經(jīng)驗(yàn)頻率公式的比較與選擇

慕平 慕星

摘 要：２０ 世紀(jì)初學(xué)者們研究提出了不同的經(jīng)驗(yàn)頻率公式，目前世界各國(guó)提出的經(jīng)驗(yàn)頻率公式多達(dá)數(shù)十種。采用不同的經(jīng)驗(yàn)頻率公式，直接影響后續(xù)的分析、計(jì)算及參數(shù)擬定等，這對(duì)設(shè)計(jì)洪水的估算結(jié)果有明顯影響。通過(guò)對(duì)各類(lèi)經(jīng)驗(yàn)頻率公式的比較，分析各經(jīng)驗(yàn)頻率公式的相對(duì)偏差，并用實(shí)測(cè)暴雨洪水系列初步驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)頻率公式的差別大小，得出洪水系列的最大洪水重現(xiàn)期誤差最大，２０ ａ 一遇以下洪水重現(xiàn)期誤差相對(duì)較小。為了盡可能地減小在設(shè)計(jì)洪水估算中所應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)頻率公式存在的理論方法誤差，以及較短洪水系列中存在特大值、特小值而造成的原始資料誤差，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需采用便于計(jì)算并趨近于無(wú)偏的經(jīng)驗(yàn)頻率公式。對(duì)相對(duì)較長(zhǎng)的暴雨洪水系列，推薦選用經(jīng)驗(yàn)頻率公式的中值公式或數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行頻率（或重現(xiàn)期） 估計(jì)，建議將第一項(xiàng)（第二項(xiàng)）、末項(xiàng)的頻率（或重現(xiàn)期）作為參考值。

關(guān)鍵詞：設(shè)計(jì)洪水；經(jīng)驗(yàn)頻率；誤差；中值公式；數(shù)學(xué)期望公式

中圖分類(lèi)號(hào)：Ｐ３３８ 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ ｊ．ｉｓｓｎ．１０００－１３７９．２０２３．０７．００９

引用格式：慕平，慕星．經(jīng)驗(yàn)頻率公式的比較與選擇［Ｊ］．人民黃河，２０２３，４５（７）：４８－５１，６７．

水文站的實(shí)測(cè)年最大暴雨洪水，每年必定會(huì)發(fā)生并且呈忽大忽小變化，該洪水大小值為隨機(jī)變量。當(dāng)實(shí)測(cè)洪水系列較長(zhǎng)時(shí)，這些看似偶然的洪水呈現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，可以用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法來(lái)加以分析。用數(shù)理統(tǒng)計(jì)法估算設(shè)計(jì)洪水存在３ 種誤差，即原始資料誤差、理論方法誤差及運(yùn)算誤差［１］ 。原始資料誤差主要表現(xiàn)為偶然誤差及系列代表性問(wèn)題；理論方法誤差由理論研究不完善導(dǎo)致，目前只能列出有限的經(jīng)驗(yàn)頻率公式、頻率曲線(xiàn)線(xiàn)型、參數(shù)估計(jì)、適線(xiàn)準(zhǔn)則等供學(xué)者選用，但如何確切選用，國(guó)內(nèi)外尚無(wú)明確定論；運(yùn)算誤差由解算方法不完善導(dǎo)致，可造成系統(tǒng)偏差。上述３種誤差的大小直接影響設(shè)計(jì)洪水成果的可信度。目前，在任何科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，設(shè)計(jì)洪水的誤差及不確定性問(wèn)題是獨(dú)一無(wú)二的［２］ 。

目前，世界各國(guó)提出的經(jīng)驗(yàn)頻率公式多達(dá)數(shù)十種，有的理論研究看似嚴(yán)密，實(shí)際應(yīng)用卻很難達(dá)到基本要求或假定，使問(wèn)題更加復(fù)雜化，如資料系列較短而導(dǎo)致系列的代表性差或系列的均勻性差，極易在運(yùn)算中將誤差放大、傳播，出現(xiàn)更大的系統(tǒng)偏差。采用不同的經(jīng)驗(yàn)頻率公式，直接影響后續(xù)的分析、計(jì)算及參數(shù)擬定等，這對(duì)設(shè)計(jì)洪水的估算結(jié)果有明顯影響。為了盡可能地減小在設(shè)計(jì)洪水估算中所應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)頻率公式存在的理論方法誤差，以及較短洪水系列中存在特大值、特小值而造成的原始資料誤差，本文重點(diǎn)探討如何選用經(jīng)驗(yàn)頻率公式及有效減小誤差。

１．２ 各經(jīng)驗(yàn)頻率公式的相對(duì)偏差

由式（５）可以看出，當(dāng)ａ 值為０～０．５ 時(shí)，其修正的經(jīng)驗(yàn)頻率值對(duì)系列的第一項(xiàng)、末項(xiàng)的頻率值影響極大，雖可有效地避免較短系列末項(xiàng)出現(xiàn)頻率為１００％的情況，但對(duì)第一項(xiàng)（即ｍ ＝１ 時(shí)）的頻率值影響最大，之后隨著ｍ 值的增大，其影響逐漸減小。

由于實(shí)測(cè)洪水系列長(zhǎng)度較短（多數(shù)ｎ 小于１００），因此采用不同的修正經(jīng)驗(yàn)頻率公式對(duì)頻率適線(xiàn)結(jié)果有相對(duì)偏大或偏小的影響?，F(xiàn)列出了ｎ ＝ ６０、ｎ ＝ １００ 系列及ａ 取０、０．３、０．５ 時(shí)的系列重現(xiàn)期（見(jiàn)表２ 和表３）?？梢钥闯?，ａ 取０、０．３、０．５ 時(shí)系列第一項(xiàng)重現(xiàn)期相對(duì)偏差最大。以ｎ ＝１００ 為例，ａ 取０、０．３、０．５ 時(shí)，系列第一項(xiàng)重現(xiàn)期分別約為１０１、１４３、２００ ａ，第二項(xiàng)重現(xiàn)期相差略大，第二項(xiàng)之后相互間差別迅速減小，到中值項(xiàng)時(shí)的重現(xiàn)期相等，中值項(xiàng)以后ａ ＝ ０ 的重現(xiàn)期較大，ａ ＝ ０．５的重現(xiàn)期較小。

當(dāng)ｎ ＝１００ 時(shí)，ａ ＝０．５ 與ａ ＝０ 對(duì)比，第五項(xiàng)以后其重現(xiàn)期相差在１０％以下，ａ ＝０ 時(shí)頻率適線(xiàn)結(jié)果上端偏大、下端偏小，對(duì)洪水適線(xiàn)偏于安全；ａ ＝ ０．５ 時(shí)第一項(xiàng)的重現(xiàn)期是系列長(zhǎng)度的２ 倍，適線(xiàn)結(jié)果相對(duì)偏小。當(dāng)ｎ ＝６０ 時(shí)，ａ ＝０．３ 與ａ ＝ ０ 以及ａ ＝ ０．３ 與ａ ＝ ０．５ 對(duì)比，第三項(xiàng)以后其重現(xiàn)期相差均在１０％以下，這一情況表明，在２０ ａ 一遇以下，各經(jīng)驗(yàn)頻率公式得出的重現(xiàn)期的相對(duì)偏差很小，即在２０ ａ 一遇以下選哪種經(jīng)驗(yàn)頻率公式都可以，選ａ ＝０．３ 的頻率適線(xiàn)結(jié)果介于取ａ ＝０和ａ ＝０．５ 之間。

１．３ 用實(shí)測(cè)系列初步驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)頻率公式的差別大小

１）系列的最大及次大洪水重現(xiàn)期。以上提到的各修正后的經(jīng)驗(yàn)頻率公式均依據(jù)相應(yīng)的理論和經(jīng)驗(yàn)，并均以ｎ 為無(wú)窮大為前提。但現(xiàn)實(shí)情況中多數(shù)系列ｎ為１００ 以下，其第一項(xiàng)、第二項(xiàng)的洪水值及重現(xiàn)期是極不穩(wěn)定的，偶然得到的一個(gè)系列中的最大洪水值，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，有的被刷新，有的雖然沒(méi)有被刷新，但次大洪水有可能被不斷替換；隨著時(shí)間的推移，最大洪水重現(xiàn)期在不斷變化，有的系列最大值在８０ ａ 內(nèi)不變，若在８０ ａ 之后的若干年又出現(xiàn)了更大洪水，則原來(lái)在８０ 多ａ內(nèi)的第一大洪水，就變?yōu)榈诙蠛樗?/p>

可以設(shè)想當(dāng)有一個(gè)近１ ０００ ａ 的洪水系列，若把這個(gè)相對(duì)的長(zhǎng)系列分為ｋ 個(gè)短系列，每個(gè)短系列含有ｎ 項(xiàng)（６０ 或８０ 等）且相互獨(dú)立。那么各個(gè)短系列的洪水可按自大而小的次序排列，則必有其中一個(gè)短系列的最大值是近１ ０００ ａ 的洪水系列中的最大值，而ｋ 個(gè)短系列中的最大值是不相同的，甚至差別較大。雖然各個(gè)短系列的第一項(xiàng)重現(xiàn)期按經(jīng)驗(yàn)頻率公式估算是相同的，但最大洪水值相差顯著。

偶然得到某測(cè)站的ｎ 年較短的暴雨洪水系列，這其實(shí)與上述情況類(lèi)似，其系列中的最大值與ｎ 年內(nèi)這一特定時(shí)期暴雨洪水是否處于偏豐、偏枯等有著極大關(guān)系，系列中若出現(xiàn)較大值或特大值（特小值），這時(shí)采用上述任何經(jīng)驗(yàn)頻率公式估算出的第一項(xiàng)重現(xiàn)期均為不確定值（可以約為ｎ 年一遇，或ｎ ～２ｎ 年一遇，甚至超２ｎ 年一遇），雖然可以再進(jìn)行人為處理，但很難處理到位，受主觀影響較大，并直接影響到后續(xù)排頻。２）２０ ａ 一遇以下洪水重現(xiàn)期。為了進(jìn)一步驗(yàn)證當(dāng)洪水系列相對(duì)較長(zhǎng)時(shí)各經(jīng)驗(yàn)頻率公式在２０ ａ一遇以下重現(xiàn)期相對(duì)偏差很小，以及對(duì)實(shí)測(cè)的２０ ａ一遇暴雨洪水值的影響（即重現(xiàn)期橫標(biāo)的差異對(duì)實(shí)測(cè)洪水值縱標(biāo)的影響），選取若干組６０～７０ ａ、８０～９０ ａ、１００～１２０ ａ及１６４ ａ、２４６ ａ 暴雨洪水系列，各系列Ｐ ＝５％（２０ ａ 一遇）的洪水值是Ｐ ＝９５％（１．０５ ａ 一遇）的洪水值的２．５倍至３６ 倍。當(dāng)采用ａ ＝０ 與ａ ＝０．３ 及ａ ＝０ 與ａ ＝０．４５對(duì)比時(shí)，統(tǒng)計(jì)其各系列２０ ａ 一遇實(shí)測(cè)暴雨洪水值，平均偏差分別小于１．５％及２．０％，最大偏差分別小于３．５％及４．５％。經(jīng)對(duì)比，其差值大小主要與各系列排序中２０ ａ 一遇上下兩點(diǎn)數(shù)值差的大小有關(guān)。若這兩點(diǎn)數(shù)值接近，用各種經(jīng)驗(yàn)頻率公式內(nèi)插得到的實(shí)測(cè)２０ ａ一遇暴雨洪水值幾乎相同；反之，則相差略大。由上述實(shí)例進(jìn)一步表明，采用不同的ａ 值，用各種經(jīng)驗(yàn)頻率公式得到的各系列２０ ａ 一遇實(shí)測(cè)值偏差量級(jí)很?。ㄓ茫?＝０ 得到的實(shí)測(cè)值略偏大，用ａ ＝ ０．４５ 得到的實(shí)測(cè)值略偏?。?，１０ ａ 一遇實(shí)測(cè)值相對(duì)偏差更小，中值的重現(xiàn)期及實(shí)測(cè)值相等，中值以下反之，用ａ ＝ ０ 得到的實(shí)測(cè)值略偏小，用ａ ＝０．４５ 得到的實(shí)測(cè)值略偏大（見(jiàn)表４）。

２ 經(jīng)驗(yàn)頻率公式的選擇

經(jīng)驗(yàn)頻率公式的選取原則：盡可能減小設(shè)計(jì)洪水估算中所應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)頻率公式存在的理論方法誤差，采用便于計(jì)算的并趨近于無(wú)偏的經(jīng)驗(yàn)頻率公式；減小較短系列中出現(xiàn)特大值、特小值而造成的原始資料誤差。

２．１ 選用經(jīng)驗(yàn)頻率公式

目前，選用經(jīng)驗(yàn)頻率公式已集中在中值和均值公式，及采用以頻率（Ｐｍ ）為特征值建立的橫標(biāo)經(jīng)驗(yàn)頻率公式或以變量（Ｘｍ ）為特征值建立的縱標(biāo)經(jīng)驗(yàn)頻率公式（見(jiàn)表１）。由于頻率分析是為了設(shè)計(jì)值（估計(jì)值）盡可能接近總體真值，因此把變量（Ｘｍ ）的分布中心對(duì)應(yīng)的概率值作為第ｍ 項(xiàng)的繪點(diǎn)位置比取頻率（Ｐｍ ）的分布中心更合理。

無(wú)偏經(jīng)驗(yàn)頻率公式與線(xiàn)型分布及特征值等有關(guān)。推導(dǎo)出的無(wú)偏經(jīng)驗(yàn)頻率公式，與各線(xiàn)型分布以及估算誤差最大的偏態(tài)系數(shù)（ＣＳ）等有關(guān)，諸多問(wèn)題交織在一起更加復(fù)雜，不便于應(yīng)用。偏態(tài)系數(shù)（ＣＳ）對(duì)ａ 值有一定的影響，如克－閔分布的經(jīng)驗(yàn)頻率公式明確當(dāng)ＣＳ ＞２ＣＶ、ａ ＝ ０．３ 時(shí)，相當(dāng)于中值公式；當(dāng)ＣＳ ＝ ２ＣＶ、ａ ＝ ０．４時(shí)，相當(dāng)于皮爾遜Ⅲ型經(jīng)驗(yàn)頻率公式；當(dāng)ＣＳ ＜２ＣＶ、ａ ＝０．５ 時(shí)，相當(dāng)于海森公式。

經(jīng)驗(yàn)頻率公式是基于洪水系列各樣本的出現(xiàn)具有等可能性且經(jīng)驗(yàn)頻率對(duì)稱(chēng)于中值建立起來(lái)的。從表１ 及現(xiàn)階段的分析來(lái)看，無(wú)偏經(jīng)驗(yàn)頻率公式相應(yīng)的ａ值介于０．３～０．５ 之間，其頻率（或重現(xiàn)期）的大小在式（７）與式（８）計(jì)算結(jié)果之間。頻率點(diǎn)繪常以均值、中值和眾值３ 個(gè)特征值為分布中心，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)可知，中值的特點(diǎn)是不像均值那樣極易受特大或特小值的影響，它與排序位置有關(guān)，不受兩邊變數(shù)的影響。第二類(lèi)公式中的中值公式與第一類(lèi)公式的中值公式形式相同，且與總體分布無(wú)關(guān)，是一個(gè)穩(wěn)健的經(jīng)驗(yàn)頻率公式，其頻率值在均值和眾值之間，為無(wú)偏估計(jì)值。由以上分析可知，經(jīng)驗(yàn)頻率的中值公式問(wèn)題最少。

基于上述對(duì)比分析，特別經(jīng)過(guò)１．３ 節(jié)的分析，說(shuō)明對(duì)實(shí)測(cè)暴雨洪水系列采用不同經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算出的２０ ａ 一遇以下暴雨洪水重現(xiàn)期相對(duì)偏差較小，并綜合考慮資料代表性的不足及應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)頻率公式不能滿(mǎn)足其基本條件或假定等情況，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)需采用便于計(jì)算的并趨近于無(wú)偏的經(jīng)驗(yàn)頻率公式形式，對(duì)相對(duì)較長(zhǎng)的暴雨洪水系列，推薦選用式（６）或式（７），即中值公式或數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行頻率（或重現(xiàn)期）估計(jì)。

２．２ 對(duì)系列中特大值與特小值的處理

從以上經(jīng)驗(yàn)頻率公式的計(jì)算結(jié)果對(duì)比可以看出，雖然各經(jīng)驗(yàn)頻率公式均依據(jù)相應(yīng)的理論、經(jīng)驗(yàn)、分析及推理，但第一項(xiàng)頻率（或重現(xiàn)期）相互間偏差最大。這一現(xiàn)象進(jìn)一步表明，進(jìn)行洪水系列排頻，系列較短導(dǎo)致誤差較大，特別是第一項(xiàng)頻率（或重現(xiàn)期）。

各經(jīng)驗(yàn)頻率公式與系列中樣本值大小、次序有關(guān)，但實(shí)際洪水系列較短，其變差各異，若在實(shí)測(cè)暴雨洪水系列中出現(xiàn)了不均勻情況，或出現(xiàn)較大值、特大值（或特小值），無(wú)論用任何經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算其第一項(xiàng)、末項(xiàng)的頻率（或重現(xiàn)期），其偏差都是不可預(yù)知的。對(duì)于特大值的超頻，雖可再進(jìn)行人為處理，但多數(shù)情況下很難處理到位，其誤差大小受主觀影響較大，并直接影響后續(xù)各項(xiàng)排頻，可能造成更大程度的偏差。

其實(shí)，對(duì)于一個(gè)不均勻的短系列，把每個(gè)樣本值按固定位置冠以一個(gè)頻率（或重現(xiàn)期），這本身又加重了一層誤差，表現(xiàn)為第一項(xiàng)誤差最大，之后其誤差逐漸減小，到中值項(xiàng)附近時(shí)其誤差相對(duì)最小。

對(duì)實(shí)測(cè)洪水系列排頻時(shí)，應(yīng)遵循大數(shù)定律，不宜用抽樣誤差大的較短洪水系列，采用由嚴(yán)密理論推導(dǎo)的經(jīng)驗(yàn)頻率公式進(jìn)行逐項(xiàng)排頻。當(dāng)實(shí)測(cè)洪水系列達(dá)到一定長(zhǎng)度時(shí)，鑒于實(shí)測(cè)洪水系列中可能出現(xiàn)不均勻情況或出現(xiàn)特大值（特小值），各經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)頻率（或重現(xiàn)期）的相對(duì)偏差大、之后相互間差別迅速減小，實(shí)測(cè)洪水系列長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到大數(shù)定律所需的基本要求，建議由經(jīng)驗(yàn)頻率公式得出的第一項(xiàng)（第二項(xiàng)）、末項(xiàng)的頻率（或重現(xiàn)期）僅作為占位排頻，且只可作為分析估算的參考值。

３ 結(jié)論和建議

各種經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算的樣本系列第一項(xiàng)重現(xiàn)期相對(duì)偏差最大，第二項(xiàng)重現(xiàn)期相差略大，之后相互間差別迅速減小。當(dāng)實(shí)測(cè)系列相對(duì)較長(zhǎng)時(shí)，２０ ａ 一遇以下重現(xiàn)期相對(duì)偏差很小，即在２０ ａ 一遇以下選哪種經(jīng)驗(yàn)頻率公式都可以。鑒于偶然得到的實(shí)測(cè)暴雨洪水系列較短，在系列中常出現(xiàn)特大值或特小值、不均勻、資料代表性不足及應(yīng)用公式條件不滿(mǎn)足等問(wèn)題，為有效減小設(shè)計(jì)洪水估算中所應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)頻率公式存在的理論方法誤差，并盡可能避免將實(shí)測(cè)暴雨洪水系列中存在的誤差進(jìn)一步放大、傳播的風(fēng)險(xiǎn)，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)需采用便于計(jì)算并趨近于無(wú)偏的經(jīng)驗(yàn)頻率公式。對(duì)于相對(duì)較長(zhǎng)的暴雨洪水系列，推薦選用經(jīng)驗(yàn)頻率公式的中值公式或數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行頻率（或重現(xiàn)期）估計(jì)，建議將第一項(xiàng)（第二項(xiàng)）、末項(xiàng)的頻率（或重現(xiàn)期）作為分析估算的參考值。

參考文獻(xiàn)：

［１］ 劉光文．泛論水文計(jì)算誤差［Ｊ］．水文，１９９２，１２（２）：１－１３．

［２］ 劉光文．水文頻率計(jì)算評(píng)議［Ｊ］．水文，１９８６，６（３）：１０－１８．

［３］ 郭生練，葉守澤．論水文計(jì)算中的經(jīng)驗(yàn)頻率公式［Ｊ］．武漢水利電力學(xué)院學(xué)報(bào)，１９９２，２５（２）：３８－４５．

【責(zé)任編輯 張 帥】