施建華

向量同時(shí)具有數(shù)量關(guān)系與幾何關(guān)系，此類問題都可以通過多角度對(duì)其進(jìn)行分析.特別是在競(jìng)賽題中，向量的題型也非常多，本文著重分析一道向量相關(guān)的競(jìng)賽題，并將其推廣至一般性質(zhì).

一、試題展示

在△ABC中，AB=5，AC=4，且AB·AC=12.設(shè)P為平面ABC上一點(diǎn)，則PA·（PB+PC）的最小值為＿＿＿＿＿.（2018年江蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽第7題）

根據(jù)條件△ABC為一個(gè)確定的三角形，點(diǎn)P為平面ABC上的動(dòng)點(diǎn)，本題的關(guān)鍵則在于對(duì)表達(dá)式PA·（PB+PC）的理解.根據(jù)平面向量基本定理，在平面ABC內(nèi)任意選擇一組不共線的向量即可作為該平面的一組基底，通過將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為基底之間的關(guān)系后，問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)純代數(shù)的問題；本題也可通過表達(dá)式的幾何意義來進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而利用平面圖形的幾何性質(zhì)發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的最值.

參考文獻(xiàn)

［1］龍宇.利用質(zhì)點(diǎn)系的“重心”求解線段間的比例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（江西師大）.2020（4），39-40.