徐魯兵，廖明夫，呂延軍

（1.西北工業(yè)大學(xué) 動力與能源學(xué)院，西安 710072；2.中國航發(fā)湖南動力機械研究所，湖南株洲 412002；3.西安理工大學(xué) 機械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048）

圓弧端齒（Curvic couplings）是端齒盤的一種特殊結(jié)構(gòu)形式，具有結(jié)構(gòu)緊湊、定心精度高、承載能力強、連接穩(wěn)定性好的優(yōu)點，現(xiàn)在已成為了一種典型的可靠性較高的轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)，被廣泛應(yīng)用于不同種類的高速轉(zhuǎn)子和重載機械設(shè)備的傳動裝置中[1]。同時，圓弧端齒所特有的裝拆方便性、互換性,使得重復(fù)加載和多次拆裝也不影響其原有的定心精度，在航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子部件的連接中也被大量應(yīng)用，特別是基于航空發(fā)動機結(jié)構(gòu)設(shè)計中的“單元體”設(shè)計理念，圓弧端齒結(jié)構(gòu)作為一種典型的轉(zhuǎn)子連接結(jié)構(gòu)，使得單元體設(shè)計的優(yōu)勢更加突出,如RTM322、MTR390、T700、T800 等渦軸發(fā)動機及Trent 系列、EJ200、RB199 和RB211 等航空渦扇發(fā)動機[2-4]均采用圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了單元體設(shè)計，在保證轉(zhuǎn)子定心可靠、連接穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，大大提高了發(fā)動機的裝配性、互換性和外場維護性。

國內(nèi)外學(xué)者在圓弧端齒（端面弧齒）的強度及接觸分析、連接剛度及動力學(xué)、端齒結(jié)構(gòu)設(shè)計及優(yōu)化等方面已進行了不少研究。李業(yè)明等[5-6]研究了大功率機車用圓弧端齒應(yīng)力分布規(guī)律和參數(shù)優(yōu)化。袁淑霞等[7-9]建立了帶有周向拉桿螺栓的重型燃氣輪機轉(zhuǎn)子失諧剛度模型，研究了拉桿失諧對轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性及端面弧齒應(yīng)力分布的影響，其中考慮了拉桿螺栓和螺栓孔側(cè)壁的動態(tài)接觸以及摩擦力和接觸等非線性因素的影響。在端齒強度及接觸分析方面，Richardson 等[10-11]進行了圓弧端齒結(jié)構(gòu)的三維有限元接觸分析，并對圓弧端齒等效模型進行了光彈測試實驗，計算分析的齒根處應(yīng)力分布趨勢與光彈測試結(jié)果吻合較好。Jiang 等[12]基于接觸力學(xué)和摩擦磨損理論研究了一對端齒的接觸應(yīng)力分布，提出將平面的齒面改為弧形凸起齒面可在一定程度上改善齒面應(yīng)力分布。李浦等[13]采用平面沖壓模型對重型燃氣輪機輪盤端面齒進行了三維端齒接觸應(yīng)力分析，初步驗證了平面沖壓模型的正確性。沈洋與曹鵬[14]針對渦軸發(fā)動機壓氣機連接端齒進行了不同設(shè)計參數(shù)對端齒接觸狀態(tài)的影響分析，認(rèn)為轉(zhuǎn)速是引起端齒連接結(jié)構(gòu)接觸狀態(tài)變化的主要原因，而軸向壓緊力直接影響接觸應(yīng)力和滑移距離，這會加劇齒面的接觸損傷。另外，圓弧端齒也會對轉(zhuǎn)子連接的剛度產(chǎn)生弱化作用，進而影響轉(zhuǎn)子動力特性。Yu 等[15]研究指出由于接觸角和表面粗糙度的影響，圓弧端齒的確會減小連接剛度，且粗糙表面對剛度損失的影響最大。Liu 等[16-17]研究了不同載荷條件下圓弧端齒對連接剛度的弱化影響，表明壓力角是引起端齒剛度弱化的主因，且對壓縮剛度和彎曲剛度的影響更敏感。文獻[18-19]在獲得端齒連接剛度時考慮了齒面粗糙度的影響，提出了可表征接觸效應(yīng)影響的端齒連接結(jié)構(gòu)剛度等效方法，進而研究了不同預(yù)緊力作用下的轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性規(guī)律。而在圓弧端齒結(jié)構(gòu)設(shè)計及優(yōu)化方面，業(yè)界學(xué)者主要是針對細節(jié)結(jié)構(gòu)進行應(yīng)力優(yōu)化以提高端齒疲勞壽命，Muju 和Sandoval[20]申請了一項美國專利，提出了圓弧端齒根部的雙段圓弧復(fù)合倒圓結(jié)構(gòu)以減小齒根應(yīng)力和提高疲勞壽命。Pisani 和Rencis[21]采用二維、三維有限元分析方法得到了壓氣機部件圓弧端齒的應(yīng)力集中系數(shù)，僅針對一個齒在離心力下的受力情況進行分析，未對端齒進行接觸分析和優(yōu)化設(shè)計。黃發(fā)和李愛民[22-25]等針對航空發(fā)動機壓氣機轉(zhuǎn)子提出了圓弧端齒結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-遺傳算法對圓弧端齒齒根雙圓弧結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計，減小了齒根應(yīng)力，改善了齒根應(yīng)力分布，并進行了端齒微動疲勞壽命預(yù)測及模擬件壽命試驗研究。

在航空發(fā)動機的實際工程應(yīng)用中，圓弧端齒用于轉(zhuǎn)子連接通常有兩種方式：圓弧端齒+單個拉桿、圓弧端齒+多個拉緊螺栓。相比其他的如法蘭止口+螺栓的轉(zhuǎn)子連接方式，圓弧端齒連接不必設(shè)計像止口那樣的過盈配合，而且裝配分解時不需要對零件過盈部位進行加熱或冷卻，也無需專用的裝配、拔卸工裝，更有利于實現(xiàn)單元體設(shè)計和外場更換維護。然而，當(dāng)采用多個拉緊螺栓對圓弧端齒施加預(yù)緊力時，螺栓孔必然會破壞圓弧端齒齒形結(jié)構(gòu)的完整性，使得接觸區(qū)域受力情況變得更加復(fù)雜，其強度和壽命安全裕度有所降低。

國內(nèi)外學(xué)者主要關(guān)注于完整齒形結(jié)構(gòu)圓弧端齒的強度、接觸特性和連接剛度等方面研究，而對螺栓孔破壞端齒結(jié)構(gòu)完整性這一問題研究的較少。本文以某渦軸發(fā)動機動力渦輪轉(zhuǎn)子盤軸連接采用的拉緊螺栓預(yù)緊的圓弧端齒連接結(jié)構(gòu)為研究對象，建立參數(shù)化模型，對其進行有限元靜強度分析，并研究了螺栓孔徑向位置以及外徑等參數(shù)變化對圓弧端齒結(jié)構(gòu)應(yīng)力的影響，確定了設(shè)計變量的取值范圍，以外徑和齒寬兩個關(guān)鍵參數(shù)為設(shè)計變量，對圓弧端齒進行了結(jié)構(gòu)強度優(yōu)化設(shè)計，并分析了優(yōu)化前后各個應(yīng)力參數(shù)的變化情況。

1 模型建立

1.1 計算模型

本文研究的某動力渦輪轉(zhuǎn)子盤軸連接及圓弧端齒的幾何模型如圖1 所示，載荷及部分結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。模型中將葉片的離心載荷等效施加到渦輪盤輪緣上。轉(zhuǎn)子采用周期對稱性模型；為了模擬螺栓預(yù)緊力，建立等效螺栓部件（圖2），通過預(yù)緊力單元實現(xiàn)預(yù)緊力加載。

表1 動力渦輪轉(zhuǎn)子設(shè)計參數(shù)

圖1 動力渦輪轉(zhuǎn)子及軸端圓弧端齒的三維模型

圖2 動力渦輪轉(zhuǎn)子及軸端圓弧端齒的有限元模型

以有限元分析軟件ANSYS 軟件為平臺，采用三維接觸分析方法，對凹齒和凸齒在裝配工作狀態(tài)下的受力情況進行分析。有限元網(wǎng)格采用三維高階20 節(jié)點6 面體實體單元Solid186 進行劃分，此單元適用性強，對于復(fù)雜構(gòu)件的網(wǎng)格離散，可以退化為四面體單元。對于圓弧端齒結(jié)構(gòu)，為了在端齒部分得到較為精確的結(jié)果，對端齒部分采用較為精細的網(wǎng)格，對輪盤部分采用較為稀疏的六面體掃略網(wǎng)格，有限元網(wǎng)格如圖2a）所示。同時，為了保證端齒接觸面的計算精度和可靠性，對端齒接觸面區(qū)域進行網(wǎng)格局部加密，如圖2b）所示，對接觸面采用contact174 和target170 單元建立接觸對，模擬裝配之后端齒的工作狀態(tài)。最終劃分單元120388 個，節(jié)點189787 個。

1.2 邊界條件設(shè)置

對1/10 模型的扇形邊界施加循環(huán)對稱約束，保證扇形邊界高低面的位移協(xié)調(diào)；對轉(zhuǎn)子軸段上的軸承配合面施加軸向、周向和徑向約束，模擬軸承約束；凹齒與凸齒通過施加接觸對保證連接，其中接觸對使用標(biāo)準(zhǔn)摩擦接觸，接觸摩擦因數(shù)設(shè)置為0.2，采用增廣拉格朗日接觸算法求解；螺栓與輪盤、螺栓與軸的連接通過創(chuàng)建綁定接觸實現(xiàn)，模擬螺栓施加預(yù)緊力之后始終與軸和輪盤緊密連接并傳遞軸向力；采用預(yù)緊力單元法施加螺栓預(yù)緊力，對等效螺栓建立預(yù)緊力單元（prets179 單元）；建立主節(jié)點，與轉(zhuǎn)子右側(cè)輪轂的右端面進行節(jié)點自由度耦合，氣動軸向力和扭矩均施加在耦合主節(jié)點上；離心載荷以轉(zhuǎn)速的形式施加，溫度載荷按均溫考慮。

2 優(yōu)化設(shè)計方法

2.1 優(yōu)化問題描述

本文從圓弧端齒結(jié)構(gòu)設(shè)計的角度，選取外徑D0和齒寬B兩個參數(shù)為優(yōu)化設(shè)計變量，以全局最大等效應(yīng)力值為優(yōu)化目標(biāo)，以最大徑向應(yīng)力、最大周向應(yīng)力、接觸面平均擠壓應(yīng)力、接觸面平均剪切應(yīng)力為應(yīng)力約束條件，采用ANSYS 優(yōu)化模塊的零階方法的子問題法進行全局尋優(yōu)。優(yōu)化計算時設(shè)計變量、狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)容限的選擇策略為：遵循先選較大的容限確定最優(yōu)解的范圍，再選較小的容限獲得精確值，既可以保證尋優(yōu)的精度，又可以避免陷入局部最優(yōu)點。

結(jié)合圓弧端齒設(shè)計文獻[1]中的準(zhǔn)則和斯貝MK202 發(fā)動機應(yīng)力標(biāo)準(zhǔn)[26]，得到本文優(yōu)化問題的約束條件為：1）圓弧端齒結(jié)構(gòu)的最大徑向應(yīng)力不超過屈服極限σ0.2的75%；2）圓弧端齒結(jié)構(gòu)的最大周向應(yīng)力不超過屈服極限σ0.2的95%；3）圓弧端齒接觸面平均擠壓應(yīng)力不超過極限強度 σb的25%；4）圓弧端齒接觸面平均剪切應(yīng)力不超過極限強度 σb的20%；

根據(jù)工程常用的5%的設(shè)計變量取值范圍，確定外徑D0的變化范圍在93～ 103 mm 之間；圓弧端齒的齒寬B不能設(shè)計的過小或過大，過小的齒寬會導(dǎo)致接觸面過小而承載能力變?nèi)?，而齒寬過大會引起齒面磨削加工時在內(nèi)徑齒根過渡處過切削或外徑處欠切削。所以綜合考慮本文研究對象的結(jié)構(gòu)幾何尺寸和加工工藝性，確定的齒寬B的變化范圍在15～18 mm 之間。

由以上分析，可以得到圓弧端齒結(jié)構(gòu)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為

式中：σeqv,max為最大等效應(yīng)力；外徑D0和齒寬B為設(shè)計變量；狀態(tài)變量 σj為應(yīng)力約束條件的4 個應(yīng)力分量，即σrmax為最大徑向應(yīng)力，σθmax為最大周向應(yīng)力，σcont,avg為接觸面平均擠壓應(yīng)力，στ,avg為接觸面平均剪切應(yīng)力；為對應(yīng)的許用應(yīng)力值。

2.2 優(yōu)化結(jié)果與分析

求解分為多載荷步加載，其中第一步施加所有邊界條件，而載荷僅施加螺栓軸向預(yù)緊力，模擬圓弧端齒在非工作狀態(tài)下的靜止裝配狀態(tài)，第二步在第一步的軸向預(yù)緊力的基礎(chǔ)上，將轉(zhuǎn)速、扭矩、氣動軸向力和溫度載荷全部施加，模擬圓弧端齒工作狀態(tài)下的受力狀態(tài)。

以最大等效應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化前、后圓弧端齒的齒形參數(shù)見表2，優(yōu)化目標(biāo)和設(shè)計變量、狀態(tài)變量的優(yōu)化迭代過程見圖3～ 圖6。

表2 優(yōu)化前、后的圓弧端齒齒形參數(shù)

圖3 設(shè)計變量齒寬B 值的優(yōu)化迭代過程

圖4 設(shè)計變量外徑D0 的優(yōu)化迭代過程

圖5 優(yōu)化目標(biāo)的收斂情況

圖6 歸一化狀態(tài)變量的優(yōu)化迭代過程

由圖3～ 圖6 優(yōu)化迭代過程曲線可知，最大等效應(yīng)力經(jīng)過15 次左右迭代就逐漸收斂于最小值，外徑D0基本收斂于97.18 mm，而齒寬B基本收斂于16.47 mm。圖6 中的歸一化狀態(tài)變量，為4 個狀態(tài)變量與其許用應(yīng)力的比值關(guān)系，由圖可知，最大徑向應(yīng)力、最大周向應(yīng)力、接觸面平均擠壓應(yīng)力、平均剪切應(yīng)力四個歸一化狀態(tài)變量均落在0～ 1 之間，說明這4 個參數(shù)在優(yōu)化迭代過程中，均能很好滿足約束條件的要求。

優(yōu)化前、后的有限元分析的應(yīng)力結(jié)果見表3，應(yīng)力分布圖如圖7 與 圖8 所示。

表3 優(yōu)化前、后的圓弧端齒有限元應(yīng)力結(jié)果

圖7 動力渦輪轉(zhuǎn)子的變形分布圖

圖8 動力渦輪轉(zhuǎn)子的全局等效應(yīng)力分布圖

從圖7 可以看出，動力渦輪轉(zhuǎn)子的全局變形量發(fā)生于輪盤輪緣，主要由離心力和裝配預(yù)緊力引起，但優(yōu)化前后的最大變形量基本一致，約為0.243 mm。優(yōu)化前后的動力渦輪轉(zhuǎn)子全局等效應(yīng)力分布也基本一致（見圖8），最大等效應(yīng)力位置也沒有發(fā)生變化，均在圓弧端齒連接部位。這表明本次優(yōu)化設(shè)計沒有對除圓弧端齒之外的其他轉(zhuǎn)子部位產(chǎn)生影響，尤其是沒有影響轉(zhuǎn)子的整體變形和整體應(yīng)力分布。

對比圖9～ 圖14 的等效應(yīng)力、徑向應(yīng)力、周向應(yīng)力可知，無論是凹齒還是凸齒，由于開有螺栓孔，減少了凸齒和凹齒的部分齒形，在齒根過渡圓弧與螺栓孔邊界的應(yīng)力均較大，可見螺栓孔對圓弧端齒結(jié)構(gòu)的完整性產(chǎn)生了一定削弱作用，造成了局部應(yīng)力集中。對于凹齒而言，螺栓孔對齒形中部側(cè)邊產(chǎn)生了較少削弱，主要是對端齒底部基體產(chǎn)生了較大削弱作用；而對于凸齒，螺栓孔對整個齒形中部都有較大的削弱作用，對端齒底部的基體卻削弱較少。因此，在圓弧端齒的凹齒和凸齒嚙合承受工作載荷時，螺栓孔對圓弧端齒齒底的強度削弱影響要比對齒本身的大。

圖9 優(yōu)化前、后的凹齒圓弧端齒等效應(yīng)力分布圖

圖10 優(yōu)化前、后的凸齒圓弧端齒等效應(yīng)力分布圖

圖11 優(yōu)化前、后的凹齒圓弧端齒徑向應(yīng)力分布圖

圖12 優(yōu)化前、后的凸齒圓弧端齒徑向應(yīng)力分布圖

圖13 優(yōu)化前、后的凹齒圓弧端齒周向應(yīng)力分布圖

圖14 優(yōu)化前、后的凸齒圓弧端齒周向應(yīng)力分布圖

另外，在初始模型中，螺栓中心孔位置Dc比端齒的節(jié)圓直徑Dm小2 mm，螺栓孔位置靠近內(nèi)徑，使得靠近內(nèi)徑側(cè)接觸部位的承力面積小于外徑側(cè)，因此圓弧端齒的等效應(yīng)力峰值靠近內(nèi)徑側(cè)。優(yōu)化后，螺栓孔分布位置與端齒節(jié)圓直徑更趨接近，使得端齒靠近內(nèi)徑側(cè)與外徑側(cè)的接觸部位的承力面積比例更加匹配，因此改善了靠近內(nèi)徑側(cè)的應(yīng)力峰值，其齒根的應(yīng)力分布也得到了改善。對于凹齒圓弧端齒，優(yōu)化后的等效應(yīng)力峰值由優(yōu)化前的956 MPa 降低為869 MPa，降低了9.1%；周向應(yīng)力分量所占比重最高，與等效應(yīng)力分布趨勢總體上一致，最大值均發(fā)生于齒根過渡圓弧處，并且靠近螺栓孔，其應(yīng)力峰值均低于材料的屈服極限；最大周向應(yīng)力由優(yōu)化前的990.8 MPa 降低到870.7 MPa，降低了12.1%；接觸面最大接觸應(yīng)力由優(yōu)化前的829.4 MPa 降低到459.3 MPa，降低了44.6%，但平均擠壓應(yīng)力和平均剪切應(yīng)力有所增加，分別由203.4 MPa 增加到225.6 MPa、101.4 MPa 增加到111.3 MPa，增加幅度不明顯（約10%）。這是由于優(yōu)化后的外徑尺寸變小，齒寬也有所降低，接觸面積的降低導(dǎo)致接觸平均擠壓應(yīng)力和平均剪切應(yīng)力有所增加，但均在設(shè)計約束條件的范圍之內(nèi)，均能滿足要求。

從圖15 的接觸狀態(tài)分布圖可知，接觸面大部分處于相對滑移區(qū)域，在非螺栓孔的最大接觸應(yīng)力附近出現(xiàn)局部粘著區(qū)域。由圖16 和圖17 接觸面情況可以看出，最大接觸應(yīng)力發(fā)生在接觸面邊緣，靠近內(nèi)徑的位置。對于滑移量大小，最大值發(fā)生在螺栓孔附近，有26.5 μm 的滑動，整體上看，螺栓孔附近的接觸面區(qū)域滑移量偏大，這是由于螺栓孔對接觸面整體剛性的削弱，導(dǎo)致螺栓孔周圍接觸區(qū)域變形變大，滑移量明顯比非螺栓孔接觸面大。

圖15 端齒（凹齒）接觸面接觸狀態(tài)分布圖

圖16 優(yōu)化前、后的端齒（凹齒）接觸面接觸壓力分布圖

圖17 優(yōu)化前、后的端齒（凹齒）接觸表面滑移分布圖

3 結(jié)論

1）對于拉緊螺栓連接的圓弧端齒結(jié)構(gòu)，螺栓孔的開設(shè)會對圓弧端齒結(jié)構(gòu)的完整性產(chǎn)生了削弱作用，且螺栓孔對圓弧端齒齒底強度的削弱影響要比對凹（凸）齒本身的大；螺栓孔的徑向分布位置對圓弧端齒的應(yīng)力也有一定影響，將螺栓孔徑向分布在圓弧端齒節(jié)圓直徑附近對降低應(yīng)力和改善應(yīng)力分布狀態(tài)均有利。

2）本文原始方案的圓弧端齒結(jié)構(gòu)能夠滿足靜強度要求，也基本能滿足壽命要求，但在齒根過渡圓弧與螺栓孔邊界的應(yīng)力均較大，存在一定的應(yīng)力集中，使得設(shè)計壽命裕度不大。

3）以外徑和齒寬為設(shè)計變量，對圓弧端齒進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計結(jié)果表明，在原始方案結(jié)構(gòu)尺寸的基礎(chǔ)上，適當(dāng)調(diào)整外徑和齒寬，端齒的最大等效應(yīng)力降低了9.1%，端齒工作面最大接觸應(yīng)力降低了44.6%，提高了設(shè)計壽命。