溫忠麟 王一帆 杜銘詩 俞雅慧 張愉蕙 金童林

二階潛增長模型標度方法及其可比的一階潛增長模型*

溫忠麟1王一帆1杜銘詩1俞雅慧1張愉蕙1金童林2

(1華南師范大學心理應(yīng)用研究中心/心理學院, 廣州 510631) (2內(nèi)蒙古師范大學心理學院, 呼和浩特 010022)

潛增長模型(LGM)是分析縱向數(shù)據(jù)的一種強有力工具, 在心理學和其他社會科學研究領(lǐng)域受到重視。多指標測量的變量, 既可以用合成分數(shù)建立單變量LGM(一階LGM), 也可以用指標建立潛變量LGM(二階LGM)。簡述了二階LGM標度方法(包括尺度指標法和效應(yīng)編碼), 提出了有可操作性的潛變量標準化標度方法和合成分數(shù)的一階LGM標準化模型。系統(tǒng)總結(jié)了二階LGM標度方法及其可比的一階LGM建模, 并用多指標變量的實測數(shù)據(jù)進行示例。推薦使用效應(yīng)編碼法對二階LGM進行標度和標準化。

潛增長模型, 合成分數(shù), 標度方法, 尺度指標, 效應(yīng)編碼, 潛變量標準化

為了模型識別(identification), 驗證性因子分析(CFA)的一項基礎(chǔ)工作是因子標度(scaling), 即為因子設(shè)定測量單位和測量原點(侯杰泰等, 2004)。先說設(shè)定測量單位, 通常的標度方法(scaling method, 也稱為識別方法)是使用固定負荷法或者固定方差法指定測量單位。固定負荷法是對每個因子, 都將其中一個指標的負荷(loading)固定為一個常數(shù), 相應(yīng)的指標稱為尺度指標(scaled-indicator或者mar-ker-variable)。最方便的是固定負荷為1, 此時因子的測量單位與尺度指標的測量單位相同; 固定方差法是將每個因子的方差固定為一個常數(shù), 最方便的是固定方差為1。再說設(shè)定測量原點, 對于無均值結(jié)構(gòu)的模型, 其實是將因子均值和指標的截距(intercept)都固定為0; 對于有均值結(jié)構(gòu)的模型(Mplus軟件默認),有兩種標度方法：一種是將因子的均值固定為0, 另一種是將尺度指標的截距固定為0。

潛增長模型(latent growth model, LGM)是分析縱向數(shù)據(jù)的一種強有力工具, 在心理學和其他社會科學研究領(lǐng)域受到重視(例如, Jeon & Kim, 2021; Yang et al., 2021; 也見本文討論部分)。LGM是一種特殊的因子模型, 它的標度方法有什么特殊性？用潛變量(latent variable)建立的LGM應(yīng)當如何標度, 才能與用顯變量建立的LGM有可比性？這些是本文要研究的主要問題。本文先介紹單變量LGM (一階LGM)和潛變量LGM (二階LGM); 然后簡述二階LGM標度方法, 提出有可操作性的潛變量標準化標度方法, 并在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)總結(jié)二階LGM標度方法及其可比的一階LGM建模; 接著使用一個多指標變量的實測數(shù)據(jù), 對所論的標度方法建模并比較一階和二階LGM的參數(shù)估計結(jié)果; 最后對二階LGM標度和模型標準化方法做出推薦。

1 潛增長模型

1.1 單變量潛增長模型

雖然有一些文獻從潛在狀態(tài)?特質(zhì)理論(latent state-trait theory)出發(fā)導(dǎo)出LGM方程(例如, Mayer et al., 2012; Geiser et al., 2013), 但更直接、更容易理解的還是從時間為自變量的普通回歸方程導(dǎo)出(例見：李麗霞等, 2012)。

每個被試都有相應(yīng)的α和β, 但不能直接觀測得到, 屬于潛變量(即因子)。熟悉因子分析的讀者, 不難將方程(1)理解為有兩個因子(和, 分別稱為截距因子和斜率因子)、個指標(1,2, …,X)的測量方程。為了簡便起見, 下面以= 4為例, 測量方程如下(按通常因子模型的寫法忽略被試下標)：

圖1 一階LGM的例子

注：三角形出發(fā)的路徑系數(shù)是與均值結(jié)構(gòu)有關(guān)的參數(shù)。

方程(2)兩邊求均值

求解方程組(8)～(10)得到

雖然本節(jié)討論的是測量間隔相等的線性增長模型, 但不難推廣到一般的情形。當隨時間變化是非線性增長時, 可以在回歸方程中增加(? 1)的二次甚至更高次的項, 變成多項式回歸, 但多項式的次數(shù)必須少于追蹤測量次數(shù)。例如, 模型包含二次增長, 則相應(yīng)的LGM在截距、斜率(一次)因子之外, 需要增加一個二次因子, 相應(yīng)地, 負荷矩陣增加一列, 由(? 1)的平方產(chǎn)生, 依次為0, 1, 4, 9。包含更高次多項式的LGM依次類推。當時間間隔不相等時, 將第一個間隔設(shè)定為1, 后面的間隔根據(jù)其與第一個間隔的長短比例進行調(diào)整,可能不是整數(shù)。例如, 4個測量時間點的間隔依次為2個月、3個月、2個月, 則1, 2, 3.5, 4.5, 即增加1表示間隔2個月。

1.2 二階潛增長模型

在心理、行為、管理、教育等研究領(lǐng)域, 變量往往不是顯變量, 而是需要一組題目去間接測量的潛變量(記為η)。這時既可以使用題目的合成分數(shù)(composite score)去建立單變量LGM, 也可以使用潛變量(以題目為指標)去建立二階LGM (second-order latent growth model)。

直接使用(題目)指標建立潛變量測量模型, 然后使用每個時間點的潛變量(也就是通常CFA中的因子)建立LGM, 就得到McArdle (1988)所說的因子曲線模型(the curve-of-factors model)。這種二階LGM, 其實是一種特殊的二階因子模型, 其中一階因子是一組題目測量的潛變量, 二階因子才是截距因子和斜率因子。

二階LGM中的二階因子測量方程為

圖2 二階LGM的例子

注：三角形出發(fā)的路徑系數(shù)是與均值結(jié)構(gòu)有關(guān)的參數(shù)。假設(shè)縱向測量強不變性成立, 即指標負荷和截距不隨時間變化。

由(17)和(18)可知, 與方程(6)和(7)相應(yīng)的是

2 二階潛增長模型的標度方法

二階LGM的一階因子(即潛變量)和二階因子(即截距因子和斜率因子)都需要標度。二階因子的標度方法和單變量LGM的一樣, 這里重點討論二階LGM的一階因子的標度方法。Yang等人(2021)介紹了三種標度方法, 包括尺度指標法、效應(yīng)編碼法和潛變量標準化法。無論哪種方法, 都有一個等式限制負荷(設(shè)定潛變量測量單位)、一個等式限制截距(設(shè)定潛變量測量原點)。下面我們重新演繹, 簡化了很多。尤其是對原來缺乏可操作性的潛變量標準化法, 提出了簡單而有可操作性的新方法。

2.1 尺度指標法

再由方程(6’)、(7’)結(jié)合(21)可得

后面介紹的兩種潛變量標度方法得到的自由度與尺度指標法得到的一樣。如果所寫的程序運行結(jié)果得到的自由度與理論計算的不同, 說明程序沒有寫對, 很多時候都是潛變量標度有誤。但要注意, 如果不是線性LGM, 需要估計的參數(shù)一般會更多, 自由度計算公式需要相應(yīng)改變。

2.2 效應(yīng)編碼法

效應(yīng)編碼法(effect-coding method)是將各時間點的一階因子測量方程的全部截距之和限制為0, 同時將全部負荷之和限制為一個常數(shù)(Little et al., 2006; Yang et al., 2021), 下面討論文獻上最常見的兩種做法。

由方程(14)～(16)可知, 對任一時間點, 3個指標之和為

再由方程(6’)、(7’)結(jié)合(26)可得

方程(27)、(28)分別與方程(6)、(7)形式一模一樣。同理還可推出(11)～(13)一樣的方程組。這說明, 二階LGM中限制截距之和為0、負荷之和為1, 得到的5個參數(shù)方程與使用合成分數(shù)(總和)建立單變量LGM得到的一樣(但還有其他不一樣的方程, 因為LGM是超識別的, 方程個數(shù)多于參數(shù)個數(shù)), 兩者有接近的參數(shù)估計。

得到與(26)一模一樣的方程。這說明, 二階LGM限制截距之和為0、負荷之和為指標個數(shù), 得到的參數(shù)方程中有5個與使用合成分數(shù)(平均分)建立單變量LGM得到的一樣(但還有其他不一樣的方程), 兩者有接近的參數(shù)估計。

正如使用總分與使用平均分做單變量LGM得到的參數(shù)估計很不相同, 限制負荷之和等于1與等于指標數(shù), 得到的二階LGM參數(shù)估計也很不相同, 兩者的均值參數(shù)有倍數(shù)(指標個數(shù))關(guān)系, 方差也有倍數(shù)(指標個數(shù)的平方)關(guān)系。

2.3 潛變量標準化法

前面介紹的兩種標度方法可能會得到很不同的二階LGM結(jié)果, 不僅不同標度方法得到的結(jié)果沒有可比性, 同一種標度方法下選用不同限制等式得到的結(jié)果也沒有可比性。Yang等人(2021)借鑒前人的做法(Ferrer et al., 2008; Grimm et al., 2017), 將某個時間點的潛變量進行標準化, 變成均值為0、方差為1的標準化變量。這個時間點稱為參照點, 如果沒有特別說明, 默認選擇第一個時間點, 相當于將初始水平設(shè)定為0, 初始方差設(shè)定為1, 并作為比較的基準, 而后面時間點潛變量在縱向測量強不變性限制下相應(yīng)變化均值(一般不是0)和標準差(一般不是1)。

Yang等人(2021)提出的基于尺度指標法的潛變量標準化法(latent-standardization method)如下：

2)將尺度指標的負荷固定為尺度指標的方差乘以其信度后開方, 即

下面解釋一下其做法, 以理解這種做法的本質(zhì)。由方程(14)有

這樣, 我們可以提出既簡單又有可操作性的潛變量標準化法(兩階段建模)?；诔叨戎笜朔ǖ臐撟兞繕藴驶ㄈ缦拢?/p>

基于效應(yīng)編碼法的潛變量標準化法如下：

第一階段與基于尺度指標法的潛變量標準化法一樣;

第二階段：建立二階LGM, 將各指標的截距之和限制為第一時間點各指標的樣本均值之和, 即

3 一階和二階潛增長模型的可比性

對于多指標測量的變量, 既可以使用合成分數(shù)建立一階LGM, 也可以使用潛變量建立二階LGM。討論一階和二階LGM的可比性, 不僅在需要比較兩者的時候能找對比較的對象, 而且可以更好地理解二階LGM標度方法。

3.1 基于尺度指標法的比較

這樣說來, 最常使用的尺度指標法并不理想, 一方面, 使用不同指標做尺度指標會得到可能很不同的結(jié)果, 就如使用不同指標建立的單變量LGM會有很不同的結(jié)果一樣。另一方面, 使用尺度指標法, 至少在初始水平和斜率的均值參數(shù)估計上主要依賴尺度指標, 從而與效應(yīng)編碼法的結(jié)果可能會有較大出入。

3.2 基于效應(yīng)編碼法的比較

由2.2節(jié)可知, 二階LGM使用限制截距之和為0、負荷之和為1的效應(yīng)編碼法, 與使用合成總分建立的單變量LGM有可比性, 兩者可以得到主要LGM參數(shù)的5對一樣的方程。但兩種模型都屬于超識別模型(侯杰泰等, 2004), 關(guān)于參數(shù)的方程多于參數(shù)個數(shù), 兩種模型還有其他不一樣的方程, 因而兩種模型的參數(shù)估計只是接近而不是完全等同。和一般結(jié)構(gòu)方程模型一樣, 兩種模型參數(shù)接近的程度與合成分數(shù)的信度有關(guān)(溫忠麟等, 2022)。

二階LGM使用限制截距之和為0、負荷之和為指標個數(shù)的效應(yīng)編碼法, 與使用平均分合成分數(shù)建立的單變量LGM有可比性, 兩者可以得到主要LGM參數(shù)的5對一樣的方程。兩者關(guān)系的討論同上。

3.3 基于潛變量標準化法的比較

3.4 小結(jié)

根據(jù)上面的討論, 可以將一階和二階LGM的比較結(jié)果列成表1。對于多指標測量的變量, 要建立一階LGM的時候, 幾乎都會使用合成分數(shù), 而罕有使用單指標建模; 但二階LGM常用的潛變量標度方法卻是尺度指標法(Yang et al., 2021)。例如, Leite (2007)通過模擬的方法比較一階LGM和二階LGM對參數(shù)的估計情況, 一階LGM使用平均分合成分數(shù)建模, 而二階LGM使用尺度指標法(并與產(chǎn)生數(shù)據(jù)的真模型一樣), 兩者缺乏可比性, 所以該文比較的結(jié)果沒有意義。為了與使用平均分合成分數(shù)的一階LGM比較, 二階LGM應(yīng)當使用平均分的效應(yīng)編碼法(并與產(chǎn)生數(shù)據(jù)的真模型一樣)。

4 實際數(shù)據(jù)展示

這里用一個實例比較表1中各種標度方法的二階LGM及相應(yīng)的一階LGM, 看看5個LGM參數(shù)估計結(jié)果在不同標度方法上的差異, 以及一階和二階LGM可比性的情況。變量是道德推脫中的“責任轉(zhuǎn)移”維度。這里主要是方法展示, 不過多涉及與方法無關(guān)的具體細節(jié)。

采用王興超和楊繼平(2010)修訂的《中文版道德推脫問卷》。該問卷共26個題目, 采用１(完全不同意)～5(完全同意)五點計分, 共有8個維度, 選取其中的“責任轉(zhuǎn)移”維度, 該維度有3個題目(指標)。被試是高校本科生, 追蹤測量4次, 間隔1個月, 共有1209個被試有完整的數(shù)據(jù)。4次測量的α系數(shù)在0.72～0.87之間。更多信息可參見金童林等(2023)。采用Mplus 8.3做CFA(包括一階和二階LGM)。

先做縱向測量不變性檢驗, 因為被試人數(shù)多, 不適合使用嵌套模型的卡方差異檢驗。改用擬合指數(shù)CFI和RMSEA的差異檢驗。對于人數(shù)超過300、各組人數(shù)相當?shù)亩嘟M測量不變性檢驗, 如果加上限制條件的模型的CFI降低不超過0.01、RMSEA提高不超過0.015, 則選擇比較簡單的模型, 即不變性成立(Chen, 2007)?；鶞誓Ｐ?沒有限制條件)、弱不變性模型(限制各時間點的負荷相等)和強不變性模型(限制各時間點的負荷相等、截距相等)的主要擬合指數(shù)見表2。強不變性模型與基準模型相比, ?CFI = ?0.009 (CFI降低不超過0.01), ?RMSEA = ?0.005 (RMSEA不升反降), 所以縱向測量強不變性成立。

表1 二階LGM標度方法與可比的一階LGM建模

表2 縱向測量不變性檢驗

注：= degrees of freedom, CFI = comparative fit index, RMSEA = root mean square error of approximation.

第一時間點潛變量均值為0、方差為1時(Mplus程序見附錄1), 3個指標的負荷分別為：0.743, 0.679, 0.459, 這些數(shù)值在潛變量標準化時需要用到(見2.3節(jié)); 相應(yīng)的單指標信度分別為：0.67, 0.65, 0.25, 可以通過信度高低檢視尺度指標法的效果。

不同標度方法的二階LGM及相應(yīng)的一階LGM的5個參數(shù)估計見表3, 為了方便比較, 還加上了截距因子與斜率因子的相關(guān)系數(shù), 它不是LGM的參數(shù), 可以通過方差和協(xié)方差計算得到。不同標度方法的二階LGM參數(shù)估計結(jié)果可能會很不相同, 但模型的自由度都是65 (可以用公式23計算), 而且擬合指數(shù)也相同：χ2= 754.52, CFI = 0.914, TLI = 0.913, RMSEA = 0.094, SRMR = 0.067。

對于尺度指標法, 一階和二階LGM的參數(shù)估計結(jié)果有明顯差異(通常最感興趣的斜率因子均值差異超過10%), 尤其是信度比較低的指標3作為尺度指標的時候。二階LGM考慮了潛變量的測量誤差, 雖然主要依賴尺度指標, 但還是使用全部指標的信息, 而一階LGM僅僅使用了尺度指標, 而且沒有考慮測量誤差, 當信度低(誤差方差大)的時候, 其估計結(jié)果與二階LGM的差異大是意料中的事情。此外, 無論一階還是二階LGM, 使用不同的尺度指標的結(jié)果可比性低。

對于效應(yīng)編碼法(二階LGM的Mplus程序見附錄2), 無論合成總分還是合成均分建模, 一階和二階LGM的參數(shù)估計差異都不超過10%, 兩種模型都使用了全部指標信息, 差異在于是否考慮了測量誤差, 即潛變量建模與顯變量建模的差異。此外, 無論一階還是二階LGM, 合成總分與合成均分建模尺度相差很大, 但兩者的增長參數(shù)符合理論預(yù)期的倍數(shù)關(guān)系。

當?shù)谝粫r間點的潛變量標準化時, 可以得到LGM的標準化估計。理論上說, 截距因子均值的標準化估計近似于0。實際結(jié)果是, 一階LGM的截距因子均值近似于0且不顯著; 三種二階LGM標準化估計, 除了截距因子的均值外完全一致, 但截距因子均值有明顯差異, 兩種尺度指標法的結(jié)果與0有顯著差異, 而效應(yīng)編碼法的結(jié)果近似于0且不顯著, 說明二階LGM標準化應(yīng)當使用效應(yīng)編碼法比較好。此外, 不出所料, 無論一階還是二階LGM,合成總分和合成均分建模有完全相同的標準化估計。

表3 不同標度方法的二階LGM及相應(yīng)的一階LGM比較結(jié)果

注：沒有注明一階便是二階。除了帶下劃線的三個截距因子均值(標準化估計)外, 所有參數(shù)在0.01水平上都顯著。不出所料, 合成總分和合成均分的一階LGM有完全相同的標準化估計。基于合成總分和合成均分的二階LGM也有完全相同的標準化估計, 沒有分別列出, 統(tǒng)稱為基于合成分數(shù)的標準化估計。

5 討論

LGM可以同時分析個體隨時間的發(fā)展變化和個體間的發(fā)展差異(Jeon, & Kim, 2021; Laird & Ware, 1982), 在追蹤研究中受到廣泛應(yīng)用。一階LGM使用單變量建模, 容易理解、操作簡單。我們以中國知網(wǎng)(https://www.cnki.net)全文數(shù)據(jù)庫作為數(shù)據(jù)源, 不限出版年與學科, 檢索所有涉及潛增長模型的中文文獻。主題或摘要或關(guān)鍵詞包括：“潛增長”、“潛增長模型”、“潛增長曲線模型”、“因子曲線模型”、“潛在增長”、“潛在增長模型”、“潛在增長曲線模型”、“LGM”。使用了LGM的應(yīng)用文章210篇(其中心理學119篇), 僅有5篇使用了二階LGM (其中只有1篇心理學論文)。英文期刊上二階LGM的使用也很少, Yang等人(2021)檢索了4個心理學期刊上從創(chuàng)刊至2019年11月的全部文章, 共有300篇文章應(yīng)用了LGM, 只有11篇使用了二階LGM。無論中文還是英文文章, 只有少數(shù)報告了使用尺度指標法, 多數(shù)沒有報告標度方法。絕大多數(shù)文章使用Mplus進行二階LGM分析, 可以推測是使用了默認的尺度指標法。

單變量一階LGM的不足之處是, 忽略了測量誤差、通常不去檢驗縱向測量不變性。對于多指標測量的變量, 使用合成分數(shù)做一階LGM的優(yōu)點是簡單易理解, 前提條件也是滿足縱向測量不變性并且是嚴格不變性(即各指標的負荷、截距和誤差方差都是跨時間不變的)。如果嚴格不變性不成立, 使用合成分數(shù)做單變量LGM會引起參數(shù)估計偏差, 因為這種LGM不能區(qū)分潛變量的真實縱向變化與測量上的變化(Leite, 2007; Sayer & Cumsille, 2001)。二階LGM可以彌補一階LGM的不足, Geiser等人(2013)總結(jié)了二階LGM的優(yōu)勢：可以將測量誤差分離出來; 可以檢驗縱向測量不變性(其實這個檢驗可以獨立于LGM進行); 在檢驗發(fā)展變化的個體差異方面有較高的統(tǒng)計檢驗力; 可以分離題目指標的方法效應(yīng)。

正確使用二階LGM的一個前提是理解模型識別和因子的標度方法, 以及二階與一階的聯(lián)系。本文基于Yang等人(2021)的標度方法分類, 簡化了尺度指標法和效應(yīng)編碼法的推演方式, 提出了簡單而有可操作性的二階LGM標準化估計方法, 系統(tǒng)總結(jié)了二階LGM標度方法及其可比的一階LGM建模。

除非對某個指標情有獨鐘而且該指標信度很高, 否則不要使用尺度指標法, 因為這樣標度的二階LGM結(jié)果只與尺度指標建立的單變量LGM有可比性, 不同的尺度指標可能導(dǎo)致很不同的結(jié)果。效應(yīng)編碼法比較好, 同時使用了全部指標的信息進行標度, 結(jié)果與使用合成分數(shù)的單變量LGM有可比性。可以根據(jù)研究目的決定使用總分還是平均分的效應(yīng)編碼法, 通常使用平均分的比較好, 不受指標數(shù)量的影響。

和其他結(jié)構(gòu)方程模型一樣, 標準化估計可以幫助解釋結(jié)果, 比較不同研究之間的效應(yīng)大小。雖然理論上說基于不同標度方法得到的標準化估計有唯一性, 但由于潛變量標準化的間接性, 標準化后的參照點潛變量只是近似的標準化變量, 因而參數(shù)估計可能與標準化方法有關(guān)?；谛?yīng)編碼法的標準化明顯好于基于尺度指標法的標準化。

由于不同標度方法的LGM結(jié)果很不相同, 需要明確說明所用的標度方法, 并對估計結(jié)果做出相應(yīng)的解釋。一般情況下推薦使用效應(yīng)編碼法對二階LGM進行標度和標準化。這時, 有可比性的一階LGM是使用合成分數(shù)的單變量LGM。對一階LGM而言, 合成總分和合成均分得到的標準化結(jié)果相同; 對二階LGM而言, 合成總分和合成均分對應(yīng)的效應(yīng)編碼法的標準化結(jié)果也相同。

表3列出的三種二階LGM標準化估計, 除了截距因子均值外, 其他4個LGM參數(shù)估計都完全一致。這是巧合還是必然, 需要進一步研究。還有, 二階LGM與一階LGM的關(guān)系是潛變量建模與顯變量建模的關(guān)系, 但比回歸模型中的這種關(guān)系要復(fù)雜, 兩者的關(guān)系如何受到測量信度的影響, 有待進一步研究。

Chen, F. F. (2007). Sensitivity of goodness of fit indexes to lack of measurement invariance.(3), 464–504.

Chou, C. P., Bentler, P. M., Pentz, M. A. (1998). Comparisons of two statistical approaches to study growth curves: The multilevel model and the latent curve analysis.(3), 247–266.

Ferrer, E., Balluerka, N., & Widaman, K. F. (2008). Factorial invariance and the specification of second-order latent growthmodels.(1), 22–36.

Geiser, C., Keller, B., & Lockhart G. (2013). First versus second order latent growth curve models: Some insights from latent state-trait theory.(3), 479–503.

Grimm, K. J., Ram, N., & Estabrook, R. (2017).. Guilford Press.

Hau K. T., Wen Z., & Cheng Z. (2004).Beijing: Educational Science Publishing House.

[侯杰泰, 溫忠麟, 成子娟. (2004).. 北京：教育科學出版社.]

Jeon, M. J., & Kim, S. Y. (2021). Performance of second-order latent growth model under partial longitudinal measurement invariance: A comparison of two scaling approaches.,(2), 261–277.

Jin, T., Xu, M., & Wu, Y. T. N. (2023). The changes of moral disengagement in Chinese college students: Evidence from cross-temporal meta-analysis and longitudinal study.,(1), 110–116.

[金童林, 徐明爽, 烏云特娜. (2023). 中國大學生道德推脫的變遷：橫斷歷史研究與追蹤研究的證據(jù).,(1), 110–116. ]

Kim, E. S., & Willson, V. L. (2014). Testing measurement invariance across groups in longitudinal data: Multigroup second-order latent growth model.,(4), 566–576.

Laird, N. M., & Ware, J. H. (1982). Random-effects models for longitudinal data.(4), 963–974.

Leite W. L. (2007). A comparison of latent growth models for constructs measured by multiple items.,(4), 581–610.

Li, L., Gao, Y., Zhang M., & Zhang, Y. (2012). The latent variable growth curve model and its applications.,(5), 713–716.

[李麗霞, 郜艷暉, 張敏, 張巖波. (2012). 潛變量增長曲線模型及其應(yīng)用.,(5), 713–716. ]

Li, L., Zhou, S., Zhang, M., Zhang, Y., & Gao, Y. (2014). Comparisons of two statistical approaches in studying the longitudinal data: The multilevel model and the latent growth curve model.,(6), 741–744.

[李麗霞, 周舒冬, 張敏, 張巖波, 郜艷暉. (2014). 多水平模型和潛變量增長曲線模型在縱向數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用及比較.,(6), 741–744. ]

Little, T. D., Slegers, D. W., & Card, N. A. (2006). A non-arbitrary method of identifying and scaling latent variables in SEM and MACS models.,(1), 59–72.

Mayer, A., Steyer, R., & Mueller, H. (2012). A general approach to defining latent growth components.(4), 513–533.

McArdle, J. J. (1988). Dynamic but structural equation modeling of repeated measures data. In J. R. Nesselroade & R. B. Cattell (Eds.),(2nd ed., pp. 561–614). New York: Plenum.

Sayer, A. G., & Cumsille, P. E. (2001). Second-order latent growth models. In L. M. Collins & A. G. Sayer (Eds.),(pp. 179–200). Washington, DC: American Psychological Association.

Wang, X., & Yang, J. (2010). Reliability and validity of moral disengagement scale in Chinese students.,(2), 177–179.

[王興超, 楊繼平. (2010). 中文版道德推脫問卷的信效度研究.,(2), 177–179. ]

Wen, Z., Chen, H., Fang, J., Ye, B., & Cai, B. (2022). Research on test reliability in China’s mainland from 2001 to 2020.,(8), 1682–1691.

[溫忠麟, 陳虹熹, 方杰, 葉寶娟, 蔡保貞. (2022). 新世紀20年國內(nèi)測驗信度研究.(8), 1682–1691.]

Wen, Z., & Liu, H. (2020).Beijing: Educational Science Publishing House.

[溫忠麟, 劉紅云. (2020).北京: 教育科學出版社.]

Wen, Z., & Ye, B. (2011). Evaluating test reliability: From coefficient alpha to internal consistency reliability.(7), 821–829.

[溫忠麟, 葉寶娟. (2011). 測驗信度估計：從α系數(shù)到內(nèi)部一致性信度.,(7), 821–829.]

Wu, Y., & Wen, Z. (2011). Item parceling strategies in structural equation modelling.,(12), 1859–1867.

[吳艷, 溫忠麟. (2011). 結(jié)構(gòu)方程建模中的題目打包策略.,(12), 1859–1867.]

Yang, Y., Luo, Y., & Zhang, Q. (2021). A cautionary note on identification and scaling issues in second-order latent growth models.,(2), 302–313.

TITLE: CFA with strong MI (standardized f1)

DATA: FILE IS p1.csv;

VARIABLE: NAMES ARE x11-x13 x21-x23 x31-x33 x41-x43;

MODEL:

f1 BY x11-x13* (L1-L3);

f2 BY x21-x23* (L1-L3);

f3 BY x31-x33* (L1-L3);

f4 BY x41-x43* (L1-L3);

!設(shè)定負荷自由估計, 跨時間不變;

[x11 x21 x31 x41] (tau1);

[x12 x22 x32 x42] (tau2);

[x13 x23 x33 x43] (tau3);

!設(shè)定截距跨時間不變;

f1@1; !固定f1的方差為1;

[f1@0]; !固定f1的均值為0, Mplus默認;

[f2-f4*]; !f2-f4的均值自由估計;

!注釋：結(jié)果用于二階潛增長模型的潛變量標準化法(見附錄2);

TITLE: Second-order Latent Growth Models;

DATA: FILE IS p2.csv;

VARIABLE: NAMES ARE x11-x13 x21-x23 x31-x33 x41-x X1mean-X4mean Z1-Z4;

!Z1為X1mean的Z分數(shù), Z2-Z4為X2mean-X4mean的線性變換;

USEVARIABLES are x11-x13 x21-x23 x31-x33 x41-x43;

MODEL:

f1 BY x11-x13* (L1-L3);

f2 BY x21-x23* (L1-L3);

f3 BY x31-x33* (L1-L3);

f4 BY x41-x43* (L1-L3);

!設(shè)定負荷自由估計, 跨時間不變;

[x11 x21 x31 x41] (tau1);

[x12 x22 x32 x42] (tau2);

[x13 x23 x33 x43] (tau3);

!設(shè)定截距跨時間不變;

i s | f1@0 f2@1 f3@2 f4@3; !定義潛變量LGM, i為截距因子α, s為斜率因子β;

[i*]; !截距因子均值自由估計;

i(ivar); s(svar); i with s (cov);

!為計算相關(guān)系數(shù), 儲存方差/協(xié)方差估計值;

MODEL CONSTRAINT:

NEW (rel); !定義新變量;

rel=cov/sqrt(ivar*svar); !計算截距因子與斜率因子的相關(guān)系數(shù);

0 = L1+L2+L3-3; !限制負荷之和等于指標個數(shù)(或者1), 對應(yīng)于合成均分(總分)建模;

0 = tau1+tau2+tau3; !限制截距之和等于0;

!注釋：如果要得到標準化估計, 最后兩行限制應(yīng)當換成：

0 = L1+L2+L3-1.881; !1.881是第一階段做CFA (附錄1)得到的負荷之和;

0 = tau1+tau2+tau3-5.685; !5.685是指標在第一時間點的樣本均值之和;

Scaling methods of second-order latent growth models and their comparable first-order latent growth models

WEN Zhonglin1, WANG Yifan1, DU Mingshi1, YU Yahui1, ZHANG Yuhui1, JIN Tonglin2

(1Center for Studies of Psychological Application & School of Psychology, South China Normal University, Guangzhou 510631, China) (2College of Psychology, Inner Mongolia Normal University, Hohhot 010022, China)

Latent growth models (LGMs) are a powerful tool for analyzing longitudinal data, and have attracted the attention of scholars in psychology and other social science disciplines. For a latent variable measured by multiple indicators, we can establish both a univariate LGM (also called first-order LGM) based on composite scores and a latent variable LGM (also called second-order LGM) based on indicators. The two model types are special cases of the first-order and second-order factor models respectively. In either case, we need to scale the factors, that is, to specify their origin and unit. Under the condition of strong measurement invariance across time, the estimation of growth parameters in second-order LGMs depends on the scaling method of factors/latent variables. There are three scaling methods: the scaled-indicator method (also called the marker-variable identification method), the effect-coding method (also called the effect-coding identification method), and the latent-standardization method.

The existing latent-standardization method depends on the reliability of the scaled-indicator or the composite scores at the first time point. In this paper, we propose an operable latent-standardization method with two steps. In the first step, a CFA with strong measurement invariance is conducted by fixing the mean and variance of the latent variable at the first time point to 0 and 1 respectively. In the second step, estimated loadings in the first step are employed to establish the second-order LGM. If the standardization is based on the scaled-indicator method, the loading of the scaled-indicator is fixed to that obtained in the first step, and the intercept of the scaled-indicator is fixed to the sample mean of the scaled-indicator at the first time point. If the standardization is based on the effect-coding method, the sum of loadings is constrained to the sum of loadings obtained in the first step, and the sum of intercepts is constrained to the sum of the sample mean of all indicators at the first time point. We also propose a first-order LGM standardization procedure based on the composite scores. First, we standardize the composite scores at the first time point, and make the same linear transformation of the composite scores at the other time points. Then we establish the first-order LGM, which is comparable with the second-order LGM scaled by the latent-standardization method.

The scaling methods of second-order LGMs and their comparable first-order LGMs are systematically summarized. The comparability is illustrated by modeling the empirical data of a Moral Evasion Questionnaire. For the scaled-indicator method, second-order LGMs and their comparable first-order LGMs are rather different in parameter estimates (especially when the reliability of the scale-indicator is low). For the effect-coding method, second-order LGMs and their comparable first-order LGMs are relatively close in parameter estimates. When the latent variable at the first time point is standardized, the mean of the intercept-factor of the first-order LGM is close to 0 and not statistically significant; so is the mean of the intercept-factor of the second-order LGM through the effect-coding method, but those through two scaled-indicator methods are statistically significant and different from each other.

According to our research results, the effect-coding method is recommended to scale and standardize the second-order LGMs, then comparable first-order LGMs are those based on the composite scores and their standardized models. For either the first-order or second-order LGM, the standardized results obtained by modeling composite total scores and composite mean scores are identical.

latent growth model, composite score, scaling method, scaled-indicator, effect-coding, latent-standardization

2023-02-06

* 國家自然科學基金項目(32171091)、教育部人文社會科學重點研究基地重大項目(22JJD190006)資助。

并列第一作者: 王一帆

溫忠麟, E-mail: wenzl@scnu.edu.cn

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