李 鵬，張昌有，杜藝博，程文濤，占金青，唐 贛

（1.華東交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院,江西 南昌 330013；2.華東交通大學(xué)載運(yùn)工具與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌，330013）

復(fù)合材料因其優(yōu)異的力學(xué)性能，被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車和電子等領(lǐng)域。然而，作為一種由多種異質(zhì)/異形組元材料復(fù)合而成的新材料，其力學(xué)分散性較大，致使材料在生產(chǎn)和服役中易產(chǎn)生各類損傷，尤其是微裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)展將引起材料力學(xué)性能的劣化，導(dǎo)致構(gòu)件過早失效。損傷自修復(fù)[1]概念的提出為解決這一問題提供了有效途徑。

White 等[2]于2001 年首次提出微膠囊型自修復(fù)材料，并分析了微膠囊的分散性、幾何形狀與囊壁對(duì)修復(fù)性能的影響。Yu 等[3]研究了新鮮、短期老化和長(zhǎng)期老化瀝青混凝土中微膠囊的形態(tài)結(jié)構(gòu)、機(jī)械強(qiáng)度、熱穩(wěn)定性以及愈合水平。Khan 等[4]研究表明，加入小直徑微膠囊的材料彈性模量有輕微減小，但斷裂韌性明顯增強(qiáng)，而隨著微膠囊直徑的增加，材料彈性模量和斷裂韌性均開始減小。Choi 等[5]將3D打印的微膠囊嵌入混凝土復(fù)合材料中，研究了微膠囊壁厚和打印方向?qū)炷翉?fù)合材料的影響。Wang等[6]采用分子動(dòng)力學(xué)模擬了沿z 軸進(jìn)行單軸拉伸的微膠囊自愈合混凝土的力學(xué)和界面性能。Han 等[7]提出了一種三維演化的微力學(xué)模型來定量解釋了微膠囊對(duì)裂紋損傷的自愈合作用。Nassho 等[8]將微膠囊嵌入到層板中，在短梁剪切試件上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并表明，隨著微膠囊濃度和粒徑的減小，層合板的剛度和表觀層間剪切強(qiáng)度增大但愈合效率也會(huì)隨著降低。Chowdhury 等[9]通過偶聯(lián)劑改性方法改善顆粒在復(fù)合材料中的分布。在化學(xué)方法中偶聯(lián)劑改性，會(huì)增加微膠囊與樹脂界面的黏合力，有利于材料力學(xué)性能的提高[10-11]。

在國(guó)內(nèi)，王瑞等[12]通過偶聯(lián)劑對(duì)微膠囊表面進(jìn)行改性，研究了微膠囊在材料中的分布以及改性后自修復(fù)材料的拉伸性能。郭瑞泉等[13]通過萬能試驗(yàn)機(jī)研究了微膠囊直徑和用量對(duì)環(huán)氧樹脂力學(xué)性能的影響。肖春平等[14]研究了4 種不同粒徑（180，230，280，370 μm）的微膠囊及其體積分?jǐn)?shù)對(duì)材料力學(xué)性能和自修復(fù)性能的影響。賀子騰[15]制備并研究了苯乙酸乙酯微膠囊直徑和體積分?jǐn)?shù)對(duì)自修復(fù)涂層性能的影響。李鵬等[16]對(duì)自修復(fù)載體的無壁化設(shè)計(jì)和分布開展了一些相關(guān)研究，并通過實(shí)驗(yàn)研究取得一定程度的成果。

近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)微膠囊的體積分?jǐn)?shù)、幾何形狀及分布等內(nèi)容進(jìn)行了大量?jī)?yōu)化研究，然而優(yōu)化設(shè)計(jì)的對(duì)象僅限于微膠囊載體，對(duì)結(jié)構(gòu)宏觀構(gòu)型與內(nèi)置微膠囊進(jìn)行協(xié)同優(yōu)化的研究尚未見報(bào)道。研究基于可移動(dòng)變形組件法，通過自修復(fù)材料的結(jié)構(gòu)與微膠囊協(xié)同優(yōu)化，在保證材料與微膠囊力學(xué)兼容性的基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)材料的損傷自修復(fù)設(shè)計(jì)。

1 內(nèi)置微膠囊的二維組件

為實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)宏觀構(gòu)型和內(nèi)置微膠囊載體的協(xié)同優(yōu)化，研究基于可移動(dòng)變形組件法，建立內(nèi)置微膠囊組件的數(shù)學(xué)模型。以顯式的超橢圓方程描述組件[17]。其表達(dá)方式如下

式中：

圖1 是對(duì)組件中微膠囊中心點(diǎn)坐標(biāo)的說明。

圖1 微膠囊中心點(diǎn)坐標(biāo)說明Fig.1 The center point coordinates of the microcapsule

在式（1）～式（10）中，χi（x，y）表示內(nèi)置微膠囊的二維組件；χ0（x，y）表示無膠囊的原始組件，χj（x，y）表示微膠囊；max 表示設(shè)計(jì)域中有限元節(jié)點(diǎn)取值為原始組件與微膠囊在該節(jié)點(diǎn)的最大拓?fù)涿枋龊瘮?shù)值；L 為原始組件在x'方向上的半長(zhǎng)；f（x'）表示原始組件在y'方向上的半寬；f（x'）可以根據(jù)實(shí)際優(yōu)化的需要改變其參數(shù)（h1，h2，h3），表示為均勻?qū)挾取⒕€性變化寬度或二次變化寬度等不同的形式；p 為偶整數(shù)，一般取p=6；θ 表示原始組件在二維平面內(nèi)逆時(shí)針方向的角度，內(nèi)置微膠囊與所在的組件取相同的角度，其中st=sinθ，ct=cosθ；（x0，y0）表示原始組件中心點(diǎn)的坐標(biāo)；r 表示微膠囊的半徑，由組件縮放而來；a 和G 表示為微膠囊的初始參數(shù)，其中G 表示兩個(gè)微膠囊之間的間距，a 表示半徑系數(shù)，這兩個(gè)參數(shù)決定了微膠囊的大小與分布；（x″，y″）因每個(gè)微膠囊的中心點(diǎn)坐標(biāo)不同，而擁有不同的形式，（x-j，yj）表示第j 個(gè)微膠囊的中心坐標(biāo)；floor 表示向下取整；Idis表示兩個(gè)相鄰微膠囊的中心點(diǎn)長(zhǎng)度的距離。圖2 為內(nèi)置微膠囊二維組件圖。

圖2 內(nèi)置微膠囊組件Fig.2 The built-in microcapsules components

2 內(nèi)置微膠囊拓?fù)鋬?yōu)化問題列式

研究以結(jié)構(gòu)柔度作為衡量材料與微膠囊力學(xué)兼容性的指標(biāo)，考慮給定體積約束下以結(jié)構(gòu)柔度最小為目標(biāo)函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化，即求出在規(guī)定約束和荷載條件下使結(jié)構(gòu)變形最小的最佳拓?fù)錁?gòu)型。優(yōu)化列式如下

在式（11）中，C 為結(jié)構(gòu)柔度；Xi=（，sinθi）,i=1，…，n，為第i 個(gè)內(nèi)置微膠囊組件的設(shè)計(jì)變量；H 為Heasivide 函數(shù)；χ 為整體結(jié)構(gòu)的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)；f 為內(nèi)置微膠囊的二維組件所受的體積力；u 為結(jié)構(gòu)位移場(chǎng)；t 為Neumann 邊界Γt上的面力；q 為懲罰因子，這里取q=2；E 為四階彈性張量，且其表達(dá)式為E=E/（1+v）［Ⅱ+v/（1－2v）δ?δ］，其中E 和v 分別為實(shí)體材料的彈性模量和泊松比，Ⅱ和δ 分別為四階單位張量和二階單位張量；ε 為二階線性應(yīng)變張量；是實(shí)體材料的體積上界；v 為定義在實(shí)體材料所占區(qū)域上滿足Uad=｛v|v∈H1（Ω），v=0 on Γu｝ 的試探函數(shù)；UX表示設(shè)計(jì)變量所屬的可行域；為Dirichlet 邊界Γu上的給定位移，為了簡(jiǎn)化分析，文中取=0。

3 數(shù)值分析

3.1 二維有限元分析

研究基于MMC 框架的拓?fù)鋬?yōu)化方法，采用“代理材料模型”進(jìn)行有限元分析，由式（1）計(jì)算出每個(gè)節(jié)點(diǎn)的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)值，則單元格的彈性模量按以下公式插值

式中：為了保證全局剛度矩陣的非奇異性，α 是一個(gè)很小的正數(shù)；ζ 表示一個(gè)正則化參數(shù)，其作用是用來控制正則化的寬度。

3.2 靈敏度分析

研究因?yàn)榛诳梢苿?dòng)變形框架的優(yōu)化方法，因此采用伴隨法可直接推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)C 對(duì)內(nèi)置微膠囊組件各個(gè)設(shè)計(jì)變量的靈敏度，如下

以及約束條件V 內(nèi)置微膠囊組件各個(gè)設(shè)計(jì)變量的靈敏度，如下

在式（14）～式（15）中，x 表示X=（（X1）T，…，（Xi）T，…，（Xn）T）T中的任意變量；K 表示結(jié)構(gòu)的整體剛度，NE 表示單元格的數(shù)量；ke表示單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

3.3 優(yōu)化算法

研究采用移動(dòng)漸進(jìn)算法（序列凸規(guī)劃法）作為優(yōu)化求解器用于對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化問題的求解。移動(dòng)漸近線算法最初由瑞典數(shù)學(xué)家Svanberg[18]最早提出，它是將目標(biāo)函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)化為在當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)的一階移動(dòng)近似子問題，通過梯度法求解子問題的解作為目標(biāo)函數(shù)的近似解。

4 算法流程

自修復(fù)材料結(jié)構(gòu)與微膠囊的協(xié)同優(yōu)化流程如下：

1）設(shè)定材料的原始參數(shù)、設(shè)計(jì)域大小、微膠囊參數(shù)、載荷等；

2）根據(jù)設(shè)計(jì)域大小，設(shè)計(jì)合理的網(wǎng)格大小、組件初始化參數(shù)、MMA 優(yōu)化參數(shù)；

3）根據(jù)微膠囊的相關(guān)參數(shù)計(jì)算組件中每個(gè)微膠囊的中心點(diǎn)坐標(biāo)，在求解整體結(jié)構(gòu)的拓?fù)涿枋龊瘮?shù)值時(shí)，微膠囊與組件相交顯示微膠囊；

4）利用有限元求解結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)和約束條件；

5）利用有限差分原理計(jì)算目標(biāo)函數(shù)與約束條件的靈敏度；

6）將MMA 作為優(yōu)化器更新設(shè)計(jì)變量；

7）判斷是否滿足迭代終止條件：每100 次迭代的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值連續(xù)10 次未被更新，則終止迭代。

二維協(xié)同優(yōu)化流程圖如圖3 所示。

圖3 二維協(xié)同優(yōu)化流程圖Fig.3 2D collaborative optimization flow chart

5 數(shù)值算例

為驗(yàn)證自修復(fù)材料結(jié)構(gòu)與微膠囊協(xié)同優(yōu)化的有效性，研究采用二維MBB 梁算例，算例所涉及的彈性模量、材料密度、載荷以及幾何參數(shù)等信息均為無量綱，實(shí)體材料的彈性模量值設(shè)置為E=1，泊松比設(shè)置為v=0.3。

如圖4 所示，以MBB 梁的一側(cè)為設(shè)計(jì)域，長(zhǎng)寬比為3∶1，設(shè)計(jì)域離散為450×150 的網(wǎng)格，右下角受滾動(dòng)鉸鏈約束，左下角固定支撐，左上角受到豎直向下的載荷f=1。由于MBB 梁結(jié)構(gòu)在此工況下具有對(duì)稱性，故優(yōu)化時(shí)只取設(shè)計(jì)域的一側(cè)，對(duì)應(yīng)的水平網(wǎng)格劃分和結(jié)構(gòu)受力都減半，以結(jié)構(gòu)柔度最小為目標(biāo)，給定的面積約束上限為V≤0.3D，D 為設(shè)計(jì)域面積。

圖4 MBB 梁一側(cè)設(shè)計(jì)域Fig.4 One side of the design domain of MBB beam

圖5 為MBB 梁算例的初始設(shè)計(jì)，算例中共設(shè)計(jì)24 個(gè)組件。表1 給出了組件與微膠囊的初始設(shè)計(jì)參數(shù)。其中，第一和第二個(gè)組件的中心點(diǎn)坐標(biāo)均為（0.25，0.25），傾角的正弦值分別為0.7 和-0.7。其他組件依次沿著x（或y）方向平移0.5 獲得，各組件中有6 個(gè)微膠囊，微膠囊的半徑系數(shù)a 為0.1，微膠囊之間的間距G 為0.1。

表1 MBB 梁內(nèi)置微膠囊的組件初始設(shè)計(jì)Tab.1 Initial design of components with microcapsules in MBB beam

圖5 MBB 梁算例初始設(shè)計(jì)（a=0.1，G＝0.1）Fig.5 The initial design of MBB beam example（a=0.1，G＝0.1）

圖6 為基于MMC 方法的自修復(fù)材料結(jié)構(gòu)與微膠囊協(xié)同優(yōu)化的結(jié)果，即“協(xié)同優(yōu)化自修復(fù)材料”。

圖6 協(xié)同優(yōu)化自修復(fù)材料拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型（a=0.1，G=0.1）Fig.6 Optimize topology and configuration of collaborative self-healing materials（a=0.1，G=0.1）

為論證協(xié)同優(yōu)化的效果，研究沿用經(jīng)典自修復(fù)材料的設(shè)計(jì)方法。首先，基于MMC 方法獲取相同初始條件（如工況、邊界條件等）下無膠囊載體的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型（如圖7 所示，其柔度值為294.6）；其次，根據(jù)不同的微膠囊參數(shù)，在組件內(nèi)嵌入微膠囊，設(shè)計(jì)“經(jīng)典自修復(fù)材料”，并計(jì)算相應(yīng)柔度和微膠囊體積分?jǐn)?shù)（如表2 和圖8 所示），微膠囊體積分?jǐn)?shù)是指拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型中全部微膠囊所占的面積比，體積分?jǐn)?shù)的取值范圍為[0，1）。研究結(jié)果表明。

表2 不同微膠囊半徑系數(shù)a 下兩類自修復(fù)材料的優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimization results of two kinds of self-healing materials with different radius coefficients a of microcapsules

圖7 無膠囊載體拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型Fig.7 Carrier topology optimization configuration without capsule

圖8 兩類自修復(fù)材料微膠囊體積分?jǐn)?shù)與柔度關(guān)系Fig.8 Relationship between microcapsule volume fraction and compliance of two kinds of self-healing materials

1）對(duì)比無膠囊載體的MBB 梁優(yōu)化構(gòu)型（圖8），協(xié)同優(yōu)化自修復(fù)材料（a=0.1，G=0.1）的柔度提高了0.53%，為296.15（表2），且構(gòu)型具有相似性（圖6）。

2）由表2 可知，微膠囊參數(shù)決定了自修復(fù)材料載體的體積分?jǐn)?shù)，當(dāng)微膠囊半徑系數(shù)a 由0.1 增至0.4 時(shí)，兩類自修復(fù)材料的微膠囊體積分?jǐn)?shù)均出現(xiàn)了增加趨勢(shì)；

3）由表2 可知，隨著微膠囊體積分?jǐn)?shù)的提高，兩類自修復(fù)材料的柔度均出現(xiàn)了增加，然而增加的幅度存在明顯差異，圖8 為兩類自修復(fù)材料微膠囊體積分?jǐn)?shù)與柔度關(guān)系曲線，顯然協(xié)同優(yōu)化自修復(fù)材料的柔度均小于經(jīng)典自修復(fù)材料，而且隨著體積分?jǐn)?shù)的增加（尤其體積分?jǐn)?shù)大于8%時(shí)），兩者的差別明顯變大。這說明對(duì)于經(jīng)典自修復(fù)材料而言，當(dāng)微膠囊體積分?jǐn)?shù)大于8%時(shí)，微膠囊載體將造成結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的急劇劣化，而協(xié)同優(yōu)化自修復(fù)材料則可減小這一不利影響。

4）通過研究不同微膠囊參數(shù)下兩類自修復(fù)材料的構(gòu)型，進(jìn)一步分析協(xié)同優(yōu)化的效果。表3 給出了微膠囊半徑系數(shù)a 分別為0.16 和0.35 的兩類自修復(fù)材料構(gòu)型，顯然相對(duì)于經(jīng)典自修復(fù)材料而言，協(xié)同優(yōu)化自修復(fù)材料通過宏觀構(gòu)型的優(yōu)化有效的減弱了載體對(duì)自修復(fù)材料力學(xué)性能的影響。

表3 兩類自修復(fù)材料拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型Tab.3 Topological optimization configuration of two self-healing materials

6 結(jié)論

1）將無膠囊的MBB 梁拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型與內(nèi)置微膠囊的MBB 梁拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型進(jìn)行了對(duì)比，論證了內(nèi)置微膠囊的MBB 梁在微膠囊體積分?jǐn)?shù)較低的情況時(shí)，可以獲得與無膠囊的MBB 梁相似的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型，證明了引入?yún)f(xié)同優(yōu)化方法的有效性。

2）隨著微膠囊體積分?jǐn)?shù)的增加，將會(huì)造成兩類自修復(fù)材料的柔度增大，力學(xué)性能的劣化。

3）當(dāng)微膠囊體積分?jǐn)?shù)超過8%時(shí)，對(duì)于經(jīng)典自修復(fù)材料，微膠囊會(huì)造成其結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的急劇劣化，當(dāng)微膠囊體積分?jǐn)?shù)接近14%時(shí)，協(xié)同優(yōu)化自修復(fù)材料的柔度值僅為經(jīng)典自修復(fù)材料的66.1%?？梢娧芯刻岢龅膮f(xié)同優(yōu)化自修復(fù)材料，通過引入宏觀構(gòu)型與微膠囊的并行優(yōu)化機(jī)制，可有效的減小微膠囊體積分?jǐn)?shù)增加對(duì)其結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的不利影響。