林良克

數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生在學(xué)習(xí)中循序漸進(jìn)地形成的一種解題思路與方式，從小學(xué)開(kāi)始就是行之有效的方法。小學(xué)階段以數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的形成，是學(xué)生思想形成的重要階段。數(shù)形結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一把鑰匙，往往能將學(xué)生認(rèn)為的復(fù)雜的、不會(huì)做的題目簡(jiǎn)單化。教師在教學(xué)中不能局限于教材的講授，而是更多地將解題思路和解題方法教給學(xué)生。

一、數(shù)形結(jié)合思想的含義

在整個(gè)數(shù)學(xué)思想體系中，“數(shù)”與“形”的結(jié)合是非常有效的方法之一，是數(shù)學(xué)思想方法的一種，將數(shù)值與圖形結(jié)合起來(lái)，探索它們之間的關(guān)聯(lián)。這種方法在特定條件下可以實(shí)現(xiàn)數(shù)字與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化。

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)結(jié)合小學(xué)生的理解方式和身心發(fā)展特點(diǎn)來(lái)分析數(shù)學(xué)的抽象性特征，將“數(shù)”與“形”的教學(xué)思想以有效的方式講授給學(xué)生，幫助學(xué)生理解數(shù)形方法。如當(dāng)教師講解一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在面對(duì)相對(duì)復(fù)雜一些的難題時(shí)有一種不知道從何下手的困惑，此時(shí)教師就可以借助數(shù)形結(jié)合方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。

數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)方法，它利用數(shù)的精確性來(lái)揭示形的特征，或者利用幾何的直觀性來(lái)揭示數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。比如，在數(shù)學(xué)問(wèn)題中，當(dāng)遇到形狀較為單一的問(wèn)題，直接觀察卻看不出任何規(guī)律時(shí)，就必須對(duì)邊長(zhǎng)、夾角等形狀進(jìn)行賦值，以此來(lái)揭示其中的規(guī)律，從而使數(shù)學(xué)思想更有效地應(yīng)用于實(shí)際情況中。“以數(shù)解形”是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方式。

華羅庚曾指出：“數(shù)形合璧，百般皆佳，分隔開(kāi)來(lái)，萬(wàn)事皆休矣！”這句話表達(dá)了數(shù)學(xué)家們對(duì)事物屬性的深刻理解，即一個(gè)一個(gè)的數(shù)字和形狀能夠用來(lái)描述一個(gè)事物的復(fù)雜性。由于“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，數(shù)形組合能夠?qū)⒎彪s的計(jì)算數(shù)學(xué)定義和數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯拥膸缀螌W(xué)形狀以及位置關(guān)系，從而有效地解決抽象問(wèn)題，并且有效地優(yōu)化解題方法。

二、數(shù)形結(jié)合思想的重要性與必要性

數(shù)學(xué)思想不僅在中學(xué)存在，在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中也在廣泛運(yùn)用。首先，圖解的直觀性，如線段圖等，有助于學(xué)生較好地理解和掌握知識(shí)點(diǎn)，從而有效解題；其次，小學(xué)階段，數(shù)軸、方位、正反比例關(guān)系圖等數(shù)軸與平面直角坐標(biāo)系的滲透，可以讓學(xué)生在代數(shù)與幾何學(xué)的結(jié)合中得到體驗(yàn)；再次，數(shù)形結(jié)合思維也可以表現(xiàn)在數(shù)據(jù)圖本身以及幾何概念建模中；最后，在運(yùn)算方向、周長(zhǎng)、表面、尺寸等幾何難題時(shí)，可以采用代數(shù)法來(lái)求解。

（一）對(duì)學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)知識(shí)有幫助

將數(shù)學(xué)知識(shí)與形象思維相結(jié)合，能夠使抽象的概念變得直觀清晰、表象化，讓學(xué)生不再局限于內(nèi)容，而是能夠更深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題在學(xué)生的認(rèn)知中變得簡(jiǎn)單。

（二）提高學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力，對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)是十分有利的

數(shù)學(xué)是一門(mén)極具邏輯性的學(xué)科，無(wú)處不在，包含許多深?yuàn)W的知識(shí)，這些知識(shí)可能會(huì)讓學(xué)生感到枯燥乏味，無(wú)法深入探究，更不用說(shuō)產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣了。這種兩難的局面可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用得到有效改變。

將抽象的數(shù)學(xué)概念與形象的圖形相結(jié)合，可以將題目中的特定條件轉(zhuǎn)化為有趣的數(shù)量關(guān)系圖，從而啟發(fā)學(xué)生的思維，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，讓其更深入地體驗(yàn)數(shù)學(xué)的神奇魅力。

（三）有益于幫助學(xué)生樹(shù)立良好的空間觀念

數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)教材中運(yùn)用得非常廣泛，但數(shù)學(xué)思想往往是隱性的，一般需要教師去挖掘，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)。

例如，小學(xué)各年級(jí)學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)圖表就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)圖表將凌亂的數(shù)據(jù)直觀地表示出來(lái)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，便于分析和決策，幫助學(xué)生更好地建立空間觀念。

三、數(shù)形結(jié)合思想滲透途徑

（一）仔細(xì)閱讀課本，深入探究數(shù)學(xué)和形式邏輯思維背后的知識(shí)要點(diǎn)

教學(xué)的重要目標(biāo)之一是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感知能力，而將數(shù)字與形狀結(jié)合起來(lái)是一種有效的方法。因此，教師應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察形狀，并在課堂上培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)感知能力。

在教學(xué)過(guò)程中，教師單一地給學(xué)生灌輸知識(shí)，學(xué)生可能在學(xué)習(xí)和理解上感覺(jué)費(fèi)力、難懂，不利于學(xué)生的掌握，因此教師要做的就是運(yùn)用數(shù)形的結(jié)合去啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)。

（二）設(shè)計(jì)生動(dòng)活潑、寓教于樂(lè)的教學(xué)情境，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的自覺(jué)性

教師應(yīng)該知道，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中難免會(huì)碰到繁雜的綜合數(shù)學(xué)難題，但是只要能夠恰當(dāng)?shù)匕l(fā)揮繪圖的作用，將原本不易理解的綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的形象，那么就可以啟發(fā)學(xué)生的思維，讓他們更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。比如，在“分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)中，教師可以為學(xué)生出一道題目：“1/2+1/4+1/8+1/16=？”以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的掌握與運(yùn)用。經(jīng)過(guò)觀察可知，大多數(shù)學(xué)生第一時(shí)間會(huì)將分母變成16，然后相加，最終得出15/16的結(jié)果。然而，也有少數(shù)學(xué)生會(huì)將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，最終得出0.9375的結(jié)果。這時(shí)教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：是否有更簡(jiǎn)單有效的解決方案？如果學(xué)生沒(méi)有舉手回答，教師可以引導(dǎo)其通過(guò)畫(huà)方塊來(lái)解決問(wèn)題。教師提出問(wèn)題：“如果可以，那么這個(gè)方塊應(yīng)該怎樣表示呢？”

當(dāng)學(xué)生觀察圖形時(shí)，會(huì)看到影子區(qū)域的范圍恰好是方塊的表面減去空白區(qū)域，這正是題目中的： 1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=15/16。教師引導(dǎo)學(xué)生找到了一個(gè)有趣的規(guī)律：當(dāng)某個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是1時(shí)，它的分母是前一個(gè)分?jǐn)?shù)分母的兩倍，只要用1減去最后一個(gè)分?jǐn)?shù)，就可以快速解決這道計(jì)算題。將數(shù)學(xué)計(jì)算轉(zhuǎn)換為形式，學(xué)生可以迅速掌握解題思路，從而更有效地完成教學(xué)任務(wù)（如圖1所示）。

（三）數(shù)形結(jié)合意識(shí)在生活實(shí)踐與各科學(xué)習(xí)中培養(yǎng)

數(shù)學(xué)是一門(mén)源自生活的學(xué)科，在日常生活中無(wú)處不在。如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，是教師在教學(xué)中需要思考和實(shí)踐的問(wèn)題。

在數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，學(xué)生們對(duì)算理知識(shí)點(diǎn)的了解仍然不夠深入，為此，教師應(yīng)該采用數(shù)形融合的方法，以深化學(xué)生對(duì)計(jì)算規(guī)則的認(rèn)知，這不僅是一種有效的數(shù)學(xué)思維，也是教師在教學(xué)改革中必不可少的一種手段。教師可以制作生動(dòng)的課件，幫助學(xué)生從不同的視角來(lái)了解數(shù)學(xué)概念，并通過(guò)觀察進(jìn)行深入探究。在幾何課程中，教師需要確保每個(gè)學(xué)生能夠獨(dú)立理解問(wèn)題中的已知條件，并建立科學(xué)的求解思想。

近年來(lái)，教育教學(xué)內(nèi)容與方式都在不斷地創(chuàng)新與發(fā)展，教材也在不斷地完善，在這種情況下，教師不能只運(yùn)用文字的方式教導(dǎo)學(xué)生，圖形思想與方法也要融會(huì)貫通到教學(xué)中，以更好地培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、發(fā)散思維以及對(duì)圖形的觀察力。這樣，學(xué)生才能清楚地了解幾何方程是怎樣生成的，并運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆绞酵瓿捎?jì)算。通過(guò)這些努力，學(xué)生可以養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，為今后的幾何知識(shí)探究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。同樣，這也能提高他們的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，因?yàn)槟承╇[性規(guī)律通常在數(shù)學(xué)教學(xué)中難以找到。將數(shù)學(xué)概念與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，教師可以為學(xué)生展示抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律，從而讓學(xué)生獲得更深刻的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生明確數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，以便讓他們能夠更好地理解“數(shù)倍關(guān)系”這一教學(xué)內(nèi)容。然而，由于學(xué)生抽象思維發(fā)展較慢，很難通過(guò)教師的指導(dǎo)，將數(shù)倍關(guān)系的數(shù)字記住，因此教師應(yīng)該采取更有效的方法，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。在小學(xué)的圖形學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)學(xué)到很多，如分?jǐn)?shù)的大小、加減乘除運(yùn)算中出現(xiàn)的小數(shù)、整數(shù)等。

四、在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的方式

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用“以數(shù)化形”

例如，在“萬(wàn)以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”課堂教學(xué)上，為了讓學(xué)生更好地理解數(shù)量的概念，教師可以采用線段圖的方式進(jìn)行教學(xué)。首先，假設(shè)A市的人口為30萬(wàn)，畫(huà)出一條線段；其次，畫(huà)出若干倍于A市人口的B市人口數(shù)量的線段；最后，讓學(xué)生估算B市的人口數(shù)量。當(dāng)學(xué)生給出80萬(wàn)、90萬(wàn)、100萬(wàn)等數(shù)字時(shí)，教師根據(jù)C市的已知人口數(shù)量繪制一張線段圖，以此來(lái)表示B市和C市之間的關(guān)系。通過(guò)這張圖，學(xué)生可以初步建立三者之間的關(guān)系，并且可以根據(jù)A市和C市的線段長(zhǎng)度來(lái)推算出B市和C市的人口數(shù)量。通過(guò)這種方式，不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)感知，還能在繪制圖表的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和估算能力。

（二）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用“以形變量”

幾何知識(shí)雖然抽象難懂，但有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)思想，并且可以通過(guò)圖形直觀地表達(dá)出來(lái)。因此，在講授計(jì)算時(shí)，教師應(yīng)該努力幫助學(xué)生理解算理，讓他們可以更好地掌握算法，如擺小棒、畫(huà)幾何平面圖形等。在教學(xué)“分桃子”一課時(shí)，教師指導(dǎo)學(xué)生使用68根小木棍進(jìn)行操作：將小木棍平均分為兩份，每份30根；將剩余的8根平均分為兩份，每份4根。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生去探索筆算的方法呢？為了讓學(xué)生更好地理解這些知識(shí)，教師可以建議學(xué)生采用小棒操作的方式，將形助數(shù)中的“形”有效地運(yùn)用到小學(xué)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中。學(xué)生討論了幾個(gè)過(guò)程，首先，以捆為單位分割，每捆為10根，即去掉十位上的6，分成3捆，正好分完，十位上寫(xiě)上3；其次，剩余8根，再以份為單位分割，每份4根，個(gè)位上寫(xiě)4。通過(guò)播放課件，將分的過(guò)程與豎式書(shū)寫(xiě)的過(guò)程一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生從直觀的算理中抽象出計(jì)算方法，讓他們自然而然地掌握抽象規(guī)律，并充分體驗(yàn)這個(gè)過(guò)渡和演變的過(guò)程。新課程強(qiáng)調(diào)：“計(jì)算教學(xué)不僅要讓學(xué)生對(duì)算理有直觀認(rèn)識(shí)，更要讓學(xué)生從直觀的算理到抽象的方法，讓他們能夠更好地理解和掌握計(jì)算技能?！苯處熗ㄟ^(guò)直觀的操作幫助學(xué)生解決了計(jì)算中的挑戰(zhàn)，體現(xiàn)了以“形”來(lái)教學(xué)數(shù)學(xué)的重要性。學(xué)生能夠從直觀的圖表中抽象出縱向計(jì)算的過(guò)程，在今后的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察直觀圖來(lái)反思整個(gè)過(guò)程，探究哪一部分與豎式計(jì)算有關(guān)，從而更好地理解直觀圖與豎式計(jì)算之間的內(nèi)在聯(lián)系。采用豎式計(jì)算結(jié)果，學(xué)生可以透過(guò)直接圖表來(lái)更好地理解概念，從而更清晰地掌握知識(shí)，既知其然，又知其所以然。

（三）小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用“數(shù)形互助”

在形成數(shù)形結(jié)合思想的過(guò)程中，教師的作用是非常關(guān)鍵的，既要把例題講得生動(dòng)易懂，又要在整個(gè)解題思路中體現(xiàn)使用數(shù)形結(jié)合思路解題的過(guò)程，具體包括“數(shù)”與“形”的關(guān)系。通過(guò)密切的合作關(guān)系，探索數(shù)形結(jié)合的思路，可以幫助學(xué)生從最容易理解的角度出發(fā)，更好地解決問(wèn)題。例如，計(jì)算1+2+3+4+……+97+98+99+100=？這樣直接讓學(xué)生去計(jì)算是很難的，會(huì)耗費(fèi)很多時(shí)間。但是教師只要稍微引導(dǎo)一下，就能讓復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易懂。教師應(yīng)該不斷引導(dǎo)學(xué)生思考，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并幫助學(xué)生在思考問(wèn)題時(shí)拓展思路。從1+99=100到2+98=100…49+51=100，可以推出一個(gè)公式，其中包含50個(gè)100和1個(gè)50，因此，原來(lái)的式子可以被簡(jiǎn)化為100×50+50=，這樣就可以解決問(wèn)題了。顯然，這種思維模式比以往更抽象，說(shuō)明學(xué)生正在逐步將思維轉(zhuǎn)化為具體形象。

將數(shù)學(xué)與形式相結(jié)合，將問(wèn)題列舉出來(lái)，采用列表或排列的方式，使問(wèn)題更直觀，更容易找到問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，從而讓學(xué)生有一個(gè)明確的目標(biāo)，更好地理解問(wèn)題，有助于培養(yǎng)高級(jí)思維模式，為今后的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和日常生活奠定基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)是一門(mén)以數(shù)形結(jié)合為基礎(chǔ)的學(xué)科，能夠幫助學(xué)生鍛煉思維能力，讓學(xué)生更好地理解世界。將數(shù)學(xué)與形式相結(jié)合，學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)概念，并利用它們之間的和諧統(tǒng)一來(lái)解決問(wèn)題。深入探索數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)，準(zhǔn)確地將形象思維與抽象思維結(jié)合起來(lái)，使學(xué)習(xí)中的問(wèn)題得到有效解決，從而得到完美的結(jié)果。

五、結(jié)語(yǔ)

總而言之，數(shù)形結(jié)合為學(xué)生搭建了一座具體而又抽象的橋梁，不僅能夠從多個(gè)角度和側(cè)面培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，而且具有深遠(yuǎn)的影響，隨著學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解越來(lái)越深入，其作用將會(huì)變得更顯著。運(yùn)用數(shù)學(xué)和形式邏輯的思維方法，能夠拓展學(xué)生的思維，進(jìn)一步提高其探究水平，不僅能夠改變題海戰(zhàn)術(shù)學(xué)習(xí)方式，還能夠減輕學(xué)生的壓力，以一種更容易接受的方式，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中感到快樂(lè)，既學(xué)到了專(zhuān)業(yè)知識(shí)，又保證了學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，從而避免機(jī)械化地學(xué)習(xí)，讓教學(xué)更有價(jià)值和意義。