亞歷山大羅夫的數(shù)學成就與教育思想

劉璐熒

帕維爾·謝爾蓋維奇·亞歷山大羅夫（Pavel Sergeevich Aleksandrov）是蘇聯(lián)最具影響力的幾位數(shù)學家之一。他的許多工作都得到了學界高度認可，尤其是，作為創(chuàng)始人之一，他在拓撲學上做出的巨大貢獻，使他成為20世紀居于前列的數(shù)學大師。

走上數(shù)學的道路

亞歷山大羅夫1896年5月7日出生于俄國博戈羅茨克（現(xiàn)今諾金斯克），父母都接受過良好教育，他們對亞歷山大羅夫有著很大的影響。父親謝爾蓋·亞歷山大羅維奇·亞歷山大羅夫（Sergei Aleksandrovich Aleksandrov）畢業(yè)于莫斯科大學醫(yī)療系，他拒絕了留校工作的機會，而是毅然決定前往邊疆地區(qū)從事醫(yī)務工作，他認為醫(yī)療應服務于人民群眾。后來，亞歷山大羅維奇成為著名的外科醫(yī)生，他晚年工作（1897—1920）的斯摩棱斯克醫(yī)院也正因為他被認為是俄國最好的醫(yī)院之一。在父親影響下，亞歷山大羅夫自小對自然科學很感興趣。母親采扎麗婭·阿基莫夫娜·亞歷山大羅娃（Tsezariya Akimovna Aleksandrova）將所有的精力都放在孩子們的教育上。亞歷山大羅夫小時候因體弱不便到學校就讀，母親便承擔起了孩子的教育工作。據亞歷山大羅夫回憶，那時家中總是充滿歌聲。由于家庭的熏陶，亞歷山大羅夫在音樂、文學、戲劇方面也展現(xiàn)出很高的天賦。

亞歷山大羅夫13歲時就讀于斯摩棱斯克中學。數(shù)學課上，老師艾格斯（Eiges）在講授羅巴切夫斯基幾何時，激發(fā)了少年亞歷山大羅夫對數(shù)學的興趣。與其他同學不同，亞歷山大羅夫對那些數(shù)學作圖和方程問題并不感興趣，他的興趣在于數(shù)學的基本問題：幾何學包括非歐幾何的建立。亞歷山大羅夫中學期間就已熟讀非歐幾何和微積分，此外，他還特別喜歡并精通天體力學。

1913年，亞歷山大羅夫畢業(yè)并獲得金質獎章，同年進入莫斯科大學物理—數(shù)學系學習。在此期間，魯金（N. Luzin）和葉戈羅夫（D. F. Egorov）兩位著名數(shù)學家在實變函數(shù)論上的研究取得了重要突破，創(chuàng)建了函數(shù)論學派。受其影響，亞歷山大羅夫也開始了數(shù)學方面的研究，并取得很大進展。

1917年，亞歷山大羅夫從莫斯科大學畢業(yè)并留校工作，1920—1921年又在斯摩棱斯克大學任教。工作期間，其定期往返于斯摩棱斯克和莫斯科之間，以參加各種學術交流。在交流中，亞歷山大羅夫結識了一位對自己影響非常大的摯友——魯金的年輕助教烏雷松（P. Urysohn）。1921年，亞歷山大羅夫調到莫斯科大學工作，以額外教授的資格任教。1923年，亞歷山大羅夫的生活進入了一個新階段——“格丁根時期”。之后，他定期到德國格丁根游歷并訪問格丁根大學。他在美國、德國、奧地利等多國的許多學術團體中都有重要地位。

1923年亞歷山大羅夫是和烏雷松一起來到格丁根大學的，他們一邊學習，一邊宣傳拓撲學研究的新思想。從1924年開始，他們的論文在歐洲幾份重要的數(shù)學雜志上發(fā)表。1924年8月，他們來到布里塔尼半島。在一個名叫巴斯的小漁村，年僅26歲的烏雷松葬身大西洋。在得知痛失摯友的噩耗后，亞歷山大羅夫悲痛萬分，幾乎不能再集中精力工作。此后，他強忍悲痛，將烏雷松的數(shù)學研究手稿進行整理，使得烏雷松的數(shù)學成就得以保存下來。

1929年，亞歷山大羅夫晉升為莫斯科大學教授，并當選為蘇聯(lián)科學院通訊院士，24年后成為正式院士。此外，他還是莫斯科大學高等幾何和拓撲學院的院長，也是數(shù)學系的主任。他還領導蘇聯(lián)科學院數(shù)學研究所的一般拓撲學系。1932年亞歷山大羅夫開始任莫斯科數(shù)學學會主席，長達33年之久。他為學會付出許多精力，使得莫斯科數(shù)學學會成為世界上最重要的數(shù)學學會之一。也是在他的領導之下，舉行了學校數(shù)學奧林匹克競賽，并為年輕的數(shù)學家設立獎項。1958—1962年，亞歷山大羅夫任國際數(shù)學協(xié)會副主席。1964年起，他成為了莫斯科數(shù)學學會的名譽主席。1982年11月16日，亞歷山大羅夫在莫斯科去世，享年86歲。

蘇聯(lián)政府十分欣賞并重視他，于1969年授予他“社會主義勞動英雄”稱號，并6次授予他列寧勛章、十月革命勛章、紅旗勛章等諸多榮譽。

點集拓撲學上的杰出成就

亞歷山大羅夫對數(shù)學的研究是從實變函數(shù)論和描述集合論開始的。1915年，亞歷山大羅夫在研究中建立了“A-運算”，使用這種運算方法，證明了“不可數(shù)B-集合必定包含完備子集”的結論，這一結論引起了數(shù)學界的廣泛關注，同時也對集合論方法的發(fā)展產生了重要影響。例如，蘇斯林（M. Suslin）借助A-運算做出了更廣的一類新集合——A-集合類。

1917年，亞歷山大羅夫畢業(yè)后留在學校繼續(xù)進行連續(xù)統(tǒng)問題的研究，但這項研究并未取得預期目標，導致他懷疑自己是否適合繼續(xù)從事數(shù)學研究，并轉而尋求在其他行業(yè)立足。他開始轉投編導行業(yè)，對于數(shù)學的研究則告一段落。直至1920年他途徑莫斯科時，在受到以魯金為首的一批數(shù)學家的熱烈歡迎下，這才重燃了對數(shù)學的熱情。

1922年的夏天，亞歷山大羅夫和烏雷松一起到波爾舍瓦度假。由此開始，亞歷山大羅夫開始轉向點集拓撲學的研究。

歐氏空間點集的研究始于德國大數(shù)學家康托爾（G. Cantor），在此基礎上，很多數(shù)學家都嘗試進行更為深入的研究，并在19世紀末已取得重大突破，明確了歐氏空間的拓撲學結構。這樣的進展為點集拓撲學的形成提供了豐富的理論依據。此后在1906年，法國數(shù)學家弗雷歇（M. Frechét）提出抽象空間理論。1914年，德國數(shù)學家豪斯多夫（F. Hausdorff）在此基礎上得到了點集拓撲學的相關理論。而亞歷山大羅夫正是點集拓撲學發(fā)展中一個不可或缺的角色。

1920年代初期，點集拓撲學的兩個重要研究方向是證明拓撲空間是“緊的”和對其進行度量化處理。為解決這兩個問題，亞歷山大羅夫與烏雷松進行了大量的研究，使這兩個課題都有了重要的研究結果。

1922年出版的烏雷松的論文《論康托爾流形》和《論康托爾曲線的分支》是俄國最早的兩部拓撲學著作，也是維數(shù)理論的開端。

亞歷山大羅夫和烏雷松共同提出并解決了有關絕對閉豪斯多夫空間的問題，對拓撲空間是否屬于“緊的”進行了定義和證明，這奠定了莫斯科拓撲學派的基礎。亞歷山大羅夫和烏雷松提出的對緊空間的定義主要為以下三點：

定義1 假定空間中的一個無窮集A中存在一點x，A與x任何鄰域所交的勢都等同于A的勢，那么符合x點特征的點，都稱之為完全聚點，且拓撲空間R為緊的。

定義2 只有在空間中的遞減超限序列都不是？時，才能確定拓撲空間R是緊的。

定義3 如果對每一個覆蓋R的無窮開集系統(tǒng)，都可以從中選出覆蓋R的子系統(tǒng)，則拓撲空間R稱為緊的。

根據這些定義，許多數(shù)學家以此為基礎，進行了更為深入的研究，使得研究范圍進一步擴展到緊擴張方面的理論。

亞歷山大羅夫和烏雷松共同解決了拓撲空間的度量化問題，在1923年建立了第一個度量化準則，明確了當且僅當一個空間具有可數(shù)加細覆蓋系統(tǒng)的特點時，拓撲空間才具有度量化的特征。

不僅如此，亞歷山大羅夫和烏雷松還對特殊空間實現(xiàn)了度量化，并給出了相應的度量化準則。亞歷山大羅夫通過研究得出，當且僅當該空間為豪斯多夫空間時，局部列緊空間才具有可度量化的特征，并可表示成互斥開集之和，每個開集的權不超過可數(shù)。

1925年，亞歷山大羅夫建立了拓撲空間公理系統(tǒng)的新形式，該形式至今仍然沿用。

1920年代中期，亞歷山大羅夫了解到布勞威爾（L. Brouwer）關于維數(shù)的拓撲不變性方面有較為精細的研究，因此他參考這方面的理論，對自己的研究做了進一步的創(chuàng)新，在這一階段他的研究特點主要是將純幾何和純集合論這兩種研究方法有機結合起來，嘗試將一些應用范圍較窄的理論推導到緊與列緊空間當中，實現(xiàn)了使用組合拓撲學方法研究集合論對象，為同調理論奠定了堅實的基礎。

1925年，亞歷山大羅夫提出了覆蓋網的定義：假定一個拓撲空間X，該空間具有一個有限開覆蓋w，w的網是一個單純的復型映成網Nw，如果該拓撲空間符合緊致性的標準，那么通過w的所有有限開覆蓋所組成的投影譜S即可確定自己的極限空間，顯然，只需要根據投影譜S即可描述該拓撲空間X的基本性質。在這一理論的指引下，拓撲學及其構造方法得到了進一步的創(chuàng)新，此后拓撲學的發(fā)展方向在很大程度上受到這種觀點的影響。

由亞歷山大羅夫創(chuàng)建的幾個關于以同維多面體“逼近”列緊統(tǒng)的概念定理是覆蓋網概念的第一個應用：

？-平移：設？>0，A，B是度量空間X的子空間，f是A到B的連續(xù)映射，如果對任意的x∈X，ρ（x， f（x））<？均成立，則稱f為？-平移。對此有？-平移定理：設X為m維歐氏空間Rm的有界子空間，且dimX≤n，則對任意的？>0，存在X到多面體K1Rm上的？-平移，且dimK≤n。

？-映射：設？>0，f為度量空間X到拓撲空間Y的連續(xù)映射，如果任意的y1Y， f-1（y）均為直徑小于？的集，則稱f為？-映射。對此有？-映射定理：m維歐氏空間Rm的緊子空間X符合不等式dimX≤n，當且僅當對任意的？>0，存在X到Rm中維數(shù)小于等于n的多面體K上的？-映射。

根據這些定理的進一步推導，在普通的拓撲空間中，？-映射定理同樣適用。此后，？-位移定理又被推廣，成為度量空間以ω-映射描述仿緊統(tǒng)的多克爾（Dowker）定理。

1928—1932年，亞歷山大羅夫創(chuàng)立了同調維數(shù)論，使得同調理論得到進一步的發(fā)展和創(chuàng)新，為同調論的研究開辟了新天地，同時這對于拓撲學的發(fā)展也起著重要作用。

維數(shù)理論要追溯到20世紀初，布勞威爾和切赫（E. ？ech）給出了維數(shù)的嚴格定義，稱之為大歸納維數(shù)；門格爾（K. Menger）和烏雷松通過限定局部條件后，對小歸納維數(shù)進行了定義；勒貝格（H. Lebesgue）在發(fā)現(xiàn)方體覆蓋后，切赫又引進了覆蓋維數(shù)；而亞歷山大羅夫所定義的同調維數(shù)是第四種維數(shù)——緊豪斯多夫空間關于可換群的維數(shù)。這項定義對于拓撲學的研究起到了重要的推進作用，在此基礎上，關于積空間的龐特亞里金問題、關于任意空間Rn的閉子集的烏雷松問題等都采用亞歷山大羅夫的相關理論得以解決。

1940—1942年間是亞歷山大羅夫在拓撲學領域研究工作的高潮時期。在此期間，亞歷山大羅夫著重研究復形和閉集的分布形式及正和序列。他所著的《復形和閉集分布的同調性質》中對這些研究成果皆進行了詳細論述。1943年，由于這部著作的重要影響，蘇聯(lián)政府授予他代表著最高榮譽的國家一級獎金。

二戰(zhàn)結束后，亞歷山大羅夫與其學生共同研究了歐氏空間中開集的同調理論，進一步推動了同調論的發(fā)展。他將這些研究結果發(fā)表在著作《關于n維空間中開集的對偶性的基本定理》中。

1951年，亞歷山大羅夫將研究重心轉向集合論和一般拓撲學。他對拓撲空間映射理論的研究起到了至關重要的作用。這些1950年代初期的研究工作，幾乎都是基于他在1920—1930年間的研究成果來進行的。

自1950年代后期開始，亞歷山大羅夫轉而側重于一般連續(xù)映射理論的研究，與此同時，他在代數(shù)拓撲學和一般拓撲學中也不斷突破，取得了更多的成績。

亞歷山大羅夫一生共著有150多篇論文和許多著作。除了上文提及的幾部著作以外，他與霍普夫（H. Hopf）共同撰寫的《拓撲學》（1935）是代數(shù)拓撲學與點集拓撲學有機結合的結果，雖然這部著作由于二戰(zhàn)的原因只完成了第一卷，但依然成為了拓撲學的經典著作。流傳較為廣泛的還有《組合拓撲學》《群論導引》（1951）等。

強調情感教育的理念

除了在數(shù)學研究上的偉大成就，亞歷山大羅夫對教育也有自己獨特的想法，在教育界也享有盛名。莫斯科大學的很多知名數(shù)學家都曾受過他的培養(yǎng)，其中最優(yōu)秀的是吉洪諾夫（A. Tikhonov）和龐特里亞金（L. S. Pontryagin）。可以說，全蘇聯(lián)絕大多數(shù)研究拓撲學的數(shù)學家都受到過亞歷山大羅夫的教育和影響。作為一位具有獨創(chuàng)性的數(shù)學家，他的優(yōu)秀教學和個人魅力很快吸引了很多學生，經過長期的潛心研究，他的團隊儼然在國際拓撲學領域自成一派，并取得了突出的成就。

亞歷山大羅夫從來沒有想過研究工作不同于教學，不與學生接觸。他自己將他的學生按時間順序分為四類。有必要提及的第一組是吉洪諾夫、圖馬金（L. Tumarkin）、涅米茨基（V. Nemytskii）、切爾卡索夫（Cherkasov）和韋德尼索夫（N. Vedenisov）。正是在這個時候，龐特里亞金成了亞歷山大羅夫的學生，在他剛開始做研究的頭幾年，就在拓撲學上有了重要的發(fā)現(xiàn)。

亞歷山大羅夫意義上的教育首先是一種情感教育。在面向一年級學生的“莫斯科大學”公報中，他寫道：“任何科學天才都是由三部分組成的——智力、意志與情感。因為對科學的原創(chuàng)性工作來說，能夠做出全力以赴的情感努力是必要的，而且往往是決定性的條件?！币虼?，他對學生的整體性格特別是他們的情感構成產生了濃厚興趣，他通過在大學里的音樂晚會或個人邀請到小音樂廳來幫助他們發(fā)展，在莫斯科大學的會議廳里、在莫斯科或科馬羅夫卡的家中，或在散步時，倡議進行公開的交談。

“情感教育”主要是通過亞歷山大羅夫本人的榜樣，通過他對學生的關心和善意來實現(xiàn)的。對亞歷山大羅夫來說，情感不僅是科學原創(chuàng)的一個非常重要的因素，而且（也許在更大程度上）也是教學的一個非常重要的因素。他對學生作品的評價不是默默克制、冷漠理性的，而是給出一種清晰的情感評價。豪斯多夫的話——“數(shù)學中有一種東西能激發(fā)人的快樂”——正是指導亞歷山大羅夫對待學生和所有親近他的人的原創(chuàng)作品的態(tài)度的原則。在教學研究中他所表現(xiàn)出來的喜悅，為學生注入了新的力量，產生了新的靈感。

在亞歷山大羅夫身邊，總是有不同年齡和地位的學生，從著名學者到一年級學生。他給一些人講課，給另一些人主持培訓或研究性質的研討會，指導他們的科學工作。他的演講就像文學作品一樣動聽，這是學生們的感覺。

[1]Whitney H. Moscow 1935： Topology moving toward America， A century of mathematics in America， part I. Edited by Duren P. History of Mathematics 1. American Mathematical Society（Providence， RI）， 1988. Edited with the assistance of Askey R A and Merzbach U C， 97-117.

[2]王昌.點集拓撲學的創(chuàng)立.西北大學博士論文， 2012.

[3]Kolmogorov A N， Lyusternik L A， Smirnov Yu M， Tikhonov A N，F(xiàn)omin S V. Pavel Sergeevich Aleksandrov. Translated by Porteous I R. Russian Mathematical Surveys， 1966（21）： 2.

[4]Arkhangelskii A V， Kolmogorov A N， Maltsev A A， Oleinik O A. Pavel Sergeevich Aleksandrov（on his 80th birthday）. Translated by Lofthouse A. Russian Mathematical Surveys， 1976， 31（5）： 1-13.

[5]Translated by Thompson D. Pavel Sergeevich Aleksandrov（on the occasion of his seventieth birthday），1971 Russian Mathematical Surveys， 26， 183.

[6]吳文俊， 主編. 世界著名數(shù)學家傳記（下冊）. 北京： 科學出版社， 2003： 1510-1524.

[7]Смирнов Ю М. Павел Сергеевич Александров и развитиетопологии в СССР. Успехи математических наук， 1984， 5（239）： 3-6.

關鍵詞：亞歷山大羅夫 點集拓撲學 同調維數(shù)論 ■