鄭前前 楊文杰

摘?要：“實(shí)變函數(shù)”是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的核心課程，本文主要運(yùn)用比較融合的多層次探究理論，綜合“實(shí)變函數(shù)”的課程特點(diǎn)，針對課程理論知識晦澀、內(nèi)容體系與數(shù)學(xué)分析相關(guān)度高及應(yīng)用程度低等問題，提出了教學(xué)實(shí)施方案。方案采用多種課堂對比的形式，通過聯(lián)想對比的方式加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解，培養(yǎng)學(xué)生分析、評價及質(zhì)疑的能力，從而達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新人才的目的。

關(guān)鍵詞：實(shí)變函數(shù)；對等；比較融合

1?概述

“實(shí)變函數(shù)”是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)核心課程［1］，由于其難學(xué)難教的課程特點(diǎn)，導(dǎo)致很少以“實(shí)變函數(shù)”課程作為教學(xué)改革對象進(jìn)行研究。課題式教學(xué)可以有效地解決課程的完整性與課時數(shù)不足之間的矛盾［2］，但學(xué)生同樣面臨著很難理解一些抽象的概念?！皩?shí)變函數(shù)”是“數(shù)學(xué)分析”的延續(xù)、深化與推廣［3］，所以在教學(xué)過程中要結(jié)合“數(shù)學(xué)分析”厘清“實(shí)變函數(shù)”的主要脈絡(luò)，把握其主要思想方法，進(jìn)而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的課程目的。線上線下相結(jié)合、傳統(tǒng)講授式和討論式相融合、比較法、舉例法是目前探索“實(shí)變函數(shù)”講授方式的幾種方法［4］。實(shí)變函數(shù)理論在概率論中也有比較重要的應(yīng)用，利用勒貝格積分解決一些實(shí)際概率問題，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣［5］。同時根據(jù)各個知識點(diǎn)的特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)之美等展現(xiàn)給學(xué)生，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)［6］，這是目前比較容易實(shí)現(xiàn)的一種途徑。如結(jié)合“實(shí)變函數(shù)”的歷史發(fā)展過程，將測度概念的形成、演變歷程融入教學(xué)過程中，構(gòu)建測度概念的探究式教學(xué)設(shè)計［7］，以及通過舉例探討集合表示法和集合分析法在“實(shí)變函數(shù)”相關(guān)內(nèi)容教學(xué)中的具體應(yīng)用［8］?？傊?，“實(shí)變函數(shù)”的教學(xué)方法探究還需進(jìn)一步深化和延伸。

根據(jù)筆者近幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在初次接觸“實(shí)變函數(shù)”課程時，超過90%的學(xué)生認(rèn)為證明題太多，過于抽象，難度很大。因此，“實(shí)變函數(shù)”課堂教學(xué)面臨的一個非常大的困難和挑戰(zhàn)是如何在抽象理論知識講授的課堂中提高學(xué)生的興趣和專注力?；谀壳按嬖诘膯栴}，本文通過實(shí)際教學(xué)案例進(jìn)行說明基于比較融合的“實(shí)變函數(shù)”教學(xué)探究過程。為進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)比較融合的多層次探究理論，本文綜合“實(shí)變函數(shù)”的課程特點(diǎn)，針對課程理論知識晦澀、內(nèi)容體系與數(shù)學(xué)分析相關(guān)度高及應(yīng)用程度低等問題，提出了教學(xué)實(shí)施方案。方案采用多種課堂對比的形式，通過聯(lián)想對比的方式加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解，從實(shí)際問題出發(fā)，總結(jié)出生活中的數(shù)學(xué)問題，在解決數(shù)學(xué)問題的同時，可以巧妙地使用實(shí)例進(jìn)行簡單說明，為實(shí)際問題的解決提供了理論基礎(chǔ)。

2?基于比較融合的“實(shí)變函數(shù)”教學(xué)探究

“實(shí)變函數(shù)”是一門專業(yè)基礎(chǔ)課，旨在培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的科學(xué)思維能力，同時也是眾多學(xué)科領(lǐng)域的研究基礎(chǔ)，是學(xué)生接受科學(xué)研究的初步訓(xùn)練。在應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生培養(yǎng)中，其前置課程為“數(shù)學(xué)分析”，后置課程為“泛函分析”，可見“實(shí)變函數(shù)”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性及抽象性。這就要求學(xué)生具備一定的抽象思維能力，而對于大部分學(xué)生而言，他們更傾向于形象思維?；诒容^融合的“實(shí)變函數(shù)”教學(xué)方法是以熟知的知識點(diǎn)或者場景為出發(fā)點(diǎn)，把抽象及難以理解的概念具體化。也就是在一個新的概念提出之后，根據(jù)現(xiàn)有的實(shí)例進(jìn)行分析，如在可測集的學(xué)習(xí)過程中，在可測集的交、并、補(bǔ)、差及極限都對可測集進(jìn)行了大量的證明，其過程比較復(fù)雜，理解也有一點(diǎn)的難度。但是我們在可測集中同樣可以提出集合的四則運(yùn)算（交、并、補(bǔ)、差），基于書中的介紹，可測集四則運(yùn)算及極限是封閉的。雖然學(xué)生對于可測集的四則運(yùn)算都是可測集這樣的概念，理解上可能有點(diǎn)困難，但加上封閉這個概念之后，學(xué)生就可以迅速理解可測集的性質(zhì)，這些方法在教學(xué)過程中得到了驗(yàn)證。再如后續(xù)的勒貝格可測函數(shù)及勒貝格可積函數(shù)都可以推廣此種方法，因?yàn)樵谶@些知識點(diǎn)中同樣涉及四則運(yùn)算。當(dāng)然，比較融合的“實(shí)變函數(shù)”教學(xué)方法不局限于新舊知識之間的對比，還有抽象概念與具體事物的對比，如對等的概念，在“實(shí)變函數(shù)”中是兩個集合之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，而在實(shí)際生活中所用的地圖其實(shí)也和現(xiàn)實(shí)中的地理環(huán)境存在著一一對應(yīng)發(fā)熱關(guān)系，這樣才能定位準(zhǔn)確。在一定意義上數(shù)學(xué)建模的過程就是建立實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型之間的對應(yīng)關(guān)系，也可以看成是對等的關(guān)系。通過此種方法進(jìn)行教學(xué)可以使學(xué)生從形象的具體事物中理解抽象的數(shù)學(xué)概念，不僅可以提高學(xué)生的應(yīng)用能力，還可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)比較融合的教學(xué)目的。

為了解決抽象思維與形象思維的統(tǒng)一，本文以“實(shí)變函數(shù)”中“對等與基數(shù)”這節(jié)課為例對基于比較融合的“實(shí)變函數(shù)”教學(xué)方法進(jìn)行探究?！皩Φ扰c基數(shù)”這節(jié)課是“實(shí)變函數(shù)”后續(xù)研究的基礎(chǔ)，是建立無限集合之間關(guān)系的橋梁。本節(jié)課在知識、技能方面需要進(jìn)一步掌握映射、對等的相關(guān)概念及其應(yīng)用，進(jìn)而形成獨(dú)立學(xué)習(xí)能力和自我完善能力。基于這一目標(biāo)，課程設(shè)計如下：

在回顧上一節(jié)集合元素多少的基礎(chǔ)上，提出目前集合中存在的問題：對于有限集合，兩個集合中元素的個數(shù)很容易得到，并可以進(jìn)行比較大小；對于無限集合，由于無法算出元素的個數(shù)或者說每個無限集合都有無窮個元素，那么如何比較兩個無限集合元素的多少呢？這是本節(jié)需要解決的一個問題，對于這樣的一個問題，可以通過一個實(shí)例進(jìn)行說明：細(xì)胞和地球都可以看成一個集合，那么這兩個集合中的元素就可以進(jìn)行加以比較。如何比較呢？把細(xì)胞和地球都可以看成一個球體，進(jìn)而看成一個圓，最后細(xì)胞和地球這兩個集合元素比較的問題就轉(zhuǎn)化為了兩個同心圓上元素比較的問題。在這個轉(zhuǎn)化的過程中，實(shí)際上就是數(shù)學(xué)建模的過程，使學(xué)生學(xué)以致用，引導(dǎo)學(xué)生利用知識解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、大膽應(yīng)用的科學(xué)精神，增強(qiáng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作意識。這個轉(zhuǎn)化過程也進(jìn)一步減弱了“實(shí)變函數(shù)”的枯燥程度，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的好奇心，更進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣。

3?基于比較融合的“實(shí)變函數(shù)”教學(xué)實(shí)例展示

在課程引入之后，本設(shè)計首先給出映射的概念，以便后續(xù)定義對等的概念。

定義1?設(shè)A，B是兩個非空集合，若依照對應(yīng)法則f，對x∈A，均存在B中唯一的y與之對應(yīng)，則稱f為A到B內(nèi)的一個映射，記作f：A→B，其中A為f的定義域。對EA，則稱f（E）=f（x）：x∈E為E在f下的像集；對FB，則稱f－1（F）=x：f（x）∈F為F在關(guān)于f下的原像。

定義2?設(shè)f：A→B，則稱f為

單射：x，y∈A，若f（x）=f（y），則x=y。

漫射：y∈B，存在x∈A，使得f（x）=y。

既是單射又是滿射的映射稱為一一映射（雙射）。

定義3?設(shè)f為A到B內(nèi)的一個一一映射，則對y∈B，存在唯一的x∈A，使得y=f（x），稱σ（x）=y，σ：B→A為f的逆映射，記作σ=f－1：B→A。

定義4?設(shè)f：A→B，g：B→C，稱ρ（x）=g（f（x））定義的映射ρ：A→C為復(fù)合映射σ（x）=y，記作ρ=g°f：A→C。

那么如何快速理解映射的概念呢，本文以弓箭射靶為例。首先假設(shè)每一次射箭都會射中箭靶，而且任意兩支箭都不會射到同一位置；然后假設(shè)有一壺弓箭A，同樣把所有的箭靶看成B，接著把所有的弓箭射完；最后觀察弓箭和箭靶情況。如果每一個箭靶上最多只有一支弓箭，則稱為單射；如果每一個箭靶上均有弓箭，此時為滿射；如果每一個箭靶上有且僅有一支弓箭，則稱為一一映射。另外，弓箭為原像，有弓箭的箭靶為像。對于逆映射的理解，就相當(dāng)于每個箭靶上當(dāng)且僅當(dāng)只有一支弓箭的時候，拔掉弓箭的過程可以認(rèn)為是一個逆映射。換句話說就是拔掉弓箭是射箭的一個逆過程。而復(fù)合映射則可以理解為一支弓箭穿過一層箭靶到達(dá)了另外一個箭靶之上。本文以實(shí)際生活中的案例與映射的相關(guān)概念進(jìn)行對比，可以讓學(xué)生身臨其境地理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念，在其他“實(shí)變函數(shù)”章節(jié)教學(xué)過程中同樣可以應(yīng)用這樣對比的方法進(jìn)行教學(xué)。

在理解映射的基礎(chǔ)上給出對等的定義：

定義5?設(shè)A，B是兩個非空集合，若在f為A到B內(nèi)的一個一一映射，則稱A與B對等，記作A～B。同時稱與A對等的集合為與A有相等的基數(shù)，記作A=。

注：對于有限集合而言，對等的概念很好理解，兩個集合之間存在著一個一一映射，那么這個映射關(guān)系完全可以按照順序進(jìn)行一一配對，進(jìn)而建立符合要求的映射關(guān)系。同時兩個集合具有相等的基數(shù)，也就是兩個集合中的元素個數(shù)相等。對于兩個無限集合而言，對等關(guān)系的建立就要嚴(yán)格按照定義進(jìn)行。在本文中，兩個無限集合存在著一一映射的關(guān)系，在廣義上就可以理解為兩個集合具有相同的元素個數(shù)，但是這個集合的具體元素個數(shù)無法確定，如所知的可數(shù)集和不可數(shù)集。

按照定義5可以得到對等的以下性質(zhì)：

（1）反身性A～A；（2）對稱性A～BB～A；（3）傳遞性A～B，B～CA～C。

注：反身性可以理解為任何集合A都存在一個恒等映射使得集合A到集合A的映射滿足一一映射的關(guān)系，所以集合A與集合A是對等的且有相等的基數(shù)；對于對稱性，A～B意味著集合A與集合B之間存在著一一映射的關(guān)系f且A==B=（弓箭數(shù)量和箭靶數(shù)量一樣多，每個箭靶上當(dāng)且僅有一支弓箭），而一一映射f的逆映射f－1也是一一映射（箭靶數(shù)量和弓箭數(shù)量一樣多，每個箭靶當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)一支弓箭），所以B～A且B==A=；而對等的傳遞性則可以應(yīng)用復(fù)合映射進(jìn)行解釋，A～B，B～C意味著存在一一映射f：A～B和g：B～C，并滿足A==B==C=，而復(fù)合映射f°g：A～C也是一一映射，即有A～C（這里可以假設(shè)是雙重箭靶，一支弓箭穿過一層箭靶到達(dá)了另外一層箭靶之上，此時第一層箭靶可以認(rèn)為是中間過程，可忽略不計，即h=f°g是一支弓箭直達(dá)一個箭靶的映射）。

那么是否還有其他方法可以判斷兩個集合的對等關(guān)系，本文在這里給出伯恩斯坦定理：

定理1?設(shè)A，B是兩個非空集合，如果A對等于B的一個子集，同時B又對等于A的一個子集，那么A～B。

注：這個定理主要應(yīng)用于無限集合的證明；在大部分“實(shí)變函數(shù)”教程中，對于伯恩斯坦定理的證明都使用了構(gòu)造性證明，眾所周知構(gòu)造性證明是一種很高級的證明方法，同時依賴于經(jīng)驗(yàn)的積累，對于初學(xué)者而言具有很大的困難。實(shí)際上，從定理的描述中可以發(fā)現(xiàn)A對等于B的一個子集可以理解為A=SymbolcB@

B=，同時B又對等于A的一個子集，則有A=B=，最后可以推出A==B=，A==B=意味著兩個集合的元素相等，即有弓箭和箭靶的數(shù)量相等，可以建立一一映射的關(guān)系，故而存在對等的關(guān)系。

在給出了以上概念的基礎(chǔ)上，考慮以下幾個例子：

例1?比較大小，比較集合A=（0，1），B=（0，1］，C=［0，1］及實(shí)數(shù)集R=

）的基數(shù)大小關(guān)系。

解：因?yàn)锳B，易知A=SymbolcB@

B=，同時存在一個一一映射f=1+x3使得B=（0，1］對等于（13，23］，而（13，23］A，所以A=B=，即有A==B=；同理BCB=SymbolcB@

C=存在一一映射f=1+x3使得C與［13，23］A對等，進(jìn)而得到B與C對等，即B==C=?？偨Y(jié)可得A==B==C=。最后比較A與R基數(shù)的大小，此時可以找到一個一一映射函數(shù)g=tan（12－x）π，使得A與R對等，即A==R=，綜上可得A==B==C==R=。

注：對于對等概念的學(xué)習(xí)，不可僅憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行臆斷，需要嚴(yán)格按照一一映射及伯恩斯坦定理的概念進(jìn)行。此例在中學(xué)階段已是常見的集合比較問題，再次列出主要出于知識框架的比較，隨著知識的學(xué)習(xí)，常見的實(shí)例也會出現(xiàn)新的問題，這也是常學(xué)常新的一個例子。

例2?同心圓問題

現(xiàn)在回到問題的初始點(diǎn)，同心圓問題，大圓和小圓可以建立一個一一映射關(guān)系f：（Rsin（θ），Rcos（θ））→（rsin（θ），rcos（θ）），即對于大圓上存在的任意一點(diǎn)（Rsin（θ），Rcos（θ））總是當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)小圓上的一點(diǎn)（rsin（θ），rcos（θ）），故而大圓和小圓對等，有相同的基數(shù)，進(jìn)一步可以推廣到大球和小球的問題，最后歸結(jié)到細(xì)胞和地球的問題，到此也就解決了細(xì)胞和地球的問題。當(dāng)然這樣的對等關(guān)系也可以推廣到其他的應(yīng)用方面，如空間的維度、地圖的繪制等。

注：從實(shí)際問題出發(fā)到提出數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問題，最終又回歸到實(shí)際問題的解決。這也是一種實(shí)際問題和理論問題不同維度的碰撞和比較，總的方向是理論的推動和問題的解決。

4?總結(jié)

如何將理論比較及線上線下教學(xué)法融入“實(shí)變函數(shù)”課堂教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)“實(shí)變函數(shù)”與工程各專業(yè)的融合，強(qiáng)化“實(shí)變函數(shù)”為專業(yè)服務(wù)的工具性作用，這是一個很關(guān)鍵的問題。由于專業(yè)背景的不同，了解不同專業(yè)的知識，需要一個積累的過程，也需要任課教師具有一定的學(xué)習(xí)能力，同時能夠把專業(yè)知識、網(wǎng)路資源、實(shí)際案例融入“實(shí)變函數(shù)”的教學(xué)過程中。另外，實(shí)變函數(shù)知識點(diǎn)比較零散，概念比較多，很難形成一個完整的知識體系，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)比較困難，這就需要進(jìn)一步完善現(xiàn)有的知識體系框架，將不同知識的共同點(diǎn)抽象出來，進(jìn)而連成一條線，形成固定的知識面。當(dāng)然，在這個知識面形成過程中需要不同的實(shí)際案例進(jìn)行支撐，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“實(shí)變函數(shù)”的具體化。

為進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)比較融合的多層次探究理論，綜合“實(shí)變函數(shù)”的課程特點(diǎn)，針對課程理論知識晦澀、內(nèi)容體系與數(shù)學(xué)分析相關(guān)度高及應(yīng)用程度低等問題，提出了教學(xué)實(shí)施方案。方案采用多種課堂對比的形式，通過聯(lián)想對比的方式加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解；從實(shí)際問題出發(fā)，總結(jié)出生活中的數(shù)學(xué)問題，在解決數(shù)學(xué)問題的同時，可以巧妙地使用實(shí)例進(jìn)行簡單說明，為實(shí)際問題的解決提供了理論基礎(chǔ)，從而達(dá)到培養(yǎng)具有分析、評價及質(zhì)疑的能力的創(chuàng)新人才的目的。

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基金項(xiàng)目：河南省高?？萍紕?chuàng)新人才支持計劃（22HA?STIT018）；許昌學(xué)院教研項(xiàng)目（XCU2023YB48，XCU2022YB20，XCU2022KCSZ042）

作者簡介：鄭前前（1988—?），男，漢族，河南周口人，博士，博士后，研究方向：非線性動力學(xué)及控制，線性代數(shù)、實(shí)變函數(shù)與泛函分析教學(xué)教法研究；楊文杰（1984—?），女，漢族，河南許昌人，博士，研究方向：力學(xué)與一般力學(xué)、高等數(shù)學(xué)教學(xué)教法研究。