吳魏霞 李福蕓 張翱

摘 ?要：借助Fortran語言編程，結(jié)合Origin畫圖軟件，對(duì)大學(xué)物理中的重要知識(shí)點(diǎn)——簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成進(jìn)行模擬研究，重點(diǎn)分析討論了兩個(gè)同方向同頻率、同方向不同頻率、相互垂直方向同頻率及相互垂直方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成情況。通過與理論相比較，可以幫助學(xué)生加深理解不同條件下的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成原理及規(guī)律。此外，還可將Fortran語言用于大學(xué)物理其他知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)中，如受迫振動(dòng)、光的干涉、光的衍射等，將抽象的知識(shí)直觀化，以提高大學(xué)物理課程教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：大學(xué)物理；簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成；Fortran語言；Origin軟件

中圖分類號(hào)：TP39；G642 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? 文章編號(hào)：2096-4706（2023）14-0189-05

College Physics Teaching Based on Fortran Language

—Taking the Synthesis of Simple Harmonic Vibration as an Example

WU Weixia， LI Fuyun， ZHANG Ao

（School of Basic Education， Beijing Institute of Graphic Communication， Beijing ?102600， China）

Abstract： Based on Fortran language programming and Origin drawing software， the synthesis of simple harmonic vibration which is an important knowledge module in college physics is simulated and studied. The synthesis situation of two simple harmonic vibrations in four cases are emphatically analyzed and discussed， including the same frequency in the same direction， the different frequencies in the same direction， the same frequency in the perpendicular direction each other and the different frequencies in the perpendicular direction each other. By comparing with theory， the principle and law of synthesis of simple harmonic vibration under different conditions are more clearly defined for students. In addition， Fortran language can also be used in the teaching of other knowledge points of college physics to visualize abstract knowledge， such as forced vibration， light interference and diffraction. This can improve the teaching effect of college physics courses.

Keywords： college physics; synthesis of simple harmonic vibration; Fortran language; Origin software

0 ?引 ?言

振動(dòng)是自然界中常見的運(yùn)動(dòng)形式之一，而簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最基本、最簡(jiǎn)單的振動(dòng)形式。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成是大學(xué)物理課程中的重要知識(shí)點(diǎn)之一，對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的學(xué)習(xí)不僅可以幫助學(xué)生理解和分析機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)各種復(fù)雜振動(dòng)的本質(zhì)，而且對(duì)分析力學(xué)、電學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域中的其他復(fù)雜振動(dòng)本質(zhì)也有著重要的實(shí)際指導(dǎo)意義。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成情況復(fù)雜多樣，其理論也比較抽象，單純的理論學(xué)習(xí)很難使學(xué)生深刻理解其合成原理和規(guī)律。但如果借助計(jì)算機(jī)編程等信息技術(shù)手段來研究，就可以將抽象的理論直觀形象化，從而幫助學(xué)生加深理解，提高教學(xué)效果[1-6]。Fortran語言是一款具有強(qiáng)大計(jì)算功能的計(jì)算機(jī)語言，在數(shù)值、科學(xué)和工程計(jì)算領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。本文介紹將Fortran語言與Origin軟件相結(jié)合，來模擬研究四種基本情況下的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，即同方向同頻率、同方向不同頻率、相互垂直方向同頻率及相互垂直方向不同頻率下的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，以幫助學(xué)生加深理解簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成原理及規(guī)律，提高簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)效果。

1 ?同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

這里以兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)為例來研究其合成情況。設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程可表示為：

（1）

（2）

其中A1、A2分別表示兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅，f1、f2分別表示它們的頻率，φ1、φ2分別表示它們的初相位。則兩個(gè)振動(dòng)的合振動(dòng)為：

（3）

當(dāng)f1 = f2 = f時(shí)，則兩個(gè)振動(dòng)為同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。由（3）式可知，兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其中合振動(dòng)的振幅由下面式子決定：

（4）

下面用Fortran語言進(jìn)行編程，并將運(yùn)行數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin畫圖軟件中，來模擬兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。對(duì)應(yīng)的程序語句如下：

real A1，A2，phi1，phi2，f1，f2，x1，x2，x，t

pi=3.1415926

open（1，file='1.dat'，status='unknown'）

A1=1.0

A2=1.0

f1=50.0

f2=50.0

phi1=0.0

phi2=0.0

do 1 t=0，1，0.0005

x1=A1*cos（2.*pi*f1*t+phi1）

x2=A2*cos（2.*pi*f2*t+phi2）

x=x1+x2

write（1，*）t，x1，x2，x

write（*，*）t，x1，x2，x

continue

close（1）

stop

end

這里取f1 = f2 = 10 Hz，調(diào)節(jié)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幅度、初相位的值，將得到不同情況下的合成情況（如圖1和圖2所示）。

從圖1和圖2可以看出，兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，合振動(dòng)的頻率與兩個(gè)分振動(dòng)的頻率相同，而合振動(dòng)的振幅與兩個(gè)分振動(dòng)的初相位差（或相位差）緊密相關(guān)。當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)同相時(shí)，即初相位相等時(shí)，合振動(dòng)的振幅等于兩個(gè)分振動(dòng)的振幅之和（A = A1 + A2），此時(shí)合振動(dòng)振幅最大（如圖1所示）；當(dāng)它們反相時(shí)，即初相位相差π，合振動(dòng)的振幅等于兩個(gè)振動(dòng)的振幅之差的絕對(duì)值（A = | A1 - A2 |），此時(shí)合振動(dòng)振幅最?。ㄈ鐖D2（a）所示）；其他情況下，合振動(dòng)的振幅介于最大和最小之間（| A1 - A2 |＜A＜A1 + A2）（如圖2（b）和2（c）所示）。這些結(jié)果和規(guī)律與式（4）相符。

2 ?同方向不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)參與的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)是同方向的，但頻率不同，則兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成情況比兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成更為復(fù)雜。下面通過Fortran語言編程，并結(jié)合Origin畫圖軟件，研究?jī)蓚€(gè)振動(dòng)頻率不同時(shí)的合成情況（如圖3和圖4所示）。這里，由于程序語句同1，只需將參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)調(diào)節(jié)即可，故省略。

從上述模擬結(jié)果可以明顯看出，兩個(gè)同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但一般情況下仍然是周期性運(yùn)動(dòng)（如頻率比為整數(shù)時(shí)）。當(dāng)兩個(gè)振動(dòng)的頻率均較小時(shí)，合振動(dòng)的主周期是兩個(gè)分振動(dòng)周期的最小公倍數(shù)。如圖3（a）中，兩個(gè)分振動(dòng)的周期分別為T1 = 10/3 s，T2 = 10/5 s，則合振動(dòng)的主周期為T = 10 s；而圖3（b）中合振動(dòng)的主周期為T = 1 s。當(dāng)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率較大，且頻率之差較小，滿足f1 + f2?| f1 - f2 |時(shí)，合振動(dòng)的振幅表現(xiàn)出有規(guī)律的周期性加強(qiáng)和減弱的變化，這種現(xiàn)象稱為“拍”（如圖4所示）。

對(duì)于“拍”現(xiàn)象，設(shè)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅相等（A1 = A2 = A），初相位相等并均為零（φ1 = φ2 = 0）時(shí)，式（3）可化為：

（5）

從式（5）可看出，合振動(dòng)仍為周期性運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)頻率為，而 ?為合振動(dòng)的振幅，其變化頻率為f = f2 - f1，稱為拍頻。如圖4（a）中的拍頻為f = 12 Hz - 10 Hz = 2 Hz，而圖4（b）中的拍頻為f = 53 Hz - 50 Hz = 3 Hz。

3 ?相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

上面研究的是兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成情況，但如果兩個(gè)振動(dòng)的方向不同，如相互垂直，那么兩個(gè)振動(dòng)合成后又會(huì)有什么樣的規(guī)律呢？下面來具體研究。設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)參與的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)方向是相互垂直的，設(shè)分別為x、y方向，且頻率相同，則兩個(gè)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程可寫為：

x = A1cos （2πft + φ1） ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

y = A2cos （2πft + φ2） ? ? ? ? ? ? ? ? ? （7）

消去t，可得到它們的合振動(dòng)軌跡方程為：

（8）

可以看出，式（8）為一橢圓方程，其軌跡形狀由兩個(gè)振動(dòng)的振幅A1和A2，及相位差Δφ = φ2 - φ1的值決定。當(dāng)相位差Δφ = 0時(shí)，式（8）變?yōu)椤Ｕf明此時(shí)合振動(dòng)形成的軌跡是一條斜率為正且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，其斜率等于兩個(gè)分振動(dòng)的振幅之比，即k = A2 / A1。當(dāng)相位差Δφ = π時(shí)，，則合振動(dòng)軌跡為一條斜率為負(fù)（k = -A2 /A1）且通過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線。當(dāng)相位差Δφ = π/2時(shí)，式（8）變?yōu)椋?/p>

（9）

此時(shí)，合振動(dòng)軌跡為一正橢圓。當(dāng)A1 = A2時(shí)，式（9）為一圓方程。當(dāng)相位差Δφ取其他值時(shí)，合振動(dòng)軌跡為一般化橢圓。下面通過Fortran語言編程，再結(jié)合Origin畫圖來研究不同情況下兩個(gè)相互垂直、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。對(duì)應(yīng)的程序語句如下：

real A1，A2，phi1，phi2，f1，f2，x1，x2，x，t

pi=3.1415926

open（1，file='2.dat'，status='unknown'）

A1=1.0

A2=1.0

f1=10.0

f2=10.0

phi1=0.0

phi2=0.0

do 1 t=0，3，0.0001

x=A1*cos（2.*pi*f1*t+phi1）

y=A2*cos（2.*pi*f2*t+phi2）

write（1，*）x，y

write（*，*）x，y

1 ? continue

close（1）

end

stop

圖5為相互垂直且同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)在不同相位差時(shí)的合成軌跡。可以看出，合成軌跡為橢圓或直線，且在一個(gè)周期內(nèi)合成圖形連續(xù)變化，經(jīng)過一個(gè)整周期后，圖形重復(fù)上個(gè)周期的變化規(guī)律。

4 ?相互垂直不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

與上述情況相比，如果兩個(gè)相互垂直方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率不相等時(shí)，合成情況與頻率相等時(shí)相比更為復(fù)雜。當(dāng)兩個(gè)振動(dòng)的頻率比為一般非整數(shù)比時(shí)，其合成軌跡為不穩(wěn)定的，且沒有規(guī)律的圖形。但如果頻率比為整數(shù)比時(shí)，合成軌跡則為穩(wěn)定的閉合圖形，這些圖形稱為“李薩如圖”。下面利用Fortran語言，再結(jié)合Origin畫圖來模擬不同頻率比下在不同相位差時(shí)的李薩如圖。這里，由于程序語句同3，只需將參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)調(diào)節(jié)即可，故省略。圖6（a）～（d）分別為x、y兩個(gè)方向上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率比為1：2、2：3、3：4、4：5時(shí)的李薩如圖形。

可以看出，頻率比越大，形成的李薩如圖形的軌跡越復(fù)雜。但這些李薩如圖形有一個(gè)共同的規(guī)律，即頻率比等于兩個(gè)垂直方向上的切點(diǎn)數(shù)比。設(shè)李薩如圖形在x方向上有n個(gè)切點(diǎn)，在y方向上有m個(gè)切點(diǎn)，則fx ： fy = m：n。這里需要指出的是，李薩如圖形的形狀不僅與兩個(gè)分振動(dòng)的頻率之比、振幅之比、相位差有關(guān)，而且還與兩個(gè)分振動(dòng)的初相位有關(guān)[7]。

5 ?結(jié) ?論

本文借助Fortran語言編程，并結(jié)合Origin軟件畫圖對(duì)大學(xué)物理中的重要知識(shí)點(diǎn)——簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成進(jìn)行了模擬研究，重點(diǎn)分析討論了兩個(gè)同方向同頻率、同方向不同頻率、垂直方向同頻率及垂直方向不同頻率幾種基本情況下簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。通過將模擬結(jié)果與理論相比較，使學(xué)生更加明晰簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成原理及規(guī)律。此外，還可以將Fortran語言和Origin軟件應(yīng)用擴(kuò)展到大學(xué)物理中的其他知識(shí)點(diǎn)教學(xué)中，如受迫振動(dòng)、光的干涉、光的衍射的模擬等，幫助學(xué)生對(duì)抽象化的理論知識(shí)進(jìn)行直觀化的理解，這對(duì)大學(xué)物理的教學(xué)效果將會(huì)起到積極的促進(jìn)作用。

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作者簡(jiǎn)介：吳魏霞（1978—），女，漢族，河北邯鄲人，副教授，博士，研究方向：物理教學(xué)和理論物理；李福蕓（1968—），女，漢族，河北保定人，副教授，碩士，研究方向：物理教學(xué)；張翱（1979—），男，漢族，山西大同人，講師，博士，研究方向：物理教學(xué)和光學(xué)。