“證明”要明

吳曉剛

“證明”讓同學(xué)們學(xué)會用說理的方法，從一些基本事實出發(fā)，探索并推導(dǎo)出結(jié)論，實質(zhì)上就是讓同學(xué)們會用數(shù)學(xué)的語言來表達現(xiàn)實世界，這就需要我們有簡單的推理能力。但在“實戰(zhàn)”中，部分同學(xué)沒有掌握好基本概念，沒有感悟到數(shù)學(xué)論證的邏輯，沒有體會到數(shù)學(xué)的嚴謹性，導(dǎo)致各種錯誤出現(xiàn)。下面，我們一起來理一理。

一、“證明”要明概念

例1 下列語句中，不是命題的是（）。

A.內(nèi)錯角相等

B.若2a=4，則a=2

C.反向延長射線MN

D.同角的余角相等

【解析】大部分同學(xué)容易錯選A。在數(shù)學(xué)中，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫作命題。這里的判斷包括正確的判斷（真命題），也包括錯誤的判斷（假命題）。選項A可以判斷真假，雖然它是錯誤的判斷，但它是命題；選項B是代數(shù)命題；選項C是作圖語句，沒有做出判斷，故不是命題；選項D可以判斷真假，是真命題，也是定理。故選C。

【點評】命題有三大特征：一是具有判斷性，二是有真假之分，三是具有固定的結(jié)構(gòu)形式。數(shù)學(xué)命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項。特別注意，假命題也是命題。而作圖語句、祈使句、疑問句等語句無法判斷真假，故都不是命題。

二、“證明”要明邏輯

例2 如圖1，已知AB∥CD，∠B=40°，∠D=40°，求證：BC∥DE。

【解析】有的同學(xué)直接由∠B=∠D，得到BC∥DE，這是不正確的，沒有推理根據(jù)。證明中的推理過程不能想當(dāng)然，每一步推理都要有根據(jù)。我們要從已知條件出發(fā)，結(jié)合隱含條件，根據(jù)概念、定理或公理推導(dǎo)出結(jié)論；每個條件都要使用到，不遺漏，不創(chuàng)造。

證明：∵AB∥CD（已知），

∴∠B=∠C=40°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。

∵∠D=40°（已知），

∴∠C=∠D（等量代換）。

∴BC∥DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。

【點評】數(shù)學(xué)是有著嚴密邏輯體系的科學(xué)，邏輯推理是數(shù)學(xué)學(xué)科重要的核心素養(yǎng)。同學(xué)們在證明時要使用合乎邏輯的推理，每一步都要有理有據(jù)。

三、“證明”要明規(guī)范

例3 證明：垂直于同一條直線的兩直線互相平行。

【解析】有的同學(xué)是這樣證明的：

如圖2，∵AB⊥EF，CD⊥EF，

∴∠ABD=∠CDF=90°，

∴AB∥CD。

這個證明過程沒有錯誤，但是不規(guī)范，證明的理論依據(jù)有問題，而且連基本的格式都沒有。命題證明應(yīng)該先寫出已知、求證。證明過程要準(zhǔn)確使用定理，這里同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都可以利用，根據(jù)目標(biāo)，準(zhǔn)確、合理選擇即可。

我們將原題用數(shù)學(xué)語言描述。已知：如圖2，AB⊥EF，CD⊥EF，垂足分別為B、D。求證：AB∥CD。

證明：∵AB⊥EF，CD⊥EF（已知），

∴∠ABD=∠CDF=90°（垂直定義）。

∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）。

【點評】幾何證明既要有邏輯性，也要有科學(xué)性和規(guī)范性。同學(xué)們在書寫證明過程的時候，可以把證明過程寫得細致一些，把因果關(guān)系表達得清晰一些，還要注意證明過程的嚴謹性和規(guī)范性。

（作者單位：江蘇省南菁高級中學(xué)實驗學(xué)校）