付增民

(永康市第一中學(xué),浙江 永康 321300)

三點共線問題是數(shù)學(xué)中的重要題型之一,而圓錐曲線中的三點共線問題則是高考及各地模擬考試考查的重點,如2021年新高考Ⅱ卷的第20題考查的就是以橢圓為載體的三點共線充要條件的證明[1].

1 考題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程;

2 考題解析

解析(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c(0

解得a2=3,b2=1.

(2)從充分性和必要性兩個方面進行證明.

必要性:若M,O,N三點共線,不妨設(shè)A(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1).

又因為A(x0,y0),M(x1,y1)都在橢圓C上,

①

②

①②兩式相減,得

充分性:設(shè)A(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),則

①

②

①②兩式相減,得

所以A(x0,y0),M′(-x1,-y1),N(x2,y2)三點共線.

又因為點M′(-x1,-y1)在橢圓上,所以點M′(-x1,-y1)與點N(x2,y2)重合,顯然點M(x1,y1)與點M′(-x1,-y1)關(guān)于原點O對稱,

所以弦MN過原點O,即M,O,N三點共線.充分性得證.

點評該聯(lián)考試題題意簡明,解答思路清晰,主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查分析問題和解決問題的能力.(1)根據(jù)題意,利用待定系數(shù)法求得橢圓的方程;(2)從充分性和必要性兩個方面,運用“設(shè)而不求”“點差法”和“對稱性”等手段,利用斜率關(guān)系進行證明,體現(xiàn)解析幾何問題的本質(zhì)就是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,通過代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì),圖形問題代數(shù)化是解析幾何的本質(zhì).

3 考題溯源

(1)求橢圓C的方程;

點評上面聯(lián)考題與該高考題本質(zhì)上可謂如出一轍,第(1)小題所求橢圓方程相同,第(2)小題的設(shè)問形式和背景一致.這就啟示我們在高考復(fù)習(xí)教與學(xué)的過程中重視“回歸”,即回歸到對往年高考真題的深層次挖掘和研究,并將這樣的“回歸”貫穿復(fù)習(xí)備考的始終.

4 考題變式

若將上述聯(lián)考題第(2)小題證明的充要條件分別按充分條件和必要條件來命題,可有下面的兩個變式.

(1)求橢圓C的方程;

(1)求橢圓C的方程;

若將上述聯(lián)考題中的橢圓類比到雙曲線,則有:

(1)求雙曲線C的方程;

解析(1)設(shè)C的焦距為2c(0

解得a2=3,b2=1.

(2)從充分性和必要性兩個方面進行證明.

必要性:若M,O,N三點共線,不妨設(shè)A(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1).

又因為A(x0,y0),M(x1,y1)都在雙曲線C上,

③

④

③④兩式相減,得

充分性:設(shè)A(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),

③

④

③④兩式相減,得

所以A(x0,y0),M′(-x1,-y1),N(x2,y2)三點共線.

又因為點M′(-x1,-y1)在雙曲線上,所以點M′(-x1,-y1)與點N(x2,y2)重合,顯然點M(x1,y1)與點M′(-x1,-y1)關(guān)于原點O對稱,

所以弦MN過原點O,即M,O,N三點共線.充分性得證.

同橢圓一樣,若將變式3第(2)小題證明的充要條件分別按充分條件和必要條件來命題,可有下面的兩個變式.

(1)求雙曲線C的方程;

(1)求雙曲線C的方程;

5 推廣延伸

我們能否將上述聯(lián)考題及與雙曲線的類比變式題推廣、延伸到有心圓錐曲線的一般情形呢?回答是肯定的!現(xiàn)延伸到橢圓和雙曲線的一般情形,推廣得到一般性命題.

類比橢圓的結(jié)論可以得到雙曲線的相應(yīng)結(jié)論.

兩個命題的證明可以按照上述聯(lián)考題及與雙曲線的類比題的證明過程分別進行,這里從略,有興趣的讀者不妨自行完成.

許多典型的數(shù)學(xué)問題,其中蘊含的背景或規(guī)律需要挖掘或推廣延伸,因而我們平時的解題:一是要重視問題的變式,通過變式去從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”中探求規(guī)律;二是適宜地將問題推廣延伸為一般性的結(jié)論用于解決相關(guān)問題.唯有如此,才能逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì),提高其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識,從而真正把對能力的培養(yǎng)落到實處.