由一道“不一般”的方程組問題說起

文／ 梅 婷

近幾年，中考試題中出現(xiàn)了一類“結(jié)構(gòu)不良”試題。這類試題增強(qiáng)了試題的開放性，更注重考查問題的解決和策略的選擇。那么，二元一次方程組的計算與這類問題又能碰撞出什么樣的火花呢？

試題呈現(xiàn)已知下列幾個二元一次方程：①y=2x-3；②3x+2y=8；③2x+3y=-3；④1.8x+1.2y=4.8；⑤4x-2y=-1，請你從中任選兩個，組成一個二元一次方程組，并求解。

一、感悟算理，明晰本質(zhì)

【點評】以上計算過程先后運用了等量代換、乘法分配律、加法交換律、等式的性質(zhì)。算理是運算的理論依據(jù)，其所指的是各種運算的意義、法則、公式、運算律和運算性質(zhì)，詮釋“為什么這樣算”“它有什么作用”，為計算提供可靠的依據(jù)。

【點評】對于互為相反數(shù)的兩個數(shù)a和b，我們常常想到等式——a+b=0。方法2 將兩個等式相加，那么含有未知數(shù)y的項則會消失，達(dá)到“消元”的目的，這也就是我們熟悉的相加（減）消元法。

二、仔細(xì)觀察，優(yōu)選方法

（1）若將④÷0.6，得3x+2y=8，后續(xù)計算與方法2相同。

（2）若將⑤×0.6，得2.4x-1.2y=-0.6⑥，④+⑥，得4.2x=4.2，解得x=1。將x=1 代入⑤，

【點評】很多情況下，我們會思維固化，忽略第二種解法，認(rèn)為系數(shù)同乘小數(shù)會加大計算量，其實不然。我們要打破這種思維定式，具體問題具體分析。

方法4選擇①⑤，即解二元一次方程組

方法5選擇②④，即解二元一次方程組

根據(jù)方法3 的分析過程，方程④÷0.6，得3x+2y=8，與方程②一樣。因此，同時滿足兩個方程的x、y的值有無數(shù)組，即原方程組的解有無數(shù)個。

【點評】至此，我們不難發(fā)現(xiàn)，二元一次方程的解有無數(shù)個，而二元一次方程組解的情況有三種——一個解、無解、無數(shù)解，因此，要辯證地看待二元一次方程組解的問題，理性計算，嚴(yán)格檢查。

方法6選擇③⑤，即解二元一次方程組

許多同學(xué)首先想到的是③×2-⑤。我們也可以將2x=-3y-3 作為一個整體代入方程⑤中，本質(zhì)上還是代入消元法。我們還可以將方程⑤變形成2（2x+3y）-8y=-1，再將2x+3y=-3 整體代入求解。下面分享一類新奇的解法——消常數(shù)項以探討兩個未知數(shù)之間的關(guān)系，供同學(xué)們參考。

解：將⑤×3，得12x-6y=-3，⑦

③-⑦，得9y-10x=0，

【點評】無論用哪一種方法解方程組，最終都是將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”求解。這為后面三元一次方程組的解法提供了思路，是解多元一次方程組的基本策略。當(dāng)然，在運算結(jié)束時，我們還要進(jìn)行檢驗，以便及時糾正錯誤。

同學(xué)們，初中階段會有很多不同類型的計算，只要我們看透其本質(zhì)，掌握算律、算理、算法，善于對比歸納，不管有多少方法，我們都能融會貫通，問題也能迎刃而解。