回到定義，魅力無窮

文／孫晉芳

“一元”到“二元”，“二元”至“三元”，量變質(zhì)不變，建立了新的數(shù)學(xué)模型；“三元”回到“二元”，再到“一元”，運用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想?！盎氐蕉x”是一項很重要的思維活動，有助于我們突破重難點。我們可以借助定義中的關(guān)鍵詞，找到解題的突破口。我們通過以下幾個例子一起感受這種方法的魅力。

一、根據(jù)題設(shè)中的概念，回到定義

同學(xué)們能類比一元一次方程的概念，給二元一次方程下個定義嗎？（核心詞是：含兩個未知數(shù)，且未知項的最高次數(shù)為1。）

例1若方程（k2-4）x2+（2k-4）x+（k+3）y+3k=0是關(guān)于x、y的二元一次方程，則k的值為________。

【解析】由二元一次方程的定義（含有兩個未知數(shù)，且未知項的次數(shù)是1 的整式方程）可知，k2-4=0，2k-4≠0，k+3≠0，從而解得k=-2。

【點評】題設(shè)中出現(xiàn)與解題有關(guān)的概念，無疑是“回到定義”最好的提示。抓住二元一次方程概念中的“二元”和“二次項次數(shù)”“整式方程”等關(guān)鍵詞是解題的關(guān)鍵。

二、由“式結(jié)構(gòu)”特征，回到定義

大道至簡，將復(fù)雜、陌生的問題轉(zhuǎn)換為簡單、熟悉的問題是解決問題的有效策略。解二元一次方程組，主要利用消元思想：先將未知數(shù)的個數(shù)由兩個轉(zhuǎn)化為一個，再利用解一元一次方程的方法，求得未知數(shù)的值。消元法主要有代入消元法和加減消元法。

例2解方程組：

【解析】如果直接用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，也容易出錯。如果我們把方程組中的（2x+3y）看作一個整體，把（2x-3y）看作另一個整體，通過換元，也可以解決問題。

解：令m=2x+3y，n=2x-3y。原方程組化為：

【點評】解決此類問題，如果按照常規(guī)解題思路，很麻煩。同學(xué)們在下筆前要先仔細(xì)觀察“式結(jié)構(gòu)”，對方程組中的“式結(jié)構(gòu)”特征加以識別，再回到“消元法”，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。

三、理清相等關(guān)系，回到定義

眾所周知，在解決問題時，審題是關(guān)鍵。二元一次方程組是刻畫現(xiàn)實生活的重要數(shù)學(xué)模型，它為現(xiàn)實生活中涉及多個未知數(shù)的問題提供了數(shù)學(xué)模型和解題策略。

例3甲、乙兩個工程隊共同修建150km 的公路，原計劃30 個月完工。實際施工時，甲隊通過技術(shù)創(chuàng)新，施工效率提高了50%；乙隊施工效率不變，結(jié)果提前5個月完工。甲、乙兩個工程隊原計劃平均每月分別修建多長的公路？

【解析】本題有兩組相等關(guān)系：（甲工程隊原來的工作效率+乙工程隊的工作效率）×30=150，（甲工程隊現(xiàn)在的工作效率+乙工程隊的工作效率）×（30-5）=150。根據(jù)等量關(guān)系，列出二元一次方程組即可。

解：設(shè)甲工程隊原計劃平均每月修建xkm，乙工程隊原計劃平均每月修建ykm，則兩隊原計劃平均每月修建（x+y）km，甲隊技術(shù)創(chuàng)新后兩隊平均每月修建［（1+50%）x+y］km，根據(jù)等量關(guān)系可列出方程組

答：甲工程隊原計劃平均每月修建2km，乙工程隊原計劃平均每月修建3km。

【點評】列方程組解決實際問題，要從復(fù)雜的語境中提煉出描述數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵句，其本質(zhì)與列一元一次方程一樣，要根據(jù)“已知”“未知”之間的數(shù)量關(guān)系列出方程。一般有幾個未知數(shù)，就列出幾個方程，所列方程必須滿足：（1）方程兩邊表示的是同類量；（2）同類量的單位要統(tǒng)一；（3）方程兩邊的數(shù)值要相等。