基于教材情境促進(jìn)數(shù)學(xué)交流的原理學(xué)習(xí)再認(rèn)識

江麗梅 劉永東

[摘? 要] 文章以“角的平分線的性質(zhì)”為例，基于對數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的再認(rèn)識開展教學(xué)實(shí)踐，提出教師可依托教材設(shè)置的問題情境內(nèi)涵，引領(lǐng)學(xué)生開展數(shù)學(xué)交流，以促進(jìn)學(xué)生體悟數(shù)學(xué)思想，在深度的概念思辨中習(xí)得原理，并在拓展應(yīng)用原理的過程中完善思維，積累遷移探究新問題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

[關(guān)鍵詞] 原理學(xué)習(xí);角平分線;數(shù)學(xué)交流;教材情境

對原理學(xué)習(xí)的再認(rèn)識

數(shù)學(xué)中的原理主要包括公式、法則、定理和性質(zhì). 數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)實(shí)際上是學(xué)習(xí)一些概念之間的關(guān)系，它不是習(xí)得描述原理的言語信息，而是習(xí)得原理的心理意義，是一種有意義的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)后能指導(dǎo)自己的行為并解決遇到的新問題[1]. 在學(xué)習(xí)認(rèn)知方式上，教師開展原理學(xué)習(xí)的一般教學(xué)方式可分三步：引入、證明和應(yīng)用. 引入是教師通過創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生經(jīng)歷原理發(fā)現(xiàn)的過程;證明是對原理進(jìn)行嚴(yán)密的推理和論證，使得學(xué)生原有的原理知識被再次激活，形成新知，完善原理網(wǎng)絡(luò);應(yīng)用是教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用原理解決數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題，逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

然而，在原理教學(xué)中，教師容易走進(jìn)一些誤區(qū). 如直接告知原理，沒有揭示原理產(chǎn)生的過程，導(dǎo)致學(xué)生未能真正理解原理. 又如原理證明后，不再引導(dǎo)學(xué)生通過閱讀教材來剖析原理，導(dǎo)致學(xué)生僅是習(xí)得描述原理的信息，停留在知其然而不知其所以然的狀態(tài). 雖然，當(dāng)前教師通過開展不同形式的探究活動(dòng)來改進(jìn)原理教學(xué)，但又有新問題出現(xiàn). 如少用教材中的素材來引發(fā)學(xué)生思考，而用自創(chuàng)情境探索原理，但教師自創(chuàng)的情境有時(shí)會偏離數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，導(dǎo)致學(xué)生很難理解原理.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對教材的編寫給出了明確的建議，其應(yīng)體現(xiàn)科學(xué)性、整體性、可讀性，此外內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)體現(xiàn)過程性，內(nèi)容的設(shè)計(jì)要有一定彈性，總的來說，要有利于教師創(chuàng)造性教學(xué)[2]. 不管是教師的創(chuàng)造性教學(xué)，還是學(xué)生的創(chuàng)造性學(xué)習(xí)，都離不開對教材的合理使用. 合理使用教材的前提是師生需具有一定的數(shù)學(xué)閱讀能力. 教師閱讀教材越深入，越能挖掘教材的編寫意圖，通過問題轉(zhuǎn)換和思辨交流來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí);學(xué)生閱讀教材越深入，越能習(xí)得描述原理的信息，并在教師的引導(dǎo)下對原理開展自我探究和深度思考，真正明其意、辨其理.

開展原理學(xué)習(xí)，需師生共同精讀教材，理解教材內(nèi)涵，依托教材探究，其最終目的是引發(fā)學(xué)生深度交流，從中發(fā)現(xiàn)問題，完善和積累學(xué)習(xí)原理的經(jīng)驗(yàn). 下面，文章將以“角的平分線的性質(zhì)“原理學(xué)習(xí)（下文簡稱“性質(zhì)”，源于人教版數(shù)學(xué)八年級上冊第12章）為例實(shí)踐這一認(rèn)識.

對原理學(xué)習(xí)的再探索

（一）如何依托教材實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造性教學(xué)

很多教師都非常認(rèn)同“用教材教，而不是教教材”這一觀點(diǎn)，即教師在吃透教材的基礎(chǔ)上再創(chuàng)造、再設(shè)計(jì)，而教教材則是生搬硬套，照本宣科. 何為吃透？即深入了解編者的設(shè)計(jì)意圖和設(shè)計(jì)理念，深度挖掘和領(lǐng)悟教材內(nèi)涵，達(dá)到用教材教的境界.

本課例也遵循著一定的“研究套路”，人教版教材對初中幾何圖形的“研究套路”是從定義到性質(zhì)再到判定，其中研究性質(zhì)的過程可以通過觀察測量、猜想證明等方式完成. 由于角平分線的性質(zhì)學(xué)習(xí)是全等三角形知識的運(yùn)用和延續(xù)，為學(xué)生學(xué)習(xí)線段垂直平分線的性質(zhì)提供了探索經(jīng)驗(yàn). 一般情況下，學(xué)生閱讀教材后，難以分辨是新性質(zhì)學(xué)習(xí)還是全等三角形的知識應(yīng)用. 除此之外，教材對如何探究原理都有明確指向性. 如在性質(zhì)探究中指出要在角的平分線上任意取點(diǎn)，并向角的兩邊作垂線，然后測量所得垂線段長度從而猜想性質(zhì)，學(xué)生只需按部就班操作即可獲得性質(zhì). 但教材沒有指出為什么向角的兩邊作垂線，如果作其他輔助線是否還存在其他性質(zhì)，對這些問題學(xué)生并不清楚.

實(shí)際上，探索該性質(zhì)的難點(diǎn)在于添加輔助線，需要借助幾何直觀，但又不是能直接通過觀察圖形而得到某種結(jié)論. 這與學(xué)生已學(xué)習(xí)的一些原理不同. 如三角形的內(nèi)角和定理，能通過圖形直觀看到三個(gè)內(nèi)角而直接猜想. 角的平分線圖形除了角相等，不存在線段相等的情形，如何讓學(xué)生基于圖形添加輔助線得到相等關(guān)系，是教學(xué)難點(diǎn). 教師可以把解決問題的眼光聚焦到教材上，教材一開始給出分角器的素材（圖1）的作用是引導(dǎo)學(xué)生習(xí)得用尺規(guī)作角的平分線的方法，以及啟發(fā)學(xué)生添加輔助線. 然而學(xué)生無法通過獨(dú)立閱讀教材去理解其中隱含的思路，此時(shí)教師應(yīng)依托教材情境增設(shè)疑問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探究，體悟研究圖形的新思路.

（二）如何挖掘教材以達(dá)成善用

如何挖掘教材讓其轉(zhuǎn)化為課堂教學(xué)素材，如何在教學(xué)實(shí)踐中讓學(xué)生深度思辨，在充分的數(shù)學(xué)交流中轉(zhuǎn)化認(rèn)知，以達(dá)成對教材的創(chuàng)造性使用？筆者對此再探索，結(jié)合課堂四個(gè)片段簡要解析.

1. 引入教學(xué)片段

上課后，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧全等三角形的性質(zhì)和判定，明確全等三角形的原理學(xué)習(xí)為證明線段和角相等提供了方法，為以后研究幾何圖形的邊角關(guān)系增加了工具.

師：學(xué)完全等三角形的性質(zhì)與判定方法后，我們接著學(xué)習(xí)什么？

生：全等三角形的應(yīng)用.

師：為什么教材的編排卻是先研究角平分線的性質(zhì)呢？

生：這個(gè)角平分線的性質(zhì)的探索就是全等三角形的應(yīng)用.

師：既然角平分線的性質(zhì)研究是全等三角形的應(yīng)用，那么通過這個(gè)圖形除了得到角的數(shù)量關(guān)系，還能得到線段的數(shù)量關(guān)系嗎？

學(xué)生陷入沉思……

師：我們能否利用全等三角形的知識，探索角的平分線的更多性質(zhì)呢？

問題解析：這樣設(shè)疑是讓學(xué)生明確性質(zhì)探索實(shí)質(zhì)上是全等三角形的應(yīng)用，掌握對幾何圖形認(rèn)識研究的一般規(guī)律. 當(dāng)學(xué)生暫且無法回答問題時(shí)，引導(dǎo)他們回顧三角形三條重要線段的作用：中線可平分線段，還可平分三角形面積;由高可得直角，還可求三角形面積;通過角的平分線得到角相等. 由此思考可添加輔助線去探索新性質(zhì).

2. 發(fā)現(xiàn)教學(xué)片段

教材中分角器是個(gè)好素材. 利用它可引導(dǎo)學(xué)生探索尺規(guī)作角的平分線的原理，還可啟發(fā)學(xué)生的探究思維. 觀察分角器（如圖1），射線AE平分∠DAB是建立在DE=BE，AD=AB的基礎(chǔ)上的，運(yùn)用全等三角形判定定理和性質(zhì)定理得到∠DAE與∠BAE相等，進(jìn)而設(shè)置問題：基于角的平分線，在角的內(nèi)部如何構(gòu)造兩條相等線段？顯然，由于圖形中不存在線段，如何構(gòu)造兩條線段是個(gè)難點(diǎn)，對此教師設(shè)置如下疑問引導(dǎo)學(xué)生自主探究.

師：線段是由點(diǎn)構(gòu)成的，那么線段的第一個(gè)端點(diǎn)要在哪里選擇？為什么？

生：角的平分線上，因?yàn)檠芯繉ο笫墙瞧椒志€.

師：線段的另外一個(gè)端點(diǎn)落在哪里，如何確定？

生：在角的兩邊分別取點(diǎn)M，N，使得MP=NP.

師：這樣的構(gòu)造能得到哪些線段相等呢？

生1：OM=ON.

生2：不一定. 以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑畫圓，交角的兩邊共有四個(gè)點(diǎn)，分別為M，N，N′，M′，雖然PM=PN=PM′=PN′，但根據(jù)全等三角形的判定定理，由“SSA”無法證明這四個(gè)點(diǎn)與角的頂點(diǎn)O的距離相等（圖2），所以這樣取點(diǎn)不準(zhǔn)確.

師：顯然，這樣的做法確實(shí)不夠準(zhǔn)確. 換個(gè)角度，為避免出現(xiàn)這種情況，我們可以找最特殊的相等線段進(jìn)行研究，也就是從點(diǎn)P到∠AOB的兩邊都只能畫出唯一確定的線段，結(jié)合所學(xué)知識，大家認(rèn)為怎樣作輔助線更合適？

問題解析：原理學(xué)習(xí)要求學(xué)生能從已有知識中提出問題或解決問題，當(dāng)學(xué)生不知道如何選點(diǎn)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生回顧已有知識去思考問題，進(jìn)而從特殊位置思考，即在相等的線段中，垂線段具備位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的特殊性. 由此向角的兩邊作垂線段（圖2），當(dāng)點(diǎn)P確定，PD和PE就是唯一確定的位置關(guān)系. 這里讓學(xué)生體悟一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，體悟發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的途徑，形成運(yùn)用知識解決問題時(shí)的批判性思維.

3. 再發(fā)現(xiàn)教學(xué)片段

在學(xué)生完成性質(zhì)探索和證明后，教師強(qiáng)調(diào)性質(zhì)是通過探索特殊位置得到相等數(shù)量關(guān)系，明確探究未知問題時(shí)，特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊值都是發(fā)現(xiàn)問題的起點(diǎn)，此時(shí)，不妨再追問.

師：如圖3，過點(diǎn)P作射線OC的垂線，交角的兩邊于點(diǎn)M，N，得到的MP與NP是否也相等呢？

生：MP=NP.

師：既然兩條線段相等，為什么它不能作為角的平分線性質(zhì)呢？

問題解析：引導(dǎo)觀察，發(fā)現(xiàn)△MON是一個(gè)等腰三角形，且角的平分線OP不僅是△MON的頂角的平分線，還是底邊上的高和中線，該性質(zhì)不作為角的平分線的獨(dú)特性質(zhì)學(xué)習(xí)，而是留在等腰三角形中再深化學(xué)習(xí)，這樣便為后面學(xué)習(xí)等腰三角形三線合一的性質(zhì)作鋪墊.

4. 原理應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

教材并沒有安排例題作為原理應(yīng)用，由此，教師需要在教材中選擇習(xí)題來作為例題. 例如教材P56第12題（圖4），由已知AD平分∠BAC，求證S△ABD ∶ S△ACD =AB ∶ AC，此題能較好地體現(xiàn)原理的應(yīng)用，起到承上啟下的效果，并且通過小結(jié)能讓學(xué)生加深添加輔助線得到相等關(guān)系的探索方法，從而習(xí)得原理學(xué)習(xí)的產(chǎn)生式，即當(dāng)出現(xiàn)角的平分線條件時(shí)，產(chǎn)生向角的兩邊作垂線段的幾何思維. 同時(shí)教師可對角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行拓展應(yīng)用或課后思考，讓學(xué)生合作證明、類比學(xué)習(xí)，運(yùn)用等高的三角形面積比解決四條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，即有如下拓展題.

拓展題：如圖5，已知OC平分∠AOB，過點(diǎn)P的直線MN若不垂直于OC，則MP與NP是否相等？若不相等，線段MP，NP和OM，ON的長度存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

教學(xué)啟示

1. 原理系統(tǒng)化，促進(jìn)知識生長延伸

學(xué)生需要明白角平分線的性質(zhì)研究是全等三角形的應(yīng)用，這是知識學(xué)習(xí)套路中的一步. 而在研究角平分線的性質(zhì)時(shí)，是否存在相等線段，則是由全等三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)而順其自然想到的. 通過類比三角形的另外兩條重要線段：中線和高除了各自固有功能，還和三角形的面積緊密相關(guān)，來聯(lián)想角平分線和三角形面積是否也有關(guān)聯(lián). 這些問題是學(xué)生學(xué)習(xí)角平分線性質(zhì)的內(nèi)在需求，也是原理系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)化的體現(xiàn)，符合實(shí)踐課程標(biāo)準(zhǔn)中教學(xué)建議：“數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的‘生長點(diǎn)與‘延伸點(diǎn)，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中……[2]”

2. 閱讀多質(zhì)疑，激發(fā)深度數(shù)學(xué)交流

從一些優(yōu)秀課例發(fā)現(xiàn)，教師精心設(shè)置問題情境能讓學(xué)生經(jīng)歷原理再發(fā)現(xiàn)和探索的過程. 如勾股定理的探索活動(dòng)，精彩案例多不勝數(shù). 教材從一幅地磚圖片引入，講述畢達(dá)哥拉斯從圖中發(fā)現(xiàn)定理，但學(xué)生能否看圖也能發(fā)現(xiàn)呢？顯然，學(xué)生不是數(shù)學(xué)家，但教材設(shè)置的情境能有效地刺激學(xué)生神經(jīng)，若教師針對教材精準(zhǔn)設(shè)問，引發(fā)學(xué)生深度思考，回歸教材深入研究素材，長此以往，學(xué)生則會帶著思考去閱讀教材，逐漸形成精讀教材、思辨教材的習(xí)慣，從而提升發(fā)現(xiàn)問題的能力.

3. 拓展合理化，提升數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)有著很強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性和系統(tǒng)性，任何一個(gè)數(shù)學(xué)原理都處在一定的系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)之中. 學(xué)生只有弄清原理之間的內(nèi)在聯(lián)系，才能從整體的高度和全局的視野把握原理. 前述拓展應(yīng)用內(nèi)容在學(xué)生高中探究三角函數(shù)二倍角公式時(shí)有十分重要的意義，這充分體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，也體現(xiàn)幾何與代數(shù)間的聯(lián)系. 教學(xué)拓展應(yīng)用內(nèi)容是為了完善學(xué)生的探索思維，使學(xué)生從特殊角出發(fā)來探索性質(zhì)的一般規(guī)律，經(jīng)歷“從特殊到一般”的思維過程，真正提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

結(jié)束語

原理的學(xué)習(xí)，關(guān)鍵在于教師依托教材，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫匙寣W(xué)生再經(jīng)歷探究的過程. 在此過程中，教師通過設(shè)置問題引發(fā)學(xué)生深度思考，并通過實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)交流以提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，使學(xué)生逐漸養(yǎng)成用批判性思維學(xué)習(xí)原理的習(xí)慣，最終發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]何小亞，姚靜. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)（第二版）[M]. 北京：科學(xué)出版社，2012.

[2]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.