以“圖”助“解”

文／柏黎平

平面直角坐標(biāo)系是溝通代數(shù)和幾何知識(shí)的重要橋梁，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義。同學(xué)們?cè)诮鉀Q圖形與坐標(biāo)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)因?yàn)閮烧弑容^抽象的對(duì)應(yīng)關(guān)系，出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤。為避免出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤，我們?cè)谧鲱}時(shí)，要多動(dòng)手畫(huà)圖，讓圖形來(lái)幫助我們解題和思考。

一、坐標(biāo)系概念不清，象限正負(fù)不分

例1 在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（m-3，1-m）在第三象限，求m的取值范圍。

【錯(cuò)因分析】出錯(cuò)的原因是對(duì)象限的概念和象限內(nèi)點(diǎn)的特征掌握不到位，甚至僅憑記憶來(lái)解題。同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類問(wèn)題時(shí)最好在紙上簡(jiǎn)單畫(huà)一下各象限的示意圖，強(qiáng)化對(duì)各象限點(diǎn)的符號(hào)特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。當(dāng)然，我們?nèi)裟茏龅健凹埳蠠o(wú)圖，心中有圖”就更好了。

二、到軸距離與橫縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系錯(cuò)位

例2 已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x-1，3x-2），且點(diǎn)P到x軸的距離為7，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

【錯(cuò)解1】由題意得x-1=7，解得x=8。

∴3x-2=22?！帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，22）。

【錯(cuò)解2】由題意得3x-2=7，解得x=3。

∴x-1=2?！帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，7）。

【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解1 誤認(rèn)為在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到x軸的距離為該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；錯(cuò)解2 雖然知道點(diǎn)到x軸的距離是該點(diǎn)的縱坐標(biāo)，但沒(méi)有意識(shí)到平面內(nèi)到x軸的距離等于7的點(diǎn)有兩個(gè)。同學(xué)們?cè)谧鲞@類題時(shí)，若能及時(shí)畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意嘗試在平面內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)P并標(biāo)注距離，就能發(fā)現(xiàn)到坐標(biāo)軸距離和橫縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而避免上述錯(cuò)誤。

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，7）或（-，-7）。

三、圖形變換時(shí)坐標(biāo)變化生搬硬套

例3 已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，-2），將點(diǎn)M關(guān)于y軸作軸對(duì)稱變換后，再向上平移3 個(gè)單位，變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a+b，1-b），求a、b的值。

【錯(cuò)因分析】不少同學(xué)在遇到圖形（點(diǎn)）的位置變換時(shí)，喜歡利用一些口訣（或公式）計(jì)算圖形（點(diǎn)）的坐標(biāo)變化，從而不畫(huà)圖快速解決此類問(wèn)題。但此類方法有較大弊端，在口訣多了或時(shí)間久了之后容易產(chǎn)生混淆和錯(cuò)亂。比如本題做錯(cuò)的原因大概率為記錯(cuò)“關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)變化特征”。同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)還是要按題意認(rèn)真畫(huà)圖，用圖形幫助思考，相信有了圖1的幫助，就不會(huì)發(fā)生上述錯(cuò)誤了。

圖1

四、圖形變化考慮不周全

例4 已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2a-1，a+4），且點(diǎn)P在兩坐標(biāo)軸夾角的角平分線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

【錯(cuò)解】如圖2，已知點(diǎn)P在x軸和y軸夾角平分線上，則點(diǎn)P到x軸和y軸的距離相等，即點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)相等，∴2a-1=a+4，解得a=5?！帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為（9，9）。

圖2

【錯(cuò)因分析】?jī)勺鴺?biāo)軸的夾角平分線共有4 條，分別是四個(gè)象限中的x軸和y軸夾角平分線。因此，錯(cuò)解僅考慮第一象限的情況是不周全的。當(dāng)問(wèn)題條件指代不清時(shí)，我們就要分類討論。

【正解】由題意分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)P在一、三象限夾角平分線上時(shí)，點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)相等，此時(shí)2a-1=a+4，解得a=5?！帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為（9，9）。

②當(dāng)點(diǎn)P在二、四象限夾角平分線上時(shí)，點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，此時(shí)（2a-1）+（a+4）=0，解得a=-1?！帱c(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，3）。

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9，9）或（-3，3）。

在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)（實(shí)數(shù)對(duì)）的數(shù)量變化與圖形的位置變化是相對(duì)應(yīng)的，數(shù)量的變化必然導(dǎo)致圖形的位置變化，反之亦然。同學(xué)們?cè)诮鉀Q圖形與坐標(biāo)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，既要從坐標(biāo)的數(shù)量變化上考慮，也要多畫(huà)圖，從圖形變化角度研究問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想，更好地解決問(wèn)題。