陳振邦

[摘? 要] 錯(cuò)誤與學(xué)習(xí)相伴相生，它是一種特殊而又寶貴的教學(xué)資源. 如何抓住錯(cuò)誤契機(jī)，變“錯(cuò)”為“資”？這是值得每個(gè)教育工作者去思考與探索的問(wèn)題. 文章從捕捉錯(cuò)誤時(shí)機(jī)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣;靈活糾正錯(cuò)誤，提高學(xué)習(xí)能力;科學(xué)處理錯(cuò)誤，促進(jìn)自主探究;鼓勵(lì)挑戰(zhàn)錯(cuò)誤，培養(yǎng)鉆研精神等方面具體談?wù)勅绾紊拼龑W(xué)生的錯(cuò)誤，讓錯(cuò)誤成為最富成效的教學(xué)資源.

[關(guān)鍵詞] 錯(cuò)誤;教學(xué);探究

課堂是動(dòng)態(tài)的. 學(xué)生在課堂中的注意力、興趣、合作情況、發(fā)表的意見(jiàn)、出現(xiàn)的錯(cuò)誤等，都是促進(jìn)課堂有效生成的良好資源. 有些教師就怕學(xué)生出錯(cuò)，處處提防、提醒學(xué)生不要出錯(cuò). 殊不知，錯(cuò)誤能讓我們看到學(xué)生認(rèn)知的偏差與薄弱點(diǎn)，它是促進(jìn)課堂動(dòng)態(tài)生成、進(jìn)行有效教學(xué)，最富成效的資源. 教學(xué)中，教師應(yīng)善待學(xué)生的錯(cuò)誤，充分挖掘并發(fā)揮錯(cuò)誤的教學(xué)價(jià)值，讓教學(xué)因錯(cuò)誤的存在而變得更加精彩.

捕獲錯(cuò)誤時(shí)機(jī)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)

數(shù)學(xué)錯(cuò)誤具有一定的個(gè)性特征，但也存在一定的共性因素，要么是知識(shí)性的錯(cuò)誤，要么是技能上的問(wèn)題，要么是學(xué)習(xí)者能力上的不足等[1]. 教師應(yīng)對(duì)容易出錯(cuò)的環(huán)節(jié)有所了解，盡可能抓住每次錯(cuò)誤機(jī)會(huì)，巧妙利用，讓錯(cuò)誤為課堂教學(xué)所服務(wù). 也可以在適當(dāng)時(shí)機(jī)，為學(xué)生制造產(chǎn)生錯(cuò)誤的平臺(tái)，讓學(xué)生從錯(cuò)誤中吸取經(jīng)驗(yàn). 教師也可以針對(duì)學(xué)生已經(jīng)產(chǎn)生的錯(cuò)誤，適當(dāng)?shù)丶右渣c(diǎn)撥，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤形成的原因，并總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，不斷地提高對(duì)類似錯(cuò)誤的免疫力，做到防錯(cuò)、知錯(cuò)、改錯(cuò).

1. 發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，展示思維過(guò)程

教學(xué)中，難免會(huì)遇到學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解錯(cuò)誤或回答錯(cuò)誤的現(xiàn)象. 一旦發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤，教師不用急于判斷對(duì)或錯(cuò)，更無(wú)需急于求成，而應(yīng)抓住錯(cuò)誤形成的契機(jī)，通過(guò)引導(dǎo)、鼓勵(lì)等手段，喚醒學(xué)生的認(rèn)知，激發(fā)學(xué)生加強(qiáng)思考與分析，盡可能暴露思維過(guò)程，以實(shí)現(xiàn)自主糾錯(cuò)、深化理解的目標(biāo).

例1? 如圖1，已知在△ABC中，F(xiàn)G，DE，BC三條線段為平行的關(guān)系，且DB=DF=AF，證明：FG+DE=BC.

錯(cuò)解：如圖2，于BC邊上取點(diǎn)H，使得HC=DE，作DH∥AC，同時(shí)因?yàn)镈E∥BC，所以∠A=∠BDH，∠B=∠AFG. 因?yàn)锳F=BD，所以△AFG與△DBH為全等的關(guān)系，所以BH=FG，而B(niǎo)C=BH+HC，即FG+DE=BC.

分析? 此證明過(guò)程看似沒(méi)毛病，但輔助線的作法卻經(jīng)不住推敲. 若截取CH=DE，連結(jié)DH可證得CEDH是平行四邊形，由此可得DH∥AC，這就為證明兩個(gè)三角形全等而創(chuàng)造了有利條件;若作DH∥AC與BC邊相交于點(diǎn)H，接著則要證明四邊形CEDH是一個(gè)平行四邊形，從而獲得DE=HC，再證明兩三角形為全等的關(guān)系，達(dá)到解題的目的. 但以上解題中，直接以截取后的點(diǎn)所連結(jié)形成的線段作平行線，顯然是不合理的，此步驟缺乏了證明過(guò)程.

基于以上思考，學(xué)生重新整理了解題思路，具體為：如圖3，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)I，使得ID=FG，連結(jié)IB，只要證得一個(gè)平行四邊形，以及一對(duì)三角形全等，問(wèn)題就解決了;也可過(guò)點(diǎn)B作AC邊的平行線，同樣證得一個(gè)平行四邊形，以及一對(duì)三角形全等即可.

教學(xué)過(guò)程中，出現(xiàn)教師預(yù)設(shè)之外的錯(cuò)誤，在所難免. 只要學(xué)生經(jīng)過(guò)分析與思考，找出錯(cuò)誤中存在的合理成分，問(wèn)題往往能迎刃而解. 教師應(yīng)有一雙慧眼，要為學(xué)生提供思維展示的機(jī)會(huì)，放大思維的“閃光點(diǎn)”，讓錯(cuò)誤成為激活學(xué)生思維的良藥，在充分肯定、鼓勵(lì)與欣賞中，展示學(xué)生的思維，發(fā)揮錯(cuò)題的教學(xué)價(jià)值.

2. 制造錯(cuò)誤，引發(fā)認(rèn)知沖突

對(duì)于學(xué)生容易發(fā)生的錯(cuò)誤，教師可適當(dāng)?shù)貫樗麄兇罱ā胺稿e(cuò)”的平臺(tái)，為學(xué)生制造認(rèn)知沖突，讓學(xué)生在質(zhì)疑中進(jìn)行討論，在討論中，找到問(wèn)題的癥結(jié)所在.

例2? 解方程：3x（x-1）=x-1.

此題雖然簡(jiǎn)單，但學(xué)生在解該方程時(shí)，還是常常會(huì)出現(xiàn)以下類型的錯(cuò)誤.

錯(cuò)解：在方程的兩邊同時(shí)除以“x-1”這個(gè)式子，可得3x=1，從而解得x=.

分析? 這是學(xué)生常見(jiàn)的解法，而且在檢驗(yàn)時(shí)，將x=代進(jìn)方程的兩邊進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算發(fā)現(xiàn)等號(hào)左右兩邊的結(jié)論是相等的，故認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是正確的. 但有學(xué)生提出：若將“x=1”這個(gè)結(jié)論代入到方程的兩邊，同樣可以計(jì)算出等號(hào)兩邊的結(jié)論是一樣的，那么x=1也應(yīng)該是這個(gè)方程的解.

為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況呢？究其主要原因還在于我們?cè)谟?jì)算時(shí)，將方程的兩邊同時(shí)除以了“x-1”，當(dāng)以此作為除數(shù)時(shí)，存在x-1=0的情況，因此少了一個(gè)解.

此錯(cuò)解經(jīng)歷，引發(fā)了不少學(xué)生的關(guān)注，也警醒了學(xué)生等式兩端同時(shí)乘一個(gè)數(shù)或式子時(shí)，這里的數(shù)或式子不能為0. 那么，到底該如何處理類似于除式為“x-1”的情況呢？?jī)H需提取公因式，即可將這個(gè)問(wèn)題解決.

此題難度并不大，大部分學(xué)生都能自主完成，但稍有疏忽或基本功不夠扎實(shí)，就容易出現(xiàn)漏解. 鑒于此，教師可在教學(xué)中，有意暴露錯(cuò)誤，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并嘗試糾正這個(gè)錯(cuò)誤，從而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，在認(rèn)知中建立完整的結(jié)構(gòu)，避免類似錯(cuò)誤的再次發(fā)生.

靈活糾正錯(cuò)誤，提高學(xué)習(xí)能力

心理學(xué)家貝恩布里奇認(rèn)為：錯(cuò)誤人皆有之，不利用錯(cuò)誤進(jìn)行教學(xué)的老師是不可原諒的. 學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律與認(rèn)知水平，決定了學(xué)習(xí)過(guò)程中，有些錯(cuò)誤的發(fā)生是難免的. 教師作為課堂的“掌舵者”，應(yīng)充分挖掘?qū)W生錯(cuò)誤中存在的合理性成分，通過(guò)因勢(shì)利導(dǎo)、因材施教，組織學(xué)生在交流、爭(zhēng)辯中靈活糾正錯(cuò)誤，深化對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成創(chuàng)新思維與反思能力.

1. 善用錯(cuò)誤，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新

當(dāng)學(xué)生發(fā)生錯(cuò)誤時(shí)，教師應(yīng)充分加以利用，用善于發(fā)現(xiàn)的眼光，尋找出錯(cuò)誤中所蘊(yùn)含的創(chuàng)新因子，通過(guò)適當(dāng)、適度的點(diǎn)撥與引導(dǎo)，幫助學(xué)生突破思維障礙，順利解決問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新. 同時(shí)，善用錯(cuò)誤，還能讓學(xué)生深切體會(huì)到思維在學(xué)習(xí)中的實(shí)際價(jià)值，享受糾錯(cuò)帶來(lái)的成就感.

例3? 計(jì)算-.

錯(cuò)解：原式=（3+x）-2（x-1）=-x+1.

分析? 該錯(cuò)誤的發(fā)生，主要是學(xué)生將計(jì)算分式的值，理解為解方程. 作為教師，可將錯(cuò)就錯(cuò)，來(lái)個(gè)順?biāo)浦郏岢觯航忸}過(guò)程中，將分式的計(jì)算，理解為解方程，顯然是錯(cuò)了，但我們有沒(méi)有辦法利用“去分母”解題的簡(jiǎn)約性，將算式轉(zhuǎn)化為等式，再?gòu)慕夥匠痰慕嵌葋?lái)解決本題呢？

這個(gè)提議有效地啟發(fā)了學(xué)生的思維，學(xué)生自主進(jìn)入討論狀態(tài)，并創(chuàng)新了新的計(jì)算方法：

設(shè)-=y，通過(guò)去分母，可得（3+x）-2（x-1）=（x-1）（3+x）y，化簡(jiǎn)后，可得-x+5=（x-1）（3+x）y，解得y=.

因勢(shì)利導(dǎo)，不僅完美地解決了問(wèn)題，還讓學(xué)生在嘗試中，實(shí)現(xiàn)了創(chuàng)新. 這種教學(xué)手段的應(yīng)用，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，為核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定了基礎(chǔ).

2. 善用錯(cuò)誤，加強(qiáng)反思

眾所周知，及時(shí)反思對(duì)糾錯(cuò)有著決定性的影響. 一些典型的錯(cuò)誤，教師縱然反復(fù)講了許多遍，但學(xué)生還是頻頻出錯(cuò). 面對(duì)這種現(xiàn)象，不少教師只會(huì)一味地抱怨：“同一個(gè)錯(cuò)誤，訂正了一遍又一遍，怎么還是錯(cuò)呢？”其實(shí)，平鋪直敘的講解，并不能讓學(xué)生領(lǐng)悟錯(cuò)誤發(fā)生的本質(zhì)，也無(wú)法將書面的知識(shí)內(nèi)化到學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中. 對(duì)錯(cuò)誤形成的核心點(diǎn)無(wú)法形成深刻的印象，必然會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的反復(fù)發(fā)生.

建構(gòu)主義理論提出：面對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教師不要一味地從正面的角度去示范、訓(xùn)練，可引導(dǎo)學(xué)生從“自我否定”的角度進(jìn)行反思，以提高糾錯(cuò)效果[2]. 如從典型錯(cuò)例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生反思錯(cuò)誤形成的主要原因，通過(guò)對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷完善，形成周密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，獲得批判性的思考.

例4? 表1為小麗家連續(xù)8天，早晨7時(shí)的電表讀數(shù)，求她家該月（30天）的用電量.

錯(cuò)解：（21+24+28+33+39+42+46+49）÷8×30=1057.5（千瓦時(shí)）.

分析? 該錯(cuò)誤形成的主要原因是思維定式，學(xué)生在解題時(shí)，沒(méi)有與生活實(shí)際相結(jié)合，而是機(jī)械地按照求平均數(shù)的方法去思考、解題.

本題反思的關(guān)鍵點(diǎn)在于：①每天早晨7時(shí)，電表所顯示的數(shù)據(jù)是當(dāng)天所使用的電量嗎？②每日所讀的數(shù)據(jù)是前一天所耗費(fèi)的電量值嗎？初中學(xué)生已經(jīng)具備了一定的生活經(jīng)驗(yàn)，不難理解電表上的數(shù)據(jù)是不斷往上累積的，每天的度數(shù)都基于前面的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)往上增加而來(lái). 因此，一天的用電量需要計(jì)算與之前一天的差值. 也就是說(shuō)，從8天的讀數(shù)中，我們能獲得7天的用電量. 為此，本題的結(jié)論為：

（49-21）÷7×30=120（千瓦時(shí)）

新課標(biāo)一再?gòu)?qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)生活化”與“生活數(shù)學(xué)化”的理念，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)在解題中，有著至關(guān)重要的作用. 基于這種背景下，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的生活、探究氛圍等多加關(guān)注，緊扣學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生的反思，形成敏銳的思維品質(zhì).

科學(xué)處理錯(cuò)誤，促進(jìn)自主探究

俗話說(shuō)：“失敗乃成功之母”. 引導(dǎo)學(xué)生直面自己的錯(cuò)誤，科學(xué)、合理地應(yīng)對(duì)自己出現(xiàn)的錯(cuò)誤，自主探究錯(cuò)誤的形成原因，不但能克服錯(cuò)誤本身，還能在糾錯(cuò)中獲得成長(zhǎng). 不斷產(chǎn)生錯(cuò)誤，不斷糾正錯(cuò)誤的過(guò)程，是促進(jìn)一個(gè)學(xué)生不斷挑戰(zhàn)自我，突破自我的過(guò)程. 因此，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從自身出發(fā)，反思自己在學(xué)習(xí)中的不足之處，通過(guò)對(duì)錯(cuò)誤的正視，進(jìn)行自我錘煉，從而戰(zhàn)勝學(xué)習(xí)上的困難，樹(shù)立學(xué)習(xí)信心，形成堅(jiān)毅的人格品質(zhì).

例5? 判斷：平行四邊形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)嗎？

不少學(xué)生認(rèn)為這是一個(gè)正確的結(jié)論. 面對(duì)學(xué)生的這個(gè)錯(cuò)誤，筆者并沒(méi)有著急講解，而是鼓勵(lì)學(xué)生自己畫一個(gè)平行四邊形，并剪下來(lái)，進(jìn)行折疊探究，看看這個(gè)結(jié)論是否正確. 所謂的軸對(duì)稱圖形是指將一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折，能將圖形完全重合的圖形.

學(xué)生在自主探究中發(fā)現(xiàn)，除了特殊的平行四邊形（長(zhǎng)方形、正方形、菱形）之外，其他的平行四邊形不論怎么折疊，都無(wú)法將圖形完全重合. 顯然，該結(jié)論是錯(cuò)誤的. 有位學(xué)生在探究過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)將平行四邊形沿著對(duì)角線剪開(kāi)，翻過(guò)來(lái)可以將圖形重合，但此過(guò)程違背了軸對(duì)稱圖形的定義，因此被否定了.

面對(duì)錯(cuò)誤，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究的過(guò)程，就是讓學(xué)生用科學(xué)的態(tài)度處理錯(cuò)誤的過(guò)程. 學(xué)生通過(guò)實(shí)踐操作與交流，不僅從根本上解決了這個(gè)問(wèn)題，還形成了一種善于探索，勇于鉆研的學(xué)習(xí)品質(zhì)，這種品質(zhì)會(huì)貫穿于學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)生涯，獲益終生.

因此，當(dāng)學(xué)生在解題過(guò)程中，出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師不用焦慮，更不用急于糾正，而是給予學(xué)生充足的時(shí)間自主探索，讓學(xué)生在親自實(shí)踐中獲得新的體驗(yàn)、感悟，從而反思自身的錯(cuò)誤原因，建立正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 學(xué)生在這種民主、和諧的氛圍下學(xué)習(xí)，會(huì)卸下內(nèi)心被教師斥責(zé)、被同學(xué)恥笑的思想負(fù)擔(dān)，積極探索、活躍思維，在敢問(wèn)、敢做、敢說(shuō)中，形成良好的探索精神.

鼓勵(lì)挑戰(zhàn)錯(cuò)誤，培養(yǎng)鉆研精神

課堂上，教師常常從主觀上避免錯(cuò)誤的發(fā)生，但課堂又是動(dòng)態(tài)變化的，不可避免地會(huì)出現(xiàn)各種意外，這就形成了一種矛盾. 有些教師自詡為權(quán)威，為了捍衛(wèi)自己的地位，不允許學(xué)生挑戰(zhàn)自己，這樣的教師不能稱得上一個(gè)合格的教師. 在新課改的背景下，優(yōu)秀的教師不僅需要夠硬的專業(yè)水平，還需要循循善誘的教師職業(yè)道德，要能淡定地面對(duì)課堂中的各種意外，不僅允許學(xué)生挑戰(zhàn)自己，還鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)起挑戰(zhàn)，以培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神.

例6? 已知，a-1+b+ab-2=0，則ab（a2+b2）的值是多少？

學(xué)生在自主做題的過(guò)程中，提出：此題不好做，因?yàn)闂l件不對(duì). 面對(duì)學(xué)生提出的質(zhì)疑，筆者并沒(méi)有立即反駁，而是靜心檢查，發(fā)現(xiàn)自己在編題時(shí)，考慮不周全，沒(méi)有想到按照本題的條件，存在a2+b2=（a+b）2-2ab=-3的情況，顯然這種情況是不合理的，因此本題確實(shí)有問(wèn)題.

作為教師，首先應(yīng)有勇氣面對(duì)自己的過(guò)失，應(yīng)誠(chéng)懇地表示歉意. 同時(shí)，將此題的改編任務(wù)交給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋，重新編擬本題. 通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)，學(xué)生很快就設(shè)計(jì)出幾類新的方案. 此過(guò)程不僅激活了學(xué)生的思維，還有效地培養(yǎng)了學(xué)生的鉆研精神，讓學(xué)生從中獲得學(xué)習(xí)的快樂(lè).

鼓勵(lì)學(xué)生敢于質(zhì)疑權(quán)威，敢于對(duì)權(quán)威說(shuō)“不”，這是一種德育教育的滲透，也是促使學(xué)生形成良好思維品質(zhì)的基礎(chǔ)[3].

總之，在“為了學(xué)生的一切，為了一切的學(xué)生”的教育背景下，面對(duì)各種類型的錯(cuò)誤，教育工作者應(yīng)從教學(xué)價(jià)值與教育意義的角度去審視、發(fā)現(xiàn)與思考，通過(guò)一定的手段，讓這些錯(cuò)誤資源最大化地發(fā)揮其教學(xué)功能，讓學(xué)生在積極、合理、科學(xué)、巧妙的糾錯(cuò)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是一件快樂(lè)的事情，從而樹(shù)立學(xué)習(xí)信心，形成良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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