17]。J2項(xiàng)攝動使相對軌道參數(shù)中的相對偏心率矢量產(chǎn)生一個長周期的變化[18]。大氣阻力攝動下,星間的面質(zhì)比差異則會導(dǎo)致不同的軌道衰減速率,產(chǎn)生星間的平均半長軸偏差,進(jìn)而產(chǎn)生相對運(yùn)動中心在沿跡向的漂移[19]。經(jīng)典的軌道面內(nèi)構(gòu)型保持采用半長軸偏差、沿跡向漂移、偏心率矢量的三脈沖能量最優(yōu)的聯(lián)合調(diào)整策略[20-21],適用于配置化學(xué)推進(jìn)系統(tǒng)的衛(wèi)星編隊(duì)任務(wù)。

編隊(duì)控制的結(jié)構(gòu),需要根據(jù)不同編隊(duì)的相對運(yùn)動特性進(jìn)行設(shè)計(jì)。同構(gòu)的衛(wèi)星編隊(duì),相對運(yùn)動的系統(tǒng)性偏差較小,可以采用虛擬構(gòu)型或者分布式一致性控制[22],編隊(duì)控制能夠使相對運(yùn)動趨于編隊(duì)中衰減率最小的衛(wèi)星。現(xiàn)有的編隊(duì)構(gòu)型保持控制方法,主要針對同構(gòu)編隊(duì),控制目標(biāo)為輔星相對主星的零偏狀態(tài)。考慮到衛(wèi)星編隊(duì)中不同衛(wèi)星可能存在的功能差異以及生產(chǎn)和發(fā)射成本的控制,需要考慮異構(gòu)編隊(duì)的情況。異構(gòu)的衛(wèi)星編隊(duì),相對運(yùn)動的系統(tǒng)性偏差則不容忽視。由于J2項(xiàng)攝動和日月三體引力為保守力,星間的差異較小。多星編隊(duì)中的異構(gòu)主要是大氣阻力攝動作用下的星間面質(zhì)比差異,及由此產(chǎn)生的相對運(yùn)動偏差。異構(gòu)的多星編隊(duì)可以采用主從式結(jié)構(gòu)控制。一般來講,由于體積和面積的關(guān)系,主星一般為編隊(duì)中較大的衛(wèi)星(面質(zhì)比較小)。輔星圍繞主星執(zhí)行編隊(duì)構(gòu)型保持控制,異構(gòu)編隊(duì)中采用主從式控制本質(zhì)上能趨于最小控制代價?？紤]到從星相對于主星的衰減較快,本文考慮采用偏置控制方式來實(shí)現(xiàn)多星編隊(duì)的構(gòu)型保持。

本文針對多星編隊(duì)的相對運(yùn)動問題,提出了基于Hill坐標(biāo)和三角函數(shù)公式的多星相對運(yùn)動分析方法?；赟AR載荷測量基線定義,提出了實(shí)現(xiàn)最大有效基線組合的編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)的設(shè)計(jì)方法。通過分析J2項(xiàng)攝動和大氣阻力攝動的長期影響,提出了多星編隊(duì)的主從形式脈沖偏置控制,能夠?qū)崿F(xiàn)異構(gòu)多星編隊(duì)的編隊(duì)構(gòu)型保持。

2 軌道動力學(xué)原理

2.1 相對運(yùn)動方程

式中:n為軌道角速度;u為主星的緯度幅角;Δa為星間的半長軸偏差。

編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)到Hill坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系滿足[11]

2.2 相對運(yùn)動的軌道擬平根數(shù)

定義相對軌道擬平根數(shù)Δe,Δi及其分量Δex,Δey,Δix,Δiy,滿足:

編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)的相對軌道擬平根數(shù)表述滿足[11]:

2.3 多星編隊(duì)與從星相對運(yùn)動

基于Hill坐標(biāo)和三角函數(shù)公式分析多星編隊(duì)的相對運(yùn)動特征。為了便于理解,下文中Hill坐標(biāo)系略去前文所使用的下標(biāo)H,下標(biāo)用于區(qū)別衛(wèi)星序號。

假設(shè)Sat1為主星,主從星之間的構(gòu)型幾何尺度參數(shù)p,s相同。因此,在Sat1的Hill坐標(biāo)系下,Sati和Satj之間的三軸相對位置滿足公式(1)。

(1)

通過計(jì)算可以得到,任意兩星間軌道面內(nèi)的相對運(yùn)動方程滿足公式(2)。

(2)

由上式可以推導(dǎo)得到,任意兩星之間軌道面內(nèi)的相對運(yùn)動為周期性橢圓運(yùn)動,橢圓的尺度與主從星的構(gòu)型幾何尺度參數(shù)p、相位角偏差θj1-θi1有關(guān)。

為了滿足軌道面外構(gòu)型的長期穩(wěn)定,采用等傾角設(shè)計(jì),即要求φ取值在90°或270°附近。

圖1 軌道面內(nèi)兩種不同分布的四星編隊(duì)構(gòu)型Fig.1 Configuration of four satellites formation in orbit plane

2.4 多星編隊(duì)的有效基線

定義Hill坐標(biāo)下視線角為高低角αT,載荷測量的目標(biāo)視線單位矢量滿足公式(3)。

nT=(-sinaT,0,cosaT)T

(3)

結(jié)合空間基線B=(xH,yH,zH)T,B⊥=(xH,0,zH)T,矢量之間的夾角滿足公式(4)。

(4)

如圖2所示,載荷測量的有效基線長度滿足公式(5)。

(5)

圖2 有效基線的定義Fig.2 Illumination of effective baseline

根據(jù)有效基線定義,有效基線長度是關(guān)于p,s,u,θ,φ的多變量函數(shù)。根據(jù)不同組合的仿真情況,可以觀察到在固定組合下,θ在[0,2π]區(qū)間內(nèi)的峰值僅一處。為保證從星之間按順序增長的120°相位角差,設(shè)計(jì)如表1所示的編隊(duì)構(gòu)型參數(shù),盡可能使從星形成的有效基線盡可能的長。如圖3所示,在不同的緯度幅角位置,不同的從星能夠與主星形成不同有效基線長度,進(jìn)行HRWS SAR測量。

表1 多星編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)

圖3 編隊(duì)形成的有效基線隨時間變化情況Fig.3 Transformation of effective baselines in formation

圖4為表征軌道面內(nèi)相對運(yùn)動特征的Hill坐標(biāo)系XHOYH平面分量的時序變化圖,Hill坐標(biāo)系以主星Sat1為坐標(biāo)系原點(diǎn),圖中的黃線為采樣時刻從星之間的連線。

圖4 四星編隊(duì)在軌道面內(nèi)的相對運(yùn)動特性Fig.4 Configuration transformation of four satellites formation in orbit plane

如前文所述,為了滿足軌道面外構(gòu)型的長期自穩(wěn)定,要求φ取值在90°或270°附近。圖5中載荷視線角的高低角取30°或60°兩種不同的值,

圖5 不同組合條件下的有效基線仿真情況(波峰/波谷情況隨aT變化)Fig.5 Simulations of effective baselines under different parameters (wave top and bottom versus aT)

可以發(fā)現(xiàn)最大有效基線的長度與軌道面內(nèi)的相位角有關(guān)。當(dāng)φ=90°時,僅有θ=360°一個峰值。當(dāng)φ=270°時,僅有θ=180°一個峰值。因此,當(dāng)編隊(duì)內(nèi)有兩個從星時,可以設(shè)置軌道面內(nèi)和軌道面外的相位參數(shù)組合(φ=90°,θ=360°),(φ=270°,θ=180°)。當(dāng)編隊(duì)內(nèi)從星多于兩個時,則無法使每顆從星獲得理論上的最大有效基線。以具有三顆從星的衛(wèi)星編隊(duì)為例,如表1所示取一顆從星(φ=270°,θ=180°),另兩顆從星的軌道面內(nèi)相位參數(shù)需要折中考慮,在θ=360°兩邊取值60°或300°。在有效基線的組合最大化的同時,使三顆從星之間的軌道面內(nèi)相位差均勻取值120°。

3 攝動下的編隊(duì)相對運(yùn)動

3.1 J2項(xiàng)作用下的長期相對運(yùn)動

J2項(xiàng)作用下,相對軌道根數(shù)的變化率如下[18]:

式中:

J2為地球非球形引力場的J2項(xiàng)系數(shù);Re為地球半徑;e為偏心率。

對編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)的面內(nèi)角度求導(dǎo)得到其變化率如式(6)所示,并估計(jì)一天的累積變化量Δθ。

(6)

假設(shè)相對偏心率矢量初值取值為:

Δex(t0)=Δex0,Δey(t0)=Δey0

求解微分方程組,可以得到相對偏心率矢量的解析解滿足公式(7)。

(7)

3.2 大氣阻力對編隊(duì)運(yùn)動的影響

大氣阻力對編隊(duì)運(yùn)動的影響體現(xiàn)為衛(wèi)星之間不同面質(zhì)比所引起的軌道衰減偏差,進(jìn)而產(chǎn)生沿跡向的偏差,疊加到橢圓相對運(yùn)動軌跡之上。

近地軌道上,大氣阻力是改變軌道運(yùn)動的一項(xiàng)重要非保守力攝動,由其引起的攝動加速度為:

式中:CD為大氣阻力系數(shù);A為迎風(fēng)面積;m為衛(wèi)星質(zhì)量;ρ為大氣密度;v為衛(wèi)星的運(yùn)動速度。

大氣阻力主要是由大氣分子撞擊衛(wèi)星表面所吸收的能量引起。考慮衛(wèi)星的立體模型,一般為對稱結(jié)構(gòu),軌道徑向和法向的大氣阻力基本呈力平衡狀態(tài)。因此,大氣阻力主要體現(xiàn)軌道面內(nèi)沿跡向的累積效應(yīng)。地面進(jìn)行軌道積分仿真時,需要注意衛(wèi)星的運(yùn)動速度v、大氣攝動加速度aair_drag所處的坐標(biāo)系,需要在慣性系和軌道系之間轉(zhuǎn)換。

簡單的大氣密度可采用指數(shù)模型[17]。

式中:ρ0為參考點(diǎn)大氣密度;R0為參考點(diǎn)的地心距;H為密度標(biāo)高。此外,還可以通過查大氣密度表,并結(jié)合實(shí)際軌道高度進(jìn)行擬合插值得到大氣密度。

以600km軌道高度為例,取平均大氣密度約為ρ=1.62×10-13kg/m3。取CD=2.2,如式(8)所示估計(jì)軌道平均半長軸的衰減率。

(8)

由面質(zhì)比差異引起的半長軸偏差的變化率滿足公式(9)。

(9)

考慮面質(zhì)比如表2所示的異構(gòu)多星編隊(duì),以Sat1和Sat2為例,日均衰減偏差δΔaday為4.9m/d。

表2 大氣阻力相關(guān)參數(shù)與示例軌道的日衰減

由于大氣阻力主要在軌道面內(nèi),因此由大氣阻力產(chǎn)生的相對偏心率矢量的平均變化率可以表示為:

(10)

以Sat1和Sat2參數(shù)為例分析,式(10)中cosu,sinu為關(guān)于緯度幅角的三角周期函數(shù),關(guān)于軌道周期積分為零。因此,大氣阻力攝動簡化為:

假設(shè)從星的軌道控制采用20mN的電推進(jìn)系統(tǒng)。由不同攝動源引起的相對偏心率的變化率如表3所示。相對于J2項(xiàng)攝動,大氣阻力攝動對相對偏心率矢量的影響可以忽略。

需要說明的是,面質(zhì)比差異和大氣阻力造成的軌道高度不一致結(jié)合地球非球形引力場的J2項(xiàng)攝動,會產(chǎn)生軌道升交點(diǎn)赤經(jīng)的差異。該項(xiàng)差異對應(yīng)相對軌道傾角矢量的變化,形成軌道面外的相對運(yùn)動。本文設(shè)計(jì)的偏置控制方法,可以實(shí)現(xiàn)控制周期內(nèi)異構(gòu)衛(wèi)星之間平均半長軸基本一致。因此,由J2項(xiàng)攝動和大氣阻力引起的面外相對運(yùn)動具有周期性且累積量較小。

表3 不同外力源對相對偏心率矢量變化的影響

4 多星編隊(duì)的控制方法

4.1 半長軸偏差與沿跡向漂移的運(yùn)動特征

軌道的半長軸不是一個直接測量的物理量,而是軌道能量的一種表征,在軌受攝動影響存在波動。剝離短周期項(xiàng)而得到的半長軸平根仍具有一定振幅的周期性波動。

星間的半長軸偏差可以理解為沿跡向漂移的變化速率,是沿跡向漂移相關(guān)的統(tǒng)計(jì)量。由半長軸偏差導(dǎo)致的軌道角速度偏差滿足公式(11):

(11)

由軌道角速度偏差累積的沿跡向漂移滿足公式(12):

(12)

因此,半長軸偏差與沿跡向漂移率滿足:

半個軌道周期內(nèi),由半長軸偏差產(chǎn)生的沿跡向漂移量滿足:

4.2 軌道的脈沖控制效應(yīng)

對于小偏心率軌道,軌道運(yùn)動的高斯攝動方程可以簡化,并由此衍生得到脈沖推力條件下軌道參數(shù)控制量與速度增量的關(guān)系滿足公式(13)。

(13)

式中:ΔvT為軌道面內(nèi)沿跡向的速度增量。

4.3 脈沖控制率

軌道面內(nèi)編隊(duì)構(gòu)型保持需要將衛(wèi)星間的相對半長軸Δac、相對偏心率矢量(δΔex,δΔey)、相對相位Δuc控制到目標(biāo)狀態(tài)。采用三脈沖控制對上述三組相對軌道參數(shù)進(jìn)行控制,以三次脈沖的控制量為待求變量,以三脈沖控制對應(yīng)的控制效果建立代數(shù)方程并求解。其解唯一,且三脈沖控制之間的間隔確定,控制殘差較兩脈沖控制更小。三脈沖控制中前后兩次脈沖控制實(shí)施的相位差取π,盡可能減小半長軸控制對相對偏心率矢量的影響[23]。

控制參數(shù)Δac=af-az,Δl≈aΔuc=a(uf-uz),及軌道面內(nèi)構(gòu)型參數(shù)δΔex,δΔey。首次脈沖控制點(diǎn)u=arctan(δΔey/δΔex)。以Δv1,Δv2,Δv3為待求解控制變量,控制目標(biāo)如式(14)所示。

(14)

解上述代數(shù)方程組,可得三次脈沖的控制量如式(15)所示。

(15)

根據(jù)式(7)中相對偏心率矢量的解析解,可以得到不同初值條件下,相對偏心率矢量與初始狀態(tài)的偏差量(δΔex(t),δΔey(t)),從而確定首次控制的控制點(diǎn)緯度幅角u。

δΔex(t)=Δex(t)-Δex0

δΔey(t)=Δey(t)-Δey0

4.4 控制周期與偏置控制

多星編隊(duì)在軌辨識出星間差異δΔaday后,可以結(jié)合沿跡向的偏置距離L*確定控制周期,如式(16)所示。

(16)

當(dāng)多星編隊(duì)采取相同的控制周期,即在一個軌道周期內(nèi)分時啟動脈沖控制,L*取值滿足式(17):

(17)

三脈沖控制方法中考慮目標(biāo)狀態(tài)偏置的相對軌道參數(shù)設(shè)置如式(18)所示:

(18)

三脈沖偏置控制方法的控制原理和過程如圖6所示。

圖6 脈沖機(jī)動的偏置控制原理Fig.6 Illustration of bias control under impulsive maneuver

4.5 編隊(duì)控制仿真驗(yàn)證

仿真采用半天一組自主編隊(duì)保持控制,進(jìn)行零偏目標(biāo)狀態(tài)和偏置狀態(tài)的控制仿真,仿真結(jié)果如圖7～9所示。仿真的構(gòu)型初值取小量偏置p=349,構(gòu)型保持的控制目標(biāo)取p=350,控制周期取半天。

零偏目標(biāo)狀態(tài)控制的仿真結(jié)果如圖7所示。區(qū)別于同構(gòu)編隊(duì)相對運(yùn)動在零偏差附近運(yùn)動的特征,異構(gòu)編隊(duì)的面內(nèi)相對運(yùn)動更明顯。從星相對于主星的半長軸衰減更快,且不一致。采用零偏目標(biāo)狀態(tài)控制能夠有效保持編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)p,s,θ,φ,如圖7(a)～ (d)所示。但是,將使得沿跡向偏差l和半長軸偏差Δa長期處于單極性狀態(tài),如圖7(e)～(f)所示。

圖7 半天周期零偏目標(biāo)狀態(tài)控制的構(gòu)型參數(shù)變化(Sat2示例)Fig.7 Transformations of configuration parameters under half a day period aim-state control (Sat2 for example)

偏置狀態(tài)控制的仿真結(jié)果如圖8～9所示。采用偏置狀態(tài)控制能夠有效保持編隊(duì)構(gòu)型參數(shù)p,s,θ,φ,如圖8(a)～(d)所示。同時,沿跡向偏差l和半長軸偏差Δa在零偏差兩側(cè)形成穩(wěn)定的周期控制軌跡,如圖8(e)～(f)所示。圖9為控制周期半天的偏置控制過程中相對軌道擬平根數(shù)的變化情況,圖10為控制周期一天的情況。

圖8 半天周期偏置控制的構(gòu)型參數(shù)變化(Sat2示例)Fig.8 Transformations of configuration parameters under half a day period bias control (Sat2 for example)

圖9 半天周期偏置控制下相對軌道參數(shù)變化(Sat2示例)Fig.9 Transformations of relative orbital parameters under half a day period bias control (Sat2 for example)

圖11為不同編隊(duì)構(gòu)型保持控制策略的控制代價,以半長軸的控制量形式進(jìn)行刻畫。根據(jù)式(14),三脈沖控制主要補(bǔ)償大氣阻力導(dǎo)致的相對半長軸偏差,將J2項(xiàng)作用導(dǎo)致的偏心率矢量偏差控制到目標(biāo)狀態(tài),相同時間跨度的條件下不同控制策略對于補(bǔ)償這兩項(xiàng)攝動的控制代價基本一致。同時,通過三脈沖控制過程中兩個階段的半長軸偏差所引起的軌道角速度偏差,對沿跡向偏差進(jìn)行補(bǔ)償。通過圖11(a)和 (b)的比對可以發(fā)現(xiàn),偏置控制對于沿跡向偏差l的控制代價更小,整體控制代價要小于傳統(tǒng)的零偏目標(biāo)狀態(tài)控制。

基于偏置控制方法,設(shè)計(jì)了不同控制周期下的仿真,如圖11(b)和 (c)所示。不同控制周期條件下,由大氣阻力導(dǎo)致的相對半長軸偏差的變化率和J2項(xiàng)作用導(dǎo)致的偏心率矢量變化率相同。而且,偏置控制條件下沿跡向偏差l與半長軸偏差Δa相關(guān),在零位狀態(tài)附近周期變化,由控制l產(chǎn)生的控制代價相對半長軸偏差和偏心率矢量偏差產(chǎn)生的控制代價相比,可以忽略不計(jì)。因此,偏置控制策略下,不同控制周期的控制代價基本一致。控制系統(tǒng)可以根據(jù)自身配置的導(dǎo)航測量設(shè)備、推進(jìn)系統(tǒng)能力和整星任務(wù)規(guī)劃綜合考量,設(shè)置合適的偏置控制周期。

圖11 不同編隊(duì)構(gòu)型保持控制策略的控制代價Fig.11 Control costs for different formation configuration preserving

需要指明的是,圖8中使用構(gòu)型參數(shù)l估計(jì)的Δa為接入控制率的重要參數(shù)。該項(xiàng)參數(shù)基于數(shù)據(jù)采樣,在控制實(shí)施階段置零,控制實(shí)施后在積累一定量的歷史數(shù)據(jù)后產(chǎn)生精準(zhǔn)的估計(jì)值。圖9中平根差計(jì)算的Δa為動力學(xué)理論值,用以觀測控制實(shí)施的效果。

采用以主星Sat1為坐標(biāo)系原點(diǎn)的Hill坐標(biāo)系進(jìn)行相對運(yùn)動的空間軌跡刻畫,圖12為編隊(duì)保持控制過程中從星相對主星的空間相對運(yùn)動軌跡。圖中的黃線為采樣時刻從星之間的連線。

圖12 編隊(duì)控制過程中的空間相對運(yùn)動軌跡Fig.12 Relative motion trajectory of formation under controls

5 結(jié)論

本文針對編隊(duì)內(nèi)衛(wèi)星數(shù)量增多所產(chǎn)生的相對運(yùn)動耦合問題,提出了基于Hill坐標(biāo)和三角函數(shù)公式的相對運(yùn)動特征分析方法。編隊(duì)從星之間的軌道面內(nèi)相對運(yùn)動仍具有周期性橢圓特性,且與從星與主星形成的軌道面內(nèi)相位角之間的偏差相關(guān)。為保證構(gòu)型參數(shù)的自穩(wěn)定,采用等傾角設(shè)計(jì),要求軌道面外角度參數(shù)取值在90°或270°附近,取值區(qū)間較小。軌道面內(nèi)角度參數(shù)則需要根據(jù)軌道面外角度參數(shù)和載荷有效基線定義進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),從而得到了一種有效基線最大化組合的構(gòu)型參數(shù)設(shè)計(jì)方法。

通過分析J2項(xiàng)攝動和大氣阻力攝動的長期影響,確定了異構(gòu)多星編隊(duì)的受攝相對運(yùn)動特征,主要是由大氣阻力和面質(zhì)比差異導(dǎo)致的軌道面內(nèi)相對運(yùn)動明顯?？紤]到主從星之間的面質(zhì)比差異極性,采用主從偏置形式的三脈沖控制方式實(shí)現(xiàn)多星編隊(duì)的構(gòu)型保持。在實(shí)現(xiàn)編隊(duì)構(gòu)型保持的同時,實(shí)現(xiàn)控制周期內(nèi)異構(gòu)主從星之間的平均半長軸一致性,減小對軌道面外運(yùn)動的影響。

進(jìn)一步的研究工作可以基于本文提出的從星之間的相對運(yùn)動分析方法,開展編隊(duì)中任意兩星實(shí)施InSAR成像的任務(wù)規(guī)劃問題。衛(wèi)星編隊(duì)中從星數(shù)量進(jìn)一步增加時,開展軌道面內(nèi)角度和軌道面外角度參數(shù)的聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)的相關(guān)研究工作。