張海洋，張 剛

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150001)

0 引 言

快速響應(yīng)空間技術(shù)旨在對(duì)用戶指定的目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行快速、及時(shí)的成像觀測,以提高空間情報(bào)能力。比如,當(dāng)某地發(fā)生地震、森林火災(zāi)等自然災(zāi)害時(shí),響應(yīng)衛(wèi)星需要在較短的時(shí)間內(nèi),快速到達(dá)受災(zāi)點(diǎn)上方,為救災(zāi)工作提供地面圖像信息支撐[1-2]。

為提升對(duì)應(yīng)急任務(wù)的空間響應(yīng)能力,可利用在軌航天器軌道機(jī)動(dòng),調(diào)整其星下點(diǎn)軌跡,實(shí)現(xiàn)對(duì)指定目標(biāo)點(diǎn)的過頂訪問,根據(jù)機(jī)動(dòng)方式不同,可分為連續(xù)推力[3-5]和脈沖機(jī)動(dòng)[6-9]兩類。然而,由于應(yīng)急任務(wù)的突發(fā)性和目標(biāo)點(diǎn)位置的隨機(jī)性,若給定的時(shí)間區(qū)間內(nèi),目標(biāo)點(diǎn)超出在軌航天器機(jī)動(dòng)能力的可達(dá)范圍[10],則無法通過軌道機(jī)動(dòng)實(shí)現(xiàn)訪問任務(wù)。此時(shí),需要快速組裝、發(fā)射新的響應(yīng)衛(wèi)星,同時(shí)需要進(jìn)行響應(yīng)軌道設(shè)計(jì)。

一般空間軌道設(shè)計(jì)任務(wù)往往追求對(duì)整個(gè)地面空間的覆蓋,以地面覆蓋率、空間分辨率等作為優(yōu)化指標(biāo)[11-12]。此外,為保證重訪或相同的光照條件等特性,常采用回歸軌道[13-14]、太陽同步軌道[15]等。與一般的軌道設(shè)計(jì)任務(wù)相比,面向快速響應(yīng)任務(wù)的軌道設(shè)計(jì)具有應(yīng)急性、短暫性、局部性等特點(diǎn),通常只要求在一段時(shí)間內(nèi)對(duì)用戶指定的地面目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)偵察。然而,受響應(yīng)衛(wèi)星自身狹窄視幅寬的限制(例如,法國Pleiades衛(wèi)星,成像幅寬僅為20 km,對(duì)應(yīng)赤道上經(jīng)度范圍0.18°),要求設(shè)計(jì)軌道的星下點(diǎn)軌跡能夠精確經(jīng)過目標(biāo)點(diǎn)。此外,對(duì)于快速響應(yīng)任務(wù),若將目標(biāo)點(diǎn)設(shè)置為發(fā)射場,則響應(yīng)衛(wèi)星在發(fā)射后無需軌道機(jī)動(dòng)可直接進(jìn)入設(shè)計(jì)軌道,從而對(duì)其它地面目標(biāo)進(jìn)行訪問(如文獻(xiàn)[16]提出的近地快速覆蓋軌道),這可以大大減少應(yīng)急任務(wù)的響應(yīng)時(shí)間。

對(duì)于單個(gè)給定的地面目標(biāo)點(diǎn),Li等[17]提出了一種回歸軌道設(shè)計(jì)方法,其星下點(diǎn)軌跡能夠在升軌段和降軌段對(duì)目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行交替訪問,從而縮短重訪時(shí)間。對(duì)于兩個(gè)地面目標(biāo),文獻(xiàn)[18-19]分別提出了在入軌后單個(gè)軌道周期和多個(gè)軌道周期內(nèi)訪問目標(biāo)點(diǎn)的回歸軌道設(shè)計(jì)方法。上述研究均考慮了J2攝動(dòng)的影響且設(shè)計(jì)的軌道都為圓軌道。然而,圓軌道在具有所有目標(biāo)訪問高度一致這一優(yōu)點(diǎn)的同時(shí),也由于設(shè)計(jì)變量少,限制了訪問目標(biāo)的個(gè)數(shù)。對(duì)于3個(gè)地面目標(biāo),Abdelkhalik[20]提出了二體模型下兩種橢圓軌道的設(shè)計(jì)方法,并指出對(duì)于任意3個(gè)地面目標(biāo),存在多條訪問軌道。然而,文獻(xiàn)[20]中沒有考慮回歸約束,設(shè)計(jì)的軌道僅能訪問目標(biāo)點(diǎn)一次。

總之,目前在根據(jù)指定地面目標(biāo)點(diǎn)設(shè)計(jì)航天器軌道的研究中,只有針對(duì)3個(gè)目標(biāo)點(diǎn)單次訪問,或兩個(gè)及以下目標(biāo)點(diǎn)多次重復(fù)訪問的軌道設(shè)計(jì)方法?？紤]到響應(yīng)衛(wèi)星的發(fā)射成本較高,若能夠在單次發(fā)射任務(wù)中同時(shí)訪問更多的目標(biāo),能夠大大提升工作效率,降低任務(wù)成本。

本文提出了一種面向多目標(biāo)快速響應(yīng)任務(wù)的軌道設(shè)計(jì)方法。通過該方法設(shè)計(jì)軌道的星下點(diǎn)軌跡能夠精確通過用戶給定的地面目標(biāo),實(shí)現(xiàn)對(duì)4個(gè)地面目標(biāo)點(diǎn)的多次重復(fù)訪問,或?qū)?個(gè)地面目標(biāo)點(diǎn)的單次訪問。本文考慮J2攝動(dòng)的影響。

1 問題描述與分析

假設(shè)在初始時(shí)刻為t0的某次應(yīng)急響應(yīng)任務(wù)中,用戶指定了n個(gè)地面目標(biāo),其位置信息以地心經(jīng)、緯度的形式給出,記為(λk,φk),k=1,2,…,n。航天器在t時(shí)刻的軌道六根數(shù)用ξt=[a,e,i,Ωt,ωt,ft]表示,分別為半長軸、偏心率、傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)角距和真近點(diǎn)角,ut=ωt+ft為參數(shù)緯度幅角?，F(xiàn)需要求解初始時(shí)刻對(duì)應(yīng)的ξt0,使航天器的星下點(diǎn)軌跡能夠在tk時(shí)刻精確通過第k個(gè)地面目標(biāo),并在一定時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)n個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的全部訪問。

在本問題中,對(duì)于每個(gè)地面目標(biāo)點(diǎn)的訪問,均存在經(jīng)度和緯度兩個(gè)等式約束,因此,n個(gè)目標(biāo)點(diǎn)共有2n個(gè)等式約束。假設(shè)航天器初始時(shí)刻在第1個(gè)目標(biāo)點(diǎn)(如發(fā)射站)上方,則待求的未知量為初始時(shí)刻的軌道六根數(shù)ξt0=[a,e,i,Ωt0,ωt0,ft0]和對(duì)其余n-1個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的訪問時(shí)刻tk,k=2,…,n,即n個(gè)目標(biāo)點(diǎn)共有5+n個(gè)未知變量。

由上述分析可知,5個(gè)地面目標(biāo)可確定響應(yīng)衛(wèi)星的軌道,未知數(shù)和等式約束個(gè)數(shù)均為10,存在離散的解。此外,若要求設(shè)計(jì)軌道為回歸軌道(相應(yīng)增加一個(gè)等式約束,詳見第2節(jié)),則4個(gè)地面目標(biāo)可確定響應(yīng)衛(wèi)星的軌道,未知數(shù)和等式約束個(gè)數(shù)均為9,同樣存在離散的解。

雖然該問題易于定性分析,但無論對(duì)于5個(gè)地面目標(biāo)單次訪問問題中的10個(gè)未知數(shù),或4個(gè)目標(biāo)重復(fù)訪問問題中的9個(gè)未知數(shù),在求解過程中均面臨著初始猜測難以選擇的問題。因此,若能通過理論推導(dǎo)將初始問題進(jìn)行降維簡化處理,減少約束方程和未知量的個(gè)數(shù),將大大減小問題的求解難度,這一過程將在后續(xù)進(jìn)行具體推導(dǎo)和介紹。

2 目標(biāo)訪問約束

航天器在軌運(yùn)動(dòng)會(huì)受到各種攝動(dòng)力的干擾,從而使軌道偏離二體運(yùn)動(dòng),本文考慮地球扁率攝動(dòng)即J2攝動(dòng)的影響。J2攝動(dòng)會(huì)導(dǎo)致軌道根數(shù)發(fā)生長期漂移和周期震蕩,忽略其中周期項(xiàng)的影響,航天器軌道參數(shù)的漂移率可由線性J2模型[21]得到為

(1)

星下點(diǎn)是航天器位置矢量在地球表面的投影,可由軌道參數(shù)和格林尼治平衡星時(shí)角計(jì)算得到。航天器在tk時(shí)刻的星下點(diǎn)可表示為地心經(jīng)、緯度(λ,φ)[21],即:

(2)

φ(tk)=arcsin(sinisinutk)

(3)

本文要求航天器的星下點(diǎn)軌跡能夠精確通過指定的地面目標(biāo),因此,對(duì)于位置信息為(λk,φk)的第k個(gè)目標(biāo)點(diǎn),其訪問約束可表述為

λ(tk)-λk=

(4)

φ(tk)-φk=arcsin(sinisinutk)-φk=0

(5)

注意,星下點(diǎn)軌跡是航天器在軌運(yùn)動(dòng)和地球自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的合成,當(dāng)航天器運(yùn)行至與目標(biāo)點(diǎn)k同一緯度時(shí),對(duì)應(yīng)的參數(shù)緯度幅角utk可由式(5)求解得到為

(6)

式(6)中的兩個(gè)值分別對(duì)應(yīng)升軌段訪問和降軌段訪問。當(dāng)參數(shù)緯度幅角確定后,對(duì)應(yīng)的訪問時(shí)刻tk與初始時(shí)刻t0之間的時(shí)間差可通過開普勒方程[21]計(jì)算得到為

(7)

式中:Nk為訪問圈數(shù);Mt0和Mtk分別為初始時(shí)刻和訪問時(shí)刻的平近點(diǎn)角。在tk時(shí)刻航天器與目標(biāo)點(diǎn)處于同一緯度φk(如圖1所示),此時(shí),僅需滿足經(jīng)度約束λ(tk)-λk=0。將式(7)代入式(4),整理可得:

圖1 航天器與目標(biāo)點(diǎn)處于同一緯度Fig.1 A spacecraft at the same latitude as the target point

λ(tk)-λk=

(8)

值得注意的是,為保證初始時(shí)刻航天器在第一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)上方,初始時(shí)刻的參數(shù)緯度幅角ut0還需滿足

(9)

綜上所述,5個(gè)地面目標(biāo)單次訪問問題可表述為5個(gè)式(8)約束(式中k=1,2,3,4,5)和1個(gè)式(9)約束,未知量為初始時(shí)刻的軌道六根數(shù)。未知量和約束方程個(gè)數(shù)相等,存在離散的解,該結(jié)論與第1節(jié)一致,即5個(gè)目標(biāo)可確定響應(yīng)衛(wèi)星的軌道。

若要求航天器能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)目標(biāo)點(diǎn)的重復(fù)訪問,設(shè)計(jì)軌道還需滿足回歸約束

NTnod=DTE

(10)

式中:N和D為互質(zhì)的整數(shù),表示航天器在經(jīng)過D個(gè)恒星日運(yùn)行N圈后星下點(diǎn)軌跡開始重復(fù),從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)點(diǎn)的重訪;Tnod為航天器的交點(diǎn)周期,TE為地球相對(duì)于軌道面旋轉(zhuǎn)一圈的時(shí)間間隔,二者表達(dá)式為

(11)

在回歸約束下,4個(gè)目標(biāo)點(diǎn)重復(fù)訪問問題可表述為4個(gè)式(8)約束、1個(gè)式(9)約束和1個(gè)式(10)約束,未知量為初始時(shí)刻的軌道六根數(shù)。未知數(shù)和約束方程個(gè)數(shù)相等,同樣存在離散的解,結(jié)論與第1節(jié)一致,即在回歸約束下4個(gè)目標(biāo)即可確定響應(yīng)衛(wèi)星的軌道。

注意,為避免贅述,后續(xù)設(shè)計(jì)流程中的公式僅顯示升軌訪問,若有目標(biāo)點(diǎn)選擇在降軌段訪問只需根據(jù)式(6)、(8)、(9)進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整即可。

3 假設(shè)傾角已知下其余軌道元素設(shè)計(jì)流程

由第2節(jié)分析可知,5個(gè)目標(biāo)單次訪問問題和4個(gè)目標(biāo)重復(fù)訪問問題均可表示為六維非線性方程組的求解問題。為避免直接求解六維非線性方程組時(shí)初始猜測難以選擇的問題,本節(jié)先假設(shè)軌道傾角已知,通過解析或數(shù)值方法依次對(duì)其他軌道參數(shù)進(jìn)行求解。

3.1 參數(shù)緯度幅角和升交點(diǎn)赤經(jīng)求解

假設(shè)軌道傾角i已知,由式(6)可知,軌道傾角需滿足sini≥sinφk,即i∈[|φk|max,π-|φk|max]。由于初始時(shí)刻航天器在目標(biāo)點(diǎn)1上方,有t1=t0,初始時(shí)刻的參數(shù)緯度幅角ut0可直接由式(9)解析得到。

將t1=t0代入目標(biāo)點(diǎn)1的訪問約束方程[式(8),k=1],可得到設(shè)計(jì)軌道的升交點(diǎn)赤經(jīng)為

Ωt0=αt0+λ1-arctan(cositanut0)

(12)

下面對(duì)其余目標(biāo)點(diǎn)的訪問圈數(shù)進(jìn)行估計(jì)。當(dāng)傾角i和升交點(diǎn)赤經(jīng)Ωt0均確定后,航天器的軌道平面即確定,當(dāng)軌道面掃過目標(biāo)點(diǎn)(λk,φk)時(shí),有[22]:

(13)

令sinβg1, cosβg2,通過四象限反正切計(jì)算得到β,對(duì)應(yīng)的格林尼治平恒星時(shí)角為αtk=Ωt0+β。由此,轉(zhuǎn)移時(shí)間可由格林尼治平恒星時(shí)角之差與地球自轉(zhuǎn)角速度估計(jì)得到[22],為

(14)

式中:d表示在第d天過頂訪問。對(duì)第k個(gè)目標(biāo)的訪問圈數(shù)可由下式計(jì)算得到

(15)

3.2 偏心率和近地點(diǎn)角距求解

分別聯(lián)立對(duì)第2、3個(gè)目標(biāo)和對(duì)第3、4個(gè)目標(biāo)的訪問約束方程[式(8),k=2,3和k=3,4],消去設(shè)計(jì)軌道的平均角速度和J2攝動(dòng)下軌道的漂移,可得到如下F1和F2兩個(gè)非線性方程

(16)

(17)

式中:Ωt0,αt0和λk均為已知量;圈數(shù)Nk在式(15)估計(jì)的區(qū)間內(nèi)遍歷搜索得到;utk可通過式(6)計(jì)算得到;平近點(diǎn)角Mtk可通過對(duì)應(yīng)的偏近點(diǎn)角計(jì)算得到為[21]

Mtk=Etk-esinEtk

(18)

偏近點(diǎn)角與真近點(diǎn)角之間的關(guān)系為[21]

(19)

而真近點(diǎn)角ftk=utk-ωtk≈utk-ωt0,此處忽略了J2攝動(dòng)對(duì)近地點(diǎn)角距的影響[23]。當(dāng)參數(shù)緯度幅角utk已知時(shí),平近點(diǎn)角Mtk僅與偏心率e和近地點(diǎn)角距ωt0有關(guān)。因此,方程組F1和F2中僅含有未知量偏心率e和近地點(diǎn)角距ωt0,求解方程組的零點(diǎn)即對(duì)應(yīng)設(shè)計(jì)軌道的e和ωt0。

二維非線性方程組可通過牛頓迭代求解,迭代公式為

(20)

(21)

令x表示ωt0或e,有

(22)

式中:

首先,通過對(duì)偏心率一階泰勒展開,式(19)中偏近點(diǎn)角可近似為[8]

Etk≈ftk-esinftk

(23)

由此,式(18)中平近點(diǎn)角可近似為

Mtk≈ftk-2esinftk≈(utk-ωt0)-2esin(utk-ωt0)

(24)

然后將式(24)代入式(16),可將偏心率e表示為只關(guān)于近地點(diǎn)角距ωt0的函數(shù),

(25)

式中:

將式(25)代入式(17),可得到只含有近地點(diǎn)角距ωt0的一維非線性方程,可通過數(shù)值方法(如二分法、割線法等)求解其零點(diǎn)得到ωt0的初值,代入式(25)即可得到偏心率e的初值。

將初始猜測代入式(20)求得ωt0和e的精確解后,初始時(shí)刻的真近點(diǎn)角為ft0=ut0-ωt0。

3.3 半長軸求解

(26)

式中:

(27)

當(dāng)僅存在4個(gè)目標(biāo)點(diǎn),而無其他約束條件時(shí),可給定一個(gè)大于所有目標(biāo)點(diǎn)緯度的傾角i,其余初始時(shí)刻的5個(gè)軌道要素可通過上述步驟依次求解,其中參數(shù)緯度幅角、升交點(diǎn)赤經(jīng)分別通過式(9)、(12)解析得到;偏心率和近地點(diǎn)角距通過式(20)牛頓迭代數(shù)值求解得到;半長軸通過求解七次多項(xiàng)式,即式(26)數(shù)值得到。求得的軌道參數(shù)可實(shí)現(xiàn)對(duì)4個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的單次訪問。

4 軌道傾角求解

本節(jié)將在上一節(jié)的基礎(chǔ)上,對(duì)軌道傾角進(jìn)行設(shè)計(jì),以滿足回歸約束,或更多目標(biāo)點(diǎn)的訪問約束。

4.1 4個(gè)目標(biāo)重復(fù)訪問回歸軌道設(shè)計(jì)

若僅給定4個(gè)目標(biāo)點(diǎn),則可在第3節(jié)的基礎(chǔ)上,對(duì)傾角i進(jìn)行設(shè)計(jì),使設(shè)計(jì)的軌道滿足式(10)的回歸軌道約束,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)點(diǎn)的重復(fù)訪問。首先根據(jù)任務(wù)需求,人為選定回歸天數(shù)D和圈數(shù)N,在此基礎(chǔ)上,對(duì)于一個(gè)給定的傾角i,其他5個(gè)要素均可通過第3節(jié)計(jì)算得到。因此,式(10)可看作僅含有傾角i的一維非線性方程。在傾角的取值區(qū)間內(nèi),通過一維搜索求解其零點(diǎn),得到回歸約束下的傾角i,然后代入第3節(jié),更新得到其余5個(gè)軌道要素。

注意,在第3.1節(jié)的訪問圈數(shù)的計(jì)算中,當(dāng)N和D給定后,軌道半長軸的初始猜測可由式(10)在二體模型下直接計(jì)算得到:

(28)

至此,t0時(shí)刻6個(gè)軌道要素全部求解完成,完成4個(gè)目標(biāo)回歸軌道設(shè)計(jì)。

4.2 5個(gè)目標(biāo)單次訪問軌道設(shè)計(jì)

若給定5個(gè)目標(biāo)點(diǎn),同樣可先假設(shè)傾角i已知,其他5個(gè)要素均可通過第3節(jié)計(jì)算得到,實(shí)現(xiàn)對(duì)前4個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的訪問。由此第5個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的訪問約束

λ(t5)-λ5=arctan(cositanut5)+Ωt0-αt0-λ5+

(29)

也可看作僅含有傾角i的一維非線性方程。在傾角的取值區(qū)間內(nèi),通過一維搜索求解其零點(diǎn),得到滿足5個(gè)目標(biāo)訪問約束下的傾角i,然后代入第3節(jié),更新得到其余5個(gè)軌道要素。

至此,t0時(shí)刻6個(gè)軌道要素全部求解完成,完成五個(gè)目標(biāo)單次訪問軌道設(shè)計(jì)。

4.3 整體設(shè)計(jì)流程

對(duì)于每個(gè)地面目標(biāo),均有升軌段訪問和降軌段訪問兩種訪問弧段,見式(6)、(8)、(9),具體可根據(jù)任務(wù)需求進(jìn)行選擇。當(dāng)?shù)孛婺繕?biāo)無特定訪問弧段要求時(shí),n個(gè)目標(biāo)共有2n種訪問弧段組合,對(duì)于給定的目標(biāo)訪問弧段組合,每個(gè)目標(biāo)訪問圈數(shù)的取值區(qū)間可由式(15)估計(jì)得到,遍歷取值區(qū)間內(nèi)所有圈數(shù)組合,即可得到當(dāng)前訪問弧段組合下的所有解,算法流程圖如圖2所示。

圖2 軌道設(shè)計(jì)算法流程圖Fig.2 Flow chart of the orbit design algorithm

對(duì)于每一組給定的訪問弧段和訪問圈數(shù)組合,4個(gè)目標(biāo)重復(fù)訪問問題和5個(gè)目標(biāo)單次訪問問題都被轉(zhuǎn)化為關(guān)于傾角的一維非線性方程求根問題。一維非線性方程可通過一維搜索求解其零點(diǎn)。具體而言,首先將傾角在[|φk|max,π-|φk|max]內(nèi)離散,通過網(wǎng)格法搜索得到傾角的可行區(qū)間(注意,在某些給定傾角處,其它軌道參數(shù)無解或不符合實(shí)際,如軌道高度過低撞地等,非線性方程無意義)。接下來,通過分段黃金分割搜索得到區(qū)間內(nèi)所有的極值點(diǎn),若兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào),則之間一定存在解,進(jìn)一步通過割線法精確求解方程零點(diǎn)。

5 仿真校驗(yàn)

本節(jié)提供了幾個(gè)算例來校驗(yàn)文章所提方法的有效性。初始時(shí)刻設(shè)置為2022年1月1日00∶00∶00,對(duì)應(yīng)的格林尼治平恒星時(shí)角為αt0=1.756 3 rad,用戶指定地面目標(biāo)點(diǎn)的地心經(jīng)、緯度如表1所示?，F(xiàn)要求設(shè)計(jì)航天器的軌道,實(shí)現(xiàn)在一天內(nèi)對(duì)表1中前4個(gè)目標(biāo),或全部5個(gè)目標(biāo)的訪問,且當(dāng)只有前4個(gè)目標(biāo)時(shí),設(shè)計(jì)軌道應(yīng)為回歸軌道。

表1 用戶指定目標(biāo)點(diǎn)的地心經(jīng)、緯度Table 1 Longitudes and latitudes of user-specified target points

算例中動(dòng)力學(xué)模型為非線性J2攝動(dòng)模型,忽略其他攝動(dòng)項(xiàng)的影響。軌道遞推過程利用Runge-Kutta-Fehlberg (RKF78)數(shù)值計(jì)算得到,積分過程中相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差(“RelTol”和“AbsTol”)都設(shè)置為10-12。

5.1 4個(gè)目標(biāo)重復(fù)訪問軌道設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)4個(gè)地面目標(biāo)重復(fù)訪問,將軌道設(shè)置為天回歸軌道,回歸圈數(shù)的取值范圍限制為N=8∶16,對(duì)應(yīng)半長軸取值范圍約為[RE+200 km,RE+4 200 km]。注意圈數(shù)取值過小會(huì)導(dǎo)致軌道半長軸過大。通過所提方法,遍歷所有升、降軌和圈數(shù)組合后,共得到5組可行解,初始時(shí)刻對(duì)應(yīng)的軌道參數(shù)如表2所示。在表2的訪問弧段列中,Ak和Dk分別表示第k個(gè)目標(biāo)在升軌段和降軌段訪問。第一組解7天內(nèi)的星下點(diǎn)軌跡如圖3所示,圖中五角星表示指定的地面目標(biāo)點(diǎn),可見設(shè)計(jì)軌道保持了良好的回歸特性。

表2 4個(gè)地面目標(biāo)重復(fù)訪問軌道參數(shù)(回歸周期1天)Table 2 Orbital elements for revisiting four ground target points (revisit period is one day)

圖3 四個(gè)目標(biāo)重復(fù)訪問的星下點(diǎn)軌跡Fig.3 Ground tracks revisiting four ground target points

對(duì)于每組解,用戶指定目標(biāo)在第一天內(nèi)的訪問時(shí)刻以及對(duì)應(yīng)的經(jīng)度差如表3所示,其中Δtk=tk-t0為訪問時(shí)刻與初始時(shí)刻的時(shí)間差,Δλk=λ(tk)-λk為訪問時(shí)刻與目標(biāo)點(diǎn)的經(jīng)度差,k=1,2,3,…。由于航天器初始時(shí)刻在目標(biāo)點(diǎn)1上方,其訪問時(shí)刻和對(duì)應(yīng)的經(jīng)度差均為0。仿真結(jié)果表明,通過所提方法設(shè)計(jì)的軌道,其星下點(diǎn)軌跡能夠準(zhǔn)確經(jīng)過指定的目標(biāo)點(diǎn),完成訪問任務(wù),訪問時(shí)刻設(shè)計(jì)軌道和目標(biāo)點(diǎn)之間的經(jīng)度差不超過0.12°,該誤差主要由線性和非線性J2模型之間的偏差導(dǎo)致。

表3 4個(gè)地面目標(biāo)點(diǎn)的訪問時(shí)刻及經(jīng)度差Table 3 Visit moments and longitude difference for four ground target points

5.2 5個(gè)目標(biāo)單次訪問軌道設(shè)計(jì)

對(duì)于5個(gè)目標(biāo)單次訪問軌道設(shè)計(jì),遍歷所有升、降軌和圈數(shù)組合后,共得到3組解,初始時(shí)刻對(duì)應(yīng)的軌道參數(shù)如表4所示。其中第二組解在一天內(nèi)的星下點(diǎn)軌跡如圖4所示。

表4 5個(gè)地面目標(biāo)單次訪問軌道參數(shù)Table 4 Orbital elements for a single visit to five ground target points

圖4 5個(gè)目標(biāo)單次訪問的星下點(diǎn)軌跡Fig.4 Ground tracks for a single visit to five ground target points

對(duì)于每組解,用戶指定目標(biāo)點(diǎn)的訪問時(shí)刻以及對(duì)應(yīng)的經(jīng)度差如表5所示。仿真結(jié)果表明,通過所提方法設(shè)計(jì)的軌道,其星下點(diǎn)軌跡能夠在一天內(nèi)精確經(jīng)過指定的5個(gè)地面目標(biāo),完成訪問任務(wù),訪問時(shí)刻設(shè)計(jì)軌道和目標(biāo)點(diǎn)之間的經(jīng)度差不超過0.09°,該誤差同樣主要由線性和非線性J2模型之間的偏差導(dǎo)致。

表5 5個(gè)地面目標(biāo)點(diǎn)的訪問時(shí)刻及經(jīng)度差Table 5 Visit moments and longitude difference for five ground target points

5.3 隨機(jī)目標(biāo)點(diǎn)可行解的分布

對(duì)于4個(gè)目標(biāo)點(diǎn)重復(fù)訪問任務(wù)或5個(gè)目標(biāo)點(diǎn)單次訪問任務(wù),由于約束方程個(gè)數(shù)和自變量個(gè)數(shù)相等,對(duì)于任意給定的目標(biāo)點(diǎn),可能存在無解的情況。本小節(jié)將在給定范圍內(nèi)隨機(jī)選取4個(gè)或5個(gè)目標(biāo)點(diǎn),為上述兩種任務(wù)各提供1 000次蒙特卡洛仿真,用以分析可行解存在的概率。

本小節(jié)將在表1中各目標(biāo)經(jīng)度±10°和緯度±10°的范圍內(nèi)隨機(jī)選擇新的目標(biāo)點(diǎn)。任務(wù)初始時(shí)刻不變,所有目標(biāo)點(diǎn)的訪問時(shí)間仍限制在一天內(nèi),且遍歷所有升、降軌和訪問圈數(shù)組合。對(duì)于4個(gè)目標(biāo)點(diǎn)重復(fù)訪問任務(wù),仍選擇天回歸軌道,回歸圈數(shù)的取值范圍限制為N=8∶16,對(duì)應(yīng)軌道半長軸的取值范圍約為[RE+200 km,RE+4 200 km]。兩種任務(wù)在1 000次蒙特卡洛仿真中可行解的分布如圖5所示。

圖5 1 000次蒙特卡洛仿真中可行解的分布Fig.5 Distribution of feasible solutions in 1 000 times of Monte Carlo simulations

仿真結(jié)果表明,對(duì)于給定范圍內(nèi)隨機(jī)指定的4個(gè)或5個(gè)目標(biāo)點(diǎn),兩種任務(wù)無解的概率分別為13.7%和13.0%;大部分情況下可行解的個(gè)數(shù)在1到4個(gè)之間,概率分別為71.1%和81.2%。對(duì)于4個(gè)目標(biāo)重復(fù)訪問任務(wù),有兩個(gè)可行解的概率最大,為22.9%;對(duì)于5個(gè)目標(biāo)單次訪問任務(wù),有一個(gè)可行解的概率最大,為27.0%。值得注意的是,若所有目標(biāo)點(diǎn)均在某一集中區(qū)域內(nèi),受圈數(shù)限制,兩種任務(wù)在一天內(nèi)無解的概率會(huì)增大,此時(shí)可通過放寬訪問時(shí)間要求(如可在兩天或多天內(nèi)實(shí)現(xiàn)全部訪問)等來增大求解概率。

6 結(jié) 論

本文通過分析地面目標(biāo)點(diǎn)訪問約束和軌道參數(shù)之間的關(guān)系,給出了J2攝動(dòng)下4個(gè)地面目標(biāo)重復(fù)訪問和5個(gè)地面目標(biāo)單次訪問軌道設(shè)計(jì)方法。在假設(shè)軌道傾角已知的前提下,其余5個(gè)軌道參數(shù)通過4個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的訪問約束依次解析、或數(shù)值求解得到;然后利用回歸約束或第5個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的訪問約束,將軌道設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)換為只含有傾角的一維非線性方程,并通過數(shù)值方法求解。仿真算例表明,對(duì)于4個(gè)目標(biāo)重復(fù)訪問和5個(gè)目標(biāo)單次訪問軌道設(shè)計(jì),均有離散的解,通過該方法設(shè)計(jì)軌道的星下點(diǎn)軌跡能夠精確經(jīng)過用戶指定的目標(biāo)點(diǎn),訪問時(shí)刻與目標(biāo)點(diǎn)之間的經(jīng)度差不超過0.12°,驗(yàn)證了方法的有效性。