王福謙 譚 浩 于學(xué)東 卿建東 張 玉

（四川西南航空職業(yè)學(xué)院機(jī)務(wù)學(xué)院 成都 610400）

1 引言

電容式傳感器是一個(gè)具有可變參數(shù)的電容器。在現(xiàn)有文獻(xiàn)［1～5］中，關(guān)于變面積型平板電容傳感器的討論，均未計(jì)及其極板的邊緣效應(yīng)，對(duì)由此帶來(lái)的測(cè)量誤差的研究也未見(jiàn)涉及。為此，本文擬將理論分析與計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，利用保角變換法和格林函數(shù)法，研究變面積型平板電容傳感器的電場(chǎng)和電容，以消除傳感器極板所引起的橫向邊緣效應(yīng)，得到精確度較高的電場(chǎng)和電容量的表達(dá)式，并利用軟件Matlab繪制出該傳感器電容量與動(dòng)極板線位移之間的變化曲線，通過(guò)數(shù)值模擬分析影響該傳感器輸出特性的因素及不計(jì)極板邊緣效應(yīng)情形下減小測(cè)量誤差的途徑。

2 變面積型平板電容傳感器的電場(chǎng)與電容

2.1 變面積型平板電容傳感器的電場(chǎng)

變面積型平板電容傳感器由間距為d的兩相同平行極板組成，電勢(shì)分別為U0和-U0，極板的長(zhǎng)度和寬度分別為L(zhǎng)和l，且L遠(yuǎn)大于l，上極板相對(duì)于下極板向右發(fā)生水平位移X，其橫截面如圖1所示。因在垂直于極板長(zhǎng)度方向的所有截面上的電場(chǎng)分布都相同，則該傳感器的靜態(tài)場(chǎng)為平行平面場(chǎng)，故可取任一截面為z平面來(lái)討論電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)在其上的分布，如圖1所示。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)可將z平面上0 ＜Imz＜d水平帶域變換為ζ平面的上半平面，所以，為了利用格林函數(shù)法計(jì)算z平面上變面積型平板電容傳感器內(nèi)的電勢(shì)和場(chǎng)強(qiáng)的分布，可作如下的保角變換［6］：

圖1 變面積型平板電容傳感器的橫截面

經(jīng)變換式（1），z平面上由兩平行極板位置所限定的水平帶形域0 ＜Imz＜d，就映射為ζ平面的上半平面，變換后的ζ平面上兩極板橫截面的位置及其坐標(biāo)可由式（2）確定，如圖2所示。

圖2 變換后的上半平面及各極板端點(diǎn)的位置

經(jīng)此變換后，z平面上的變面積型平板電容傳感器內(nèi)的電勢(shì)分布就變換為ζ平面上的位于其上半平面的如下的邊值問(wèn)題：

對(duì)式（3）應(yīng)用格林函數(shù)法［7～8］，可得ζ平面上的電勢(shì)分布為

由式（1），有

將式（5）中的ξ、η代入式（4），則得z平面上變面積型平板電容傳感器內(nèi)的電勢(shì)分布為

由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系E=-?φ，通過(guò)式（6）可得變面積型平板電容傳感器內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布為

為了給出變面積型平板電容傳感器電場(chǎng)分布影響的直觀圖像，下面通過(guò)式（6），利用軟件Matlab對(duì)其場(chǎng)分布進(jìn)行數(shù)值模擬［9～10］，繪制出了其橫截面上的電場(chǎng)線和等勢(shì)線（面）圖（見(jiàn)圖3）。圖中的電場(chǎng)線與等勢(shì)線及極板均垂直，場(chǎng)線分布正確合理，說(shuō)明上述研究方法正確。

圖3 變面積型平板電容傳感器橫截面上的電場(chǎng)(U0=100V，d=5cm，l=8cm，X=1cm)

2.2 變面積型平板電容傳感器的電容

變面積型平板板電容傳感器極板帶電量的計(jì)算。為簡(jiǎn)便計(jì)，可設(shè)該傳感器的兩極板間的電壓為U0（設(shè)上極板電勢(shì)為U0，下極板電勢(shì)為0），取式（6）中的y=y1=y2=0，可得其下極板上的感應(yīng)電荷面密度的大小為

在下極板上對(duì)σ積分，變面積型平板板電容傳感器極板的帶電量為

由上式結(jié)合圖1可得變面積型平板電容傳感器的電容量為

因?yàn)樵搨鞲衅鲀?nèi)的場(chǎng)強(qiáng)分布是通過(guò)格林函數(shù)法得到的，且已計(jì)及了傳感器極板橫向的邊緣效應(yīng)，所以式（10）具有較高的精確度。

3 變面積型平板電容傳感器的輸出特性

下面利用Matlab［11～12］軟件的數(shù)值模擬功能，通過(guò)式（10）繪制出變面積型平板電容傳感器輸出特性曲線，見(jiàn)圖4。

圖4 變面積型平板電容傳感器輸出特性曲線(d=0.01m，l=0.02m，L=0.2m，εr=1)

3.1 變面積型平板電容傳感器的輸出特性分析

3.1.1 輸出特性與d的關(guān)系

Matlab 軟件的數(shù)值模擬結(jié)果表明：當(dāng)該傳感器的l和L保持不變時(shí)，減小極板間距d的數(shù)值，可提高其線性度和平均靈敏度，輸出特性得到改善（見(jiàn)圖5）。

圖5 變面積型平板電容傳感器輸出特性曲線(l=0.0125m，L=0.1m，εr=1)

3.1.2 輸出特性與l的關(guān)系

Matlab 軟件的數(shù)值模擬結(jié)果表明：當(dāng)該傳感器的d和L保持不變時(shí)，增大極板寬度l的數(shù)值，除該傳感器初始電容量增加之外，其線性度和靈敏度幾乎不變，輸出特性沒(méi)有明顯改變（見(jiàn)圖6）。

圖6 變面積型平板板電容傳感器輸出特性曲線(d=0.003m，L=0.1m，εr=1)

3.2 改善輸出特性的途徑

從以上數(shù)值模擬結(jié)果（圖5、6）可以看出，改善變面積型平板電容傳感器輸出特性的主要途徑是盡可能減小極板間距；而增大極板寬度，對(duì)傳感器輸出特性的影響不大。

4 不計(jì)邊緣效應(yīng)的變面積型平板電容傳感器的誤差分析

在不計(jì)邊緣效應(yīng)時(shí)，變面積型平板電容傳感器的上極板發(fā)生水平位移X，其電容量為

與式（10）比較可得變面積型平板電容傳感器在不計(jì)邊緣效應(yīng)時(shí)引起的測(cè)量誤差為

利用Matlab［13～14］軟件，對(duì)式（10）和式（11），可繪制出變面積型平板電容傳感器，在計(jì)及和不計(jì)及邊緣效應(yīng)兩種情況下的輸出特性曲線，其中實(shí)線曲線為計(jì)及邊緣效應(yīng)時(shí)該傳感器的輸出特性曲線，點(diǎn)線曲線為不計(jì)邊緣效應(yīng)時(shí)該傳感器的輸出特性曲線。由模擬結(jié)果可以看出，在極板寬度距l(xiāng)和測(cè)量范圍（0.015m）一定的情況下，極板的間距d越小，測(cè)量的誤差越小，見(jiàn)圖7（a）和（b）；在測(cè)量范圍（0.015m）一定的情況下，極板的寬度l越大，極板寬間距d越小，測(cè)量的誤差越小，見(jiàn)圖7（b）、（c）。在d很小和l足夠大時(shí)，兩者的誤差在一定測(cè)量范圍內(nèi)可以忽略，見(jiàn)圖7（d）。所以，減小測(cè)量誤差的有效方法是適度增大極板的寬度l和適度減小極板的寬度間距d。

圖7 不計(jì)與計(jì)及邊緣效應(yīng)的變面積型平板電容傳感器的輸出特性曲線比較 (εr=1，L=0.1m)

5 結(jié)語(yǔ)

計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬的研究方法已成為繼實(shí)驗(yàn)研究和理論分析之外的第三種研究手段。本文將理論分析與計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，研究了計(jì)及邊緣效應(yīng)的變面積型平板電容傳感器的輸出特性，指出了改善該容傳感器輸出特性的途徑，并對(duì)不計(jì)邊緣效應(yīng)的平板電容傳感器的測(cè)量誤差進(jìn)行了分析，給出了減小測(cè)量誤差的方法。本文的研究的研究結(jié)論，對(duì)于提高變面積型平板電容傳感器的測(cè)量精度具有一定的理論意義和實(shí)用價(jià)值，也可供相關(guān)問(wèn)題的研究參考。