關(guān)于三點(diǎn)共線向量式的教學(xué)與解題探討

王加成

(陜西省白河高級(jí)中學(xué),陜西 安康 725801)

高考中,通過(guò)考查向量間的相互表示可考查學(xué)生對(duì)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的掌握情況,亦可考查學(xué)生對(duì)平面向量基本定理、共線向量定理的理解程度.此時(shí),緊抓基底能解決相關(guān)的問(wèn)題,但遇到三點(diǎn)共線向量時(shí),使用三點(diǎn)共線向量式解題會(huì)更為簡(jiǎn)便.

在人民教育出版社A版2019年6月第1版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教課書26頁(yè)中有如下一道例題:

圖1 三點(diǎn)共線圖

筆者看到本題,很是熟悉,與北京師范大學(xué)出版社2014年7月第8版數(shù)學(xué)必修四第84頁(yè)例3屬于同一道題(僅僅字母變了,題意一樣,結(jié)論一樣).旁注里寫到:“例3給出了判斷三個(gè)點(diǎn)共線的一個(gè)方法”.

在人民教育出版社B版2020年7月第一版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教課書第155頁(yè)也有一道相似的例題.

在不同版本的新老教材中均出現(xiàn)此題目,筆者認(rèn)為此題想說(shuō)明以下兩個(gè)道理.

道理1從直線外一點(diǎn)指向同一條直線上不同三點(diǎn)的三個(gè)向量,可用任意兩個(gè)向量線性表示另一向量,且系數(shù)之和為1.

道理2若三個(gè)向量共起點(diǎn),一個(gè)向量可用其余兩個(gè)向量線性表示,且系數(shù)之和為1,則這三個(gè)向量的終點(diǎn)共線.

但是教材上給的題目較為抽象,如何讓學(xué)生體會(huì)到編者的用意?成為了教學(xué)中要考慮的一個(gè)問(wèn)題.為此,筆者學(xué)習(xí)了參考文獻(xiàn)[1],文中探尋了教材根源,對(duì)三點(diǎn)共線向量式有所拓展,并通過(guò)舉例說(shuō)明了拓展的應(yīng)用,文獻(xiàn)[2]闡述了利用線段定比分點(diǎn)解決三點(diǎn)共線問(wèn)題,并通過(guò)例題說(shuō)明相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用.兩文均未提及教材中的該例題,也未提及學(xué)生如何理解熟記該公式,亦未提如何經(jīng)濟(jì)實(shí)惠使用該公式.由此,筆者對(duì)本題產(chǎn)生了以下疑惑與思考,不妥之處,敬請(qǐng)各位老師和讀者朋友斧正[1][2].

筆者認(rèn)為在講解本題之前,讓學(xué)生探究以下三個(gè)問(wèn)題,會(huì)更利于理解上述例題的含義,更容易明白例題所想表明的道理.

圖2 問(wèn)題1圖

圖3 問(wèn)題1解法2圖

通過(guò)問(wèn)題1、問(wèn)題2、問(wèn)題3的探究,學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)道理1,那么這個(gè)道理是必然還是偶然?我們?cè)賹?wèn)題抽象,即自然生成課本上的例題.此時(shí),學(xué)生就能用問(wèn)題1中的“解法1”來(lái)求解課本上例題,從而發(fā)現(xiàn)道理1是正確的.學(xué)生能否利用“解法2”來(lái)構(gòu)造出相應(yīng)的平行四邊形呢?筆者認(rèn)為對(duì)大部分學(xué)生而言依然有難度,仍需教師的鼓勵(lì)指點(diǎn)(如圖4).但是此時(shí)的學(xué)生已理解課本上例題想說(shuō)明的兩個(gè)道理,也更會(huì)使用相關(guān)的結(jié)論.

圖4 道理2解釋圖

學(xué)生可利用向量的相互表示及共線向量判定定理證明如下:

由此,可以說(shuō)明道理2也正確.

圖5 人教A版39頁(yè)練習(xí)3

解得m+n=2.

因?yàn)镹,O,M三點(diǎn)共線,

消λ并化簡(jiǎn),得m+n=2.

A.3m-2nB.-2m+3n

C.3m+2nD.2m+3n

解析如圖6,因?yàn)锽D=2DA,

圖6 2022年新高考Ⅰ卷第3題圖

故選B.

三點(diǎn)共線向量式雖由向量共線定理衍生,但在解決共線問(wèn)題更有優(yōu)勢(shì),其本質(zhì)是線段的定比分點(diǎn)問(wèn)題.我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)讓學(xué)生從特殊到一般,逐步發(fā)現(xiàn)、體會(huì)三點(diǎn)共線的向量式會(huì)更利于學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí),通過(guò)有梯度的少數(shù)例題即可能達(dá)到熟練運(yùn)用,從而擺脫題海.