龐錦毅

摘要 傳統(tǒng)的量子場論教學(xué)方法通常是從經(jīng)典場論出發(fā)，首先介紹經(jīng)典場的概念和方法，然后再引入量子力學(xué)的思想，推導(dǎo)出量子場論的基本概念和工具。這種教學(xué)方法對于已經(jīng)掌握經(jīng)典場論知識的學(xué)生來說是自然的，但是對于那些只掌握量子力學(xué)的學(xué)生來說，往往會產(chǎn)生巨大的跳躍感。因此，我們提出了一種新的量子場論教學(xué)方法，即直接從多體量子力學(xué)出發(fā)，在正則量子化體系中引入場論的拉格朗日量，并推導(dǎo)出相應(yīng)的哈密頓量，以此來幫助學(xué)生更好地理解量子場論的基本概念和工具。

關(guān)鍵詞 量子場論；教學(xué)；研究

中圖分類號：G424文獻(xiàn)標(biāo)識碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.10.040

當(dāng)今物理學(xué)領(lǐng)域中量子場論已經(jīng)成為重要的理論框架之一，很多大學(xué)物理學(xué)專業(yè)都在積極推廣量子場論相關(guān)的課程教學(xué)。我們知道場論在統(tǒng)一量子力學(xué)和狹義相對論的過程中，首先會產(chǎn)生反粒子的概念。因此所有的論述都是在一個多粒子體系中完成的，這說明量子場論本質(zhì)上是一個描述多粒子體系的有效的數(shù)學(xué)工具。從教學(xué)上講，我們可以充分利用這一特點(diǎn)，從大家熟知的單粒子量子力學(xué)出發(fā)發(fā)展出多粒子系統(tǒng)的量子理論，進(jìn)而給出哈密頓公式體系下的二次量子化描述。然后我們將給出一個拉格朗日公式體系下的非相對論量子場論，它與之前的哈密頓公式體系下的二次量子化描述是完全等價的，因此也是一個描述多粒子系統(tǒng)的量子理論。之后的任務(wù)就是將這樣一個拉格朗日公式體系下的場論發(fā)展為相對論性的。最終，我們給學(xué)生寫出一個洛倫茲不變的拉格朗日公式體系下的量子場論，完成量子力學(xué)與狹義相對論的統(tǒng)一。

1從量子力學(xué)到量子場論的過渡

傳統(tǒng)的量子場論教學(xué)通常從經(jīng)典場論開始，然后通過正則量子化方法得到對應(yīng)的量子場論[1-4]。這種教學(xué)方式對于已經(jīng)對場論有一定了解的學(xué)生來說是自然的，但是對于只學(xué)習(xí)了量子力學(xué)的學(xué)生來說卻很困難。因?yàn)閷W(xué)生需要理解經(jīng)典場論中的概念和數(shù)學(xué)工具，這些內(nèi)容與量子力學(xué)中的概念和工具是不同的，很多學(xué)生在量子力學(xué)的學(xué)習(xí)中，剛剛經(jīng)歷了一個從經(jīng)典物理的思維習(xí)慣到算符―態(tài)矢描述方式的蛻變，如果此時再次回到經(jīng)典理論的框架中，這些學(xué)生會感覺到很強(qiáng)烈的知識斷層，進(jìn)而失去解決問題的立足點(diǎn)。他們會無法分清自己究竟是在處理一個經(jīng)典問題還是量子問題。

3多體量子力學(xué)和量子場論

與傳統(tǒng)教學(xué)方法相比，以多體量子力學(xué)為切入點(diǎn)是一種很自然且很容易讓學(xué)生接受的方式。場論與多體理論具有天然的鏈接，量子場論的基本任務(wù)是統(tǒng)一量子力學(xué)和狹義相對論，而狹義相對論的引入會直接導(dǎo)致反粒子的概念，這會打破量子力學(xué)中粒子數(shù)守恒的簡單模型，但單一的單粒子系統(tǒng)、兩粒子系統(tǒng)甚或是多粒子系統(tǒng)，發(fā)展為不同粒子數(shù)狀態(tài)的線性疊加，這就產(chǎn)生了Fock空間的概念。從本質(zhì)上講，量子場論就是一個Fock空間上建立的多體量子力學(xué)系統(tǒng)。因此，場論的教學(xué)應(yīng)當(dāng)抓住這一本質(zhì)，慢慢地從粒子數(shù)守恒的量子力學(xué)過渡到Fock空間中的多體量子理論，最終將學(xué)生引入場論的理論構(gòu)造中。實(shí)際上對于前兩者具有高等量子力學(xué)基礎(chǔ)的同學(xué)是非常熟悉的，只是當(dāng)我們在場論中不停地向他們灌輸經(jīng)典場的觀念時，他們無法認(rèn)識到量子場論與量子力學(xué)之間非常自然和清晰的演化脈絡(luò)。

4從哈密頓體系過渡到拉格朗日體系

盡管這一推導(dǎo)過程很難直接與物理圖像聯(lián)系，但是它卻自然地將場論的拉格朗日體系與一個多體量子系統(tǒng)的哈密頓量連接起來，這就給學(xué)生提供了從量子力學(xué)到量子場論的通道，向他們指明了如何將量子力學(xué)中學(xué)到的知識應(yīng)用到量子場論中。如果沒有這樣一個過渡，場論中的很多計(jì)算會顯得非常零碎，量子場論看上去好像與量子力學(xué)毫無關(guān)聯(lián)，但有些地方又會突然用到一些量子力學(xué)的概念。這樣一個邏輯斷層是很多學(xué)生學(xué)習(xí)量子場論的障礙，我們所提出的這一新的教學(xué)思路可以有效克服這一弊病。

5相對論量子力學(xué)

我們引入相對論協(xié)變性的方式與傳統(tǒng)的相對論量子力學(xué)有所不同[5]。這里我們直接對非相對論場論進(jìn)行改造，而非傳統(tǒng)教學(xué)中對薛定諤方程進(jìn)行改造。雖然相對論量子力學(xué)是解決物理學(xué)中微觀現(xiàn)象的重要理論，但是其涉及負(fù)能量、負(fù)幾率等問題，在量子場論中并不需要使用這些概念。在量子場論中我們可以使用正能量、正幾率來描述物理現(xiàn)象，并且這種描述方法更加符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

在教授量子場論時應(yīng)該避免使用相對論量子力學(xué)中的一些概念，以便讓學(xué)生更好地理解量子場論。例如，我們不必討論薛定諤方程或波粒二象性等概念，而應(yīng)該直接介紹量子場論中的基本概念，如量子場、量子態(tài)、相互作用等。

此外，量子場論的數(shù)學(xué)形式和相對論量子力學(xué)也有很大的不同。在相對論量子力學(xué)中，我們使用四維矢量和洛倫茲變換來描述物理現(xiàn)象，而在量子場論中我們使用算符和對易關(guān)系來描述物理現(xiàn)象。因此，我們需要特別注重對算符和對易關(guān)系的講解，以便學(xué)生更好地理解量子場論的數(shù)學(xué)形式。在教授量子場論時，還應(yīng)該特別注重實(shí)驗(yàn)結(jié)果和物理概念的聯(lián)系。量子場論中的許多概念和公式都是基于實(shí)驗(yàn)結(jié)果和物理概念推導(dǎo)出來的，因此我們需要通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果和物理概念來解釋量子場論中的概念和公式，讓學(xué)生更好地理解量子場論的物理意義。

總之，教授量子場論需要注意避免相對論量子力學(xué)的一些缺陷和不必要的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)量子場論的基本概念和數(shù)學(xué)形式，并注重實(shí)驗(yàn)結(jié)果和物理概念的聯(lián)系，以便讓學(xué)生更好地理解量子場論。

6總結(jié)

本文提出了對于量子場論教學(xué)的新思路。通過將多體量子力學(xué)中的哈密頓量轉(zhuǎn)化為場論中的拉格朗日量，我們可以直接從多體量子力學(xué)的基礎(chǔ)上引入量子場論的概念，從而幫助那些只掌握量子力學(xué)知識的學(xué)生更好地理解量子場論。通過對這種新的量子場論教學(xué)方法進(jìn)行總結(jié)和展望，可以強(qiáng)調(diào)這種方法的優(yōu)勢和局限性，同時也可以進(jìn)一步討論改進(jìn)和發(fā)展的方向。例如，我們可以探討如何將這種方法應(yīng)用到更復(fù)雜的量子場論模型中，以及如何將這種方法與其他教學(xué)方法相結(jié)合，以提高教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1]Steven Weinberg. The Quantum Theory of Fields[M]. Cambridge University Press， 1995.

[2]Michael Peskin， Daniel Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory[M].Westview Press， 1995.

[3]Mark Srednicki. Quantum Field Theory[M].Cambridge University Press， 2007.

[4]Anthony Zee. Quantum Field Theory in a Nutshell[M].Princeton University Press， 2003.

[5]J.D. Bjorken， S.D. Drell. Relativistic Quantum Mechanics[M]. McGraw-Hill， 1964.