卡爾曼濾波法在大跨度波形鋼腹板剛構(gòu)橋施工變形控制中應(yīng)用研究

楊勃 陳艷茹 張鵬

摘 要： 大跨度連續(xù)鋼腹板剛構(gòu)橋懸臂施工中，由于跨度大控制不準(zhǔn)確，容易造成線性偏離設(shè)計(jì)要求，或者合攏困難等工程問題。所以在施工過程中，對(duì)橋梁施工的線性進(jìn)行控制進(jìn)行十分必要的深入研究，結(jié)合XX連續(xù)T型鋼腹板剛構(gòu)橋的懸臂施工監(jiān)控量測(cè)方案，采用卡爾曼濾波法來分析連續(xù)T型鋼腹板剛構(gòu)橋懸臂施工線性控制中誤差的分析，通過數(shù)據(jù)分析和詳細(xì)的演算并結(jié)合工程實(shí)際來驗(yàn)證施工控制誤差調(diào)整的常用方法和原理，同時(shí)也為類型工程施工控制提供有效的借鑒經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞： T型剛構(gòu)；線性控制；鋼腹板；卡爾曼濾波法

中圖分類號(hào)： TQ050.4+1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ?文章編號(hào)： 1001-5922（2023）08-0166-05

Application research of kalman’s filtering method on deformation control of rigid frame bridge with long span corrugated steel web

YANG Bo1，CHEN Yanru1，ZHANG Peng2

（1.Shaanxi Institute of Railway Engineering Technology，Weinan 714000，Shaanxi China；

2.China Rail Way First Survey and Designin Stitute Group Co.，Ltd.，Xi’an 710043，China）

Abstract： Due to the large span and inaccurate control of Long-span continuous rigid frame bridge in cantilever construction，it is prone to cause the linear deviate from the design requirements，and engineering problems like folding difficulty.So in large span continuous rigid frame bridge construction process，it’s necessary to perform in-depth research of the linear of bridge construction control.Combined with the cantilever construction monitoring and measurement scheme of continuous steel web rigid frame bridge，the Kalman filter method was used to analyze the error analysis in the linear control of continuous steel web rigid frame bridge construction，and the common methods and principles of construction control error adjustment were verified through data analysis and detailed calculation combined with the engineering practice，which also provided effective reference experience for the construction control of type engineering.

Key words： T rigid frame；linear control； cantilever construction； kalman’s filtering method

卡爾曼濾波法參數(shù)估計(jì)法很容易推廣到非線性系統(tǒng)中去，成為推廣的卡爾曼參數(shù)估計(jì)法。預(yù)應(yīng)力混凝土剛構(gòu)橋隨著跨徑逐漸的增大，采用分段施工后，為了滿足成橋線形要求必須對(duì)施工過程進(jìn)行有效控制，在施工控制中，根據(jù)計(jì)算條件模擬施工過程準(zhǔn)確計(jì)算每個(gè)施工階段的預(yù)拱度，采用科學(xué)方法對(duì)施工過程各種誤差進(jìn)行糾偏和調(diào)整。 預(yù)拱度的計(jì)算可以按照施工順序采用結(jié)構(gòu)計(jì)算軟件分析獲得，然而對(duì)于施工誤差的控制，測(cè)量，評(píng)價(jià)，調(diào)整也很重要，橋梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)和變形數(shù)據(jù)狀態(tài)基本是采用離散的數(shù)據(jù)序列表示（例如：標(biāo)高、應(yīng)力等），所以我們?cè)谑┕た刂浦惺褂玫氖请x散線性數(shù)據(jù)量系統(tǒng)的卡爾曼濾波法[1]。尤其對(duì)于鋼腹板剛構(gòu)橋梁的施工控制研究，大氣溫度、焊接溫度對(duì)于鋼腹板變形影響比較大。

1 建立Kalman濾波模型

1.1 原理

在忽略控制力條件狀況下，系統(tǒng)的狀態(tài)方程以及觀測(cè)方程調(diào)整為：

[JB（{]x k+1=G k+1x k+w k

Z k=C kx k+v k ?（1）

式中：

w k — n 維狀態(tài)向量；

G K+1—n×n 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；

w k—p ?維隨機(jī)干擾向量；

z k — m 維觀測(cè)向量；

C K — m×n 觀測(cè)矩陣；

v k — m 維觀測(cè)噪聲向量。

假設(shè)初始狀態(tài) x 0 的統(tǒng)計(jì)特性為

E（x 0）=m 0

E （x 0－m 0）（x 0－m 0）T =P 0

且 x 0與 w k 、 v k 均互不相關(guān)，即

E （x 0－m 0）wT k =0

E （x 0－m 0）vT k =0

現(xiàn)在用遞進(jìn)推演的方式來表達(dá)出每個(gè)時(shí)間點(diǎn) k 在取得的觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上所做出的狀態(tài) x k 的估計(jì) x ?^ ?k 。這樣，在 x ?^ ?0 ＝ m 0 的基礎(chǔ)上，逐次令 k= 1，2，…就能用遞推公式求出各個(gè)時(shí)刻的估計(jì)值 x ?^ ?1 ， x ?^ ?2 ，…。

基本離散線性系統(tǒng)

主要適用于可調(diào)變量極少的大跨徑橋梁結(jié)構(gòu)中，所以它很適合于懸臂施工的大跨徑預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)剛構(gòu)橋。具體的關(guān)系曼濾波線形計(jì)算演示流程如圖1所示。

當(dāng)結(jié)構(gòu)某一節(jié)段施工完成后，無論結(jié)構(gòu)參數(shù)處于什么樣的狀態(tài)（比如標(biāo)高），我們基本上沒有辦法來改變本施工階段的結(jié)構(gòu)標(biāo)高。我們所能做的是：根據(jù)本階段的標(biāo)高誤差來預(yù)測(cè)或估計(jì)出下一節(jié)段的立模標(biāo)高，使隨后的結(jié)構(gòu)實(shí)際狀態(tài)符合結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)理想狀態(tài)，這就是基本離散線性系統(tǒng)卡爾曼濾波的實(shí)際意義。

1.2 建立狀態(tài)方程

對(duì)于懸臂施工的大跨徑預(yù)應(yīng)力混凝土鋼腹板連續(xù)T型剛構(gòu)橋而言，可以把鋼腹板連續(xù)T型剛構(gòu)橋?qū)ΨQ的大小里程方向的預(yù)留拱度值作為狀態(tài)變量，對(duì)于已經(jīng)施工階段 k 及準(zhǔn)備下一段施工階段 k+1 ，則有狀態(tài)方程：

x k+1=G k＋1x kw k

（2）

式中： G k+1 為 k+1 階段與 k 階段懸臂段預(yù)留拱度計(jì)算值之比，即

G k+1=x k＋1/x k

（3）

因?yàn)橐呀?jīng)澆筑梁段的預(yù)留拱度值可以現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)，所以才有下列觀測(cè)方程：

Z k=X k＋v k

（4）

1.3 濾波方程的解

比較式（1）及式（4），可知 C k=I （單位矩陣），所以卡爾曼濾波求解遞推公式則演變?yōu)椋?/p>

1）濾波算法

X ?^ ?k+1=X ?^ ?k＋1/k＋K k+1（Z k+1－X ?^ ?k） ??（5）

2）預(yù)測(cè)算法

X ?^ ?k+1/k=G k＋1，kX k ??（6）

3）濾波增益

K k+1=P k+1/k（C k+1P k+1/kCT k+1+R k+1）－1

（7）

4）濾波誤差協(xié)方差

P k+1=（I-K k+1C k+1）P k+1/k

（8）

5）預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差

P k+1/k=G k+1，kP kGT k+1，k+Q k

（9）

1.4 初始條件和誤差參數(shù)的確定

預(yù)應(yīng)力混凝土鋼腹板連續(xù)T型剛構(gòu)橋如果采用懸臂施工方法，計(jì)算預(yù)留的預(yù)拱度值和預(yù)留拱度差值的平方取為：

x（0/0）=x 0=0# 塊左右兩端理論計(jì)算預(yù)留拱度值， P（0/0）=P 0=0# 塊左右兩端理論計(jì)算預(yù)留拱度值與實(shí)測(cè)預(yù)留拱度值差值的平方[2]。為了得到各個(gè)階段的預(yù)測(cè)值與濾波值，還需定義 R k+1 及 Q k ：

R k+1= ??σ L（k+1）2 ?00 ?σ R（k+1）2

（10）

式中： σ L（k+1） ＝小里程懸臂端 k+1 階段預(yù)拱度的測(cè)量誤差的均方差；

σ R（k+1） ＝大里程懸臂端 k+1 階段預(yù)拱度的測(cè)量誤差的均方差6；

σ L（k+1） 、 σ R（k+1） 與測(cè)量?jī)x器的性能及懸臂長(zhǎng)度有關(guān)。

Q k= ??σ 1/L（k）2 ?00 ?σ 1/R（k）2

式中： σ 1/L（k） ＝小里程懸臂端 k 階段計(jì)算誤差的均方差；

σ 1/R（k） ＝大里程懸臂端 k 階段計(jì)算誤差的均方差；

σ 1/L（k） 、 σ 1/R（k） 表示計(jì)算誤差的范圍，難以準(zhǔn)確確定，可假定為懸臂長(zhǎng)度的線性函數(shù)或二次冪函數(shù)。

P 0，0 =P 0=0 塊大小里程兩端理論計(jì)算預(yù)留拱度差值的平方。在實(shí)際懸臂施工應(yīng)用過程中，可將懸臂端階段末預(yù)留拱度定義為狀態(tài)向量 x ，立模時(shí)的預(yù)留拱度可通過階段末的預(yù)留拱度加上相應(yīng)階段的撓度計(jì)算值獲得3，若將 k 階段預(yù)測(cè) k+1 階段立模時(shí)的預(yù)留拱度值記為 X0 k+1，k ，將 k+1 階段的端點(diǎn)撓度計(jì)算值記為 d k+1 ，則有

x0 k+1，k = x ?^ ?k+1，k + d k+1

（11）

對(duì)于系統(tǒng)誤差，可以通過懸臂端各節(jié)段的預(yù)留拱度濾波值 x ?^ ?與理論計(jì)算值 x 的趨勢(shì)比較分析確定，若濾波誤差 x′＝x-x ?^ ?帶有明顯的方向性如圖2的（a）、（b）、（c）、（d），則 x′ 為系統(tǒng)誤差；若 x′ 無明顯的方向性如圖3的（e）、（f），則 x′ 不是系統(tǒng)誤差，即系統(tǒng)誤差不明顯，可忽略不計(jì)[3]。

若存在系統(tǒng)誤差，則當(dāng)前階段（已完成階段）的系統(tǒng)誤差為：

x′ ?k=x k-x ?^ ?k

下一階段（待施工階段）的系統(tǒng)誤差預(yù)測(cè)值為：

x′ k+1=x k+1-x ?^ ?k+1，k

如果不存在系統(tǒng)誤差，則參數(shù)與預(yù)留拱度不需要進(jìn)行修正和調(diào)整，則可直接采用預(yù)測(cè)值 x ?^ ?k+1，k 下一階段的預(yù)留拱度值[4]。如果系統(tǒng)誤差存在，則參數(shù)和預(yù)留拱度調(diào)整需要進(jìn)行[5]。按照參數(shù)調(diào)整后，對(duì)下一階段預(yù)留拱度由原定理想狀態(tài)到隨后理想狀態(tài)的改變量 δ k+1 與系統(tǒng)誤差預(yù)測(cè)值 x′ k+1 的關(guān)系可分為以下兩種情況來確定調(diào)整量（ δT k+1 ）[6]：

δT k+1 確定以后，將其加入下式的右端項(xiàng)，可以得到下一階段立模時(shí)的預(yù)留拱度值[7]：

所以濾波誤差計(jì)算的幾種情況[8]如圖2所示。

x0 k+1/k = x ?^ ?k+1/k + d k+1 + δT k+1

1.5 各施工階段完成后預(yù)留標(biāo)高的確定

各個(gè)梁段預(yù)設(shè)標(biāo)高為： H a k =H s k +x k ；式中 H a k ?為 k 節(jié)點(diǎn)施工立模板標(biāo)高值， H s k ?為 k 節(jié)段觀測(cè)點(diǎn)的設(shè)計(jì)標(biāo)高值； x k 為 k 節(jié)段施工拋高值[9]。

2 Kalman濾波法在施工控制中的應(yīng)用

2.1 工程概況

XX2＃橋?yàn)?跨剛腹板T型連續(xù)剛構(gòu)體系。從左至右分別為8＃墩（連續(xù)墩），7＃墩高25 m（連續(xù)墩），6＃墩高63.5 m（剛墩），5＃墩高69.5 m（剛墩），4＃墩高69 m（剛墩），3＃高58 m（連續(xù)墩）?？鐝讲贾脼椋?4+3×90+54）m，具體如圖１所示。

2.2 設(shè)計(jì)資料和參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)

墩身截面均采用矩形空心墩，箱體采用單箱單室箱梁。腹板采用鋼腹波紋板結(jié)構(gòu)，根據(jù)受力要求，由腹板上下采用S-PBL加焊釘聯(lián)結(jié)。頂板橫向預(yù)應(yīng)力鋼束采用2φ15.2和3φ15.2鋼絞線。鋼絞線標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度 f tk =1 860 MPa，采用扁錨，單向交錯(cuò)張拉。梁底曲線為二次拋物線，其拋物線方程為 Y=－0.002 853 745 541x2 。

2.3 施工標(biāo)高計(jì)算結(jié)果

在大橋懸臂施工過程中，由于誤差影響，施工階段觀測(cè)點(diǎn)的標(biāo)高與理論計(jì)算值有一定的偏差，因此需要采取必要的方法進(jìn)行調(diào)整[10]。計(jì)算前0號(hào)段懸臂施工較短誤差很小，取 x 1 為0號(hào)觀測(cè)點(diǎn)的理想計(jì)算施工抬值，并取 P ?1=0。

對(duì)于 k =0即1號(hào)梁段施工標(biāo)高預(yù)測(cè)調(diào)整有：

x ?^ ?1/0=G 1，0x ?^ ?0 ?= ??1.661 00 1.563 ???0.0180.026 ??= ??0.0300.041

因此1號(hào)梁段施工抬高值進(jìn)一步優(yōu)化為：西安方向?yàn)?.030 m，平?jīng)龇较驗(yàn)?.041 m。0號(hào)段預(yù)設(shè)標(biāo)高分別為1 567.278 、1 567.276 m。

對(duì) k =1 即2號(hào)梁段施工標(biāo)高預(yù)測(cè)調(diào)整值有：

x ?^ ?k+1=x ?^ ?k＋1/k＋K k+1（Z k+1-x ?^ ?k）

本橋2號(hào)梁段預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差： P 2，1=G 2，1P 1GT 2，1，

+Q 1=Q 1= ?0.0152 00 0.0152

西安方向和平?jīng)鰬冶鄱说?階段預(yù)留拱度測(cè)量誤差的均方差，本項(xiàng)目根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定為 σ 1/L（1） = σ 1/R（1） =0.015；

本橋2號(hào)梁段濾波增益：

K k+1=P k+1/k（C k+1P k+1/kCT k+1+R k+1）－1

K 2=P 2，，1（C k+1P k+1/kCT k+1+R k+1）－1

西安方向和平?jīng)鰬冶鄱藨冶鄱?階段計(jì)算誤差

的均方差，本橋梁施工控制項(xiàng)目根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定為 σ L（1） = σ R（1） =0.006；

K 2=P 2，1（P 2，1+R 2）－1= ?0.0152 00 0.0152 ?×

0.0152 00 0.0152 + 0.0062 00 0.0062 ?－1

= ??0.862 00 0.862

x ?^ ?k+1=x ?^ ?k＋1/k＋K k+1（Z k+1-x ?^ ?k）=x ?k + 1，k +K k+1 x k+1+v k+1-x ?^ ?k

x ?^ ?2=x ?^ ?1，0＋K 2（Z 2-x ?^ ?1）=x ?2，1 +K 2× x 2+v 2-x ?^ ?1，0 ??=

0.0300.041 ?+ ?0.862 00 0.862 ???×

0.0460.049 ?+ ?0.0060.006 ?－ ?0.0300.041 ???= ??0.0460.053

1.46 00 1.385 ?=

1.46 00 1.385 ????0.0460.053 ??= ??0.0670.073

所以第2階段的施工計(jì)算抬高值為1.46，1.385，最優(yōu)一步預(yù)測(cè)值西安方向?yàn)?.067，平?jīng)龇较驗(yàn)?.073。因此1號(hào)梁段預(yù)設(shè)標(biāo)高為

1 567.254 、1 567.257 m。

XXX2＃橋?yàn)?跨T型連續(xù)剛構(gòu)體系采用懸臂施工控制，以實(shí)測(cè)參數(shù)預(yù)測(cè)施工預(yù)拱度的誤差調(diào)整值，采用掛籃施工，中跨采用12段對(duì)稱懸臂澆筑，邊跨跨采用12段對(duì)稱懸臂澆筑，跨中采用掛籃騎跨完成，邊跨采用支架現(xiàn)澆完成，全橋?qū)ΨQ懸臂澆筑施工結(jié)束后進(jìn)行邊跨合攏，然后進(jìn)行次中跨合攏，最后進(jìn)行中跨合攏順序完成。嚴(yán)格控制施工工藝和規(guī)范施工，確保施工線形與設(shè)計(jì)相吻合。由于懸臂越長(zhǎng)施工控制難度越大，所以施工線形控制過程中，由于篇幅有限只研究分析了西安和平?jīng)龇较?號(hào)橋墩跨中梁段各個(gè)施工階段標(biāo)高調(diào)整值。如表1所示。

由表1可知，懸臂施工12號(hào)梁段西安方向中跨合攏誤差為：0.162-0.156=0.006 m；平?jīng)龇较蛑锌绾蠑n誤差為：0.156-0.163=-0.009 m，都符合合攏的誤差要求。

從圖4和圖5可知，懸臂段越長(zhǎng)，相對(duì)誤差值就越大。不論是預(yù)拱度的觀測(cè)值還是預(yù)測(cè)值都會(huì)隨著施工推進(jìn)，懸臂段的伸長(zhǎng)，預(yù)拱度的數(shù)值明顯增加。其次，拋高調(diào)整值和施工安裝標(biāo)高調(diào)整值也會(huì)隨著增大，主要原因是懸臂段越長(zhǎng)對(duì)溫度和施工荷載、觀測(cè)要求等因素越敏感，系統(tǒng)誤差就越大，所以施工調(diào)整誤差數(shù)值也會(huì)增大。

另外，從圖4和圖5還可以看出，施工預(yù)測(cè)數(shù)值和觀測(cè)數(shù)值客觀上存在一定的誤差，所以采用合理的誤差分析方法，合適的觀測(cè)手段，準(zhǔn)確的建模手段等因素對(duì)懸臂施工控制線形控制精度的影響至關(guān)重要；其中誤差分析計(jì)算方法是彌補(bǔ)系統(tǒng)誤差有效手段，尤其在大跨度懸臂施工的連續(xù)剛構(gòu)橋由于分段數(shù)量較多，系統(tǒng)誤差會(huì)隨著施工階段數(shù)量的增多對(duì)施工線形控制的精度影響越演越烈，所以必須采用合理的方法處理誤差是施工控制需要的處理手段，所以采用卡爾曼濾波法在大跨連續(xù)梁橋施工控制中的應(yīng)用有十分重要的作用。

3 結(jié)語

（1）氣溫影響主梁標(biāo)高的測(cè)量放樣精度，因?yàn)槊刻鞖鉁卦缟舷挛缤砩隙际亲兓?，每個(gè)時(shí)刻梁體混凝土的溫差變化都不一致，導(dǎo)致測(cè)量放樣時(shí)候的梁體標(biāo)高和澆筑完混凝土?xí)r候的標(biāo)高存在一定的差異，影響施工標(biāo)高控制精度；

（2） 對(duì)于鋼腹板橋梁變形收到溫度的影響比較大，特別注意焊接高溫影響。選擇熱輸入低的焊接方法，如氬弧焊，控制層間溫度，分段對(duì)稱施焊，選用小參數(shù)的焊接規(guī)范；

（3） 懸臂段越長(zhǎng)，相對(duì)誤差值就越大，施工措施和溫度對(duì)其影響就越敏感，因此對(duì)于大跨度鋼腹板連續(xù)T型剛構(gòu)橋采用Kalman濾波法的誤差分析方法對(duì)每個(gè)施工段是十分必要的；

（4） 誤差調(diào)整一方面要根據(jù)設(shè)計(jì)要求進(jìn)行設(shè)計(jì)誤差調(diào)整，通過先前幾段施工來推算確定設(shè)計(jì)參數(shù)，根據(jù)計(jì)算模型利用軟件進(jìn)行確定。其次在施工誤差調(diào)整中，運(yùn)用Kalman濾波法的計(jì)算方法對(duì)后面的每個(gè)施工段施工誤差進(jìn)行合理的調(diào)整。經(jīng)過監(jiān)控組的認(rèn)真分析和努力，大橋監(jiān)控量測(cè)取得了很好效果，誤差控制在合理范圍內(nèi)，為今后類似工程提供了很好的經(jīng)驗(yàn)。

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