分析思路起點 點亮幾何明燈
——以一次單元評價測試試題為例

桂小兵

(合肥八中教育集團銘傳高級中學(xué),安徽 合肥 231200)

在一次單元評價測試中有兩個題目,學(xué)生的思路多樣.有的可以捕捉到初中平面幾何解法的影子,有的是利用高中階段所學(xué)向量、函數(shù)知識來解決問題,對比這些思路和解法,筆者認(rèn)為初、高中思維的出發(fā)點有些不同,基于這點,在試題評析過程中,通過變式、設(shè)問、對比,幫助學(xué)生體會不同解法的優(yōu)勢與弊端,更加透徹地理解此類問題求解方法的本質(zhì),逐步滲透高中階段所需具備的向量的基底思想、函數(shù)思想,實現(xiàn)思維素養(yǎng)的提升.

圖1 試題1圖 圖2 試題1解析圖

學(xué)生將思路1略作修改,得出方案1,如圖3,輔助線作法同思路1.

圖3 追問1圖

在△ACM中利用余弦定理求解CM,在△ACM中利用等面積法求解AQ,再利用CM上點P位置求解PQ,最后在Rt△APQ中利用勾股定理求解AP.

(也有一部分同學(xué)給出不求AQ的算法:△ACM中利用余弦定理求解∠ACM,再利用余弦定理求解AP,但運算量較大.)

圖4 追問2圖

學(xué)生在方案1的基礎(chǔ)上,給出方案2:

由于△ABC的形狀發(fā)生了改變,但相似比未變,所以點P在MC上的相對位置沒有變化.可以先在△ABC中求解∠A的三角函數(shù)值,后續(xù)思路同思路1,但是學(xué)生都給出一個感受,解題中出現(xiàn)了紛繁錯雜的解三角形,邊角求解交替,讓運算過程越來越臃腫,運算量較大.

追問3這種基底思路能否解決前面的追問1和追問2呢?

對于追問1,學(xué)生在思路2的基礎(chǔ)上,給出方案3:

對于追問2,學(xué)生在方案3的基礎(chǔ)上,給出方案4:

圖5 試題2圖

(1)用α表示OA和OB;

(2)求△AOB面積S的最大值.

學(xué)生思路1在閱卷時發(fā)現(xiàn)有學(xué)生沒有解第一問,而是直接求解了第二問.

圖6 試題2解析圖

又PA+PB=2m+2n=10,所以m+n=5.

S是關(guān)于OA的一個一元二次函數(shù),可求最值.

學(xué)生思路2用角度α,結(jié)合正、余弦定理表示其他角度、邊元素.

又AP+BP=(1+tanα)·BP=10,

追問線段OP的最小值能否求解?

學(xué)生在思路1基礎(chǔ)上,給出方案:

學(xué)生在思路2基礎(chǔ)上,給出方案: