基于力學(xué)超材料的柔性機(jī)械臂設(shè)計(jì)技術(shù)

程基彬 戴 寧 郭 培 熊繼源 葉世偉 程筱勝

南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院,南京,210016

0 引言

傳統(tǒng)的工業(yè)剛性機(jī)械臂結(jié)構(gòu)一般由幾段剛性結(jié)構(gòu)和關(guān)節(jié)組成,關(guān)節(jié)的數(shù)量決定了機(jī)械臂的自由度大小。但在一些特殊的工作環(huán)境中(如復(fù)雜內(nèi)腔的檢視[1]、人體內(nèi)的微創(chuàng)手術(shù)[2]、航天器在空間的操作[3-4]等),連續(xù)柔性機(jī)械臂可以作為一個(gè)更好的解決方案[5]。連續(xù)柔性機(jī)械臂因其更多的運(yùn)動(dòng)學(xué)自由度[6-8]和連續(xù)性,在需要大變形和空間受限特定工作環(huán)境下可以完成更多的工作。

柔性機(jī)械臂在國內(nèi)外已被大量設(shè)計(jì)和研究。ROBERTSON等[9]設(shè)計(jì)了一種控制良好的真空動(dòng)力軟體氣動(dòng)執(zhí)行器,作為軟體機(jī)器人或柔性機(jī)械臂的單元。DEASHAPRIYA等[10]設(shè)計(jì)了一種多節(jié)線控柔性機(jī)械臂,研究了該機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。DONG等[11]提出了一種由多節(jié)梯度變化的執(zhí)行器組成的柔性機(jī)械臂,并研究實(shí)現(xiàn)了新的控制算法。JIANG等[5]提出了一種二維多段可伸縮柔性機(jī)械臂的控制算法,通過梯度下降法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來保證所提算法的準(zhǔn)確性和有效性。范需等[12]提出了一種基于分段常曲率假設(shè)的氣動(dòng)軟體機(jī)器人變形預(yù)測方法。QIN等[6]設(shè)計(jì)了一種繩索驅(qū)動(dòng)的連續(xù)關(guān)節(jié)仿生蛇形連續(xù)機(jī)器人,進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、軌跡規(guī)劃和負(fù)載能力測試。

常見的柔性機(jī)械臂結(jié)構(gòu)包含剛性結(jié)構(gòu)加活動(dòng)關(guān)節(jié)和波紋管類的彈性結(jié)構(gòu)。力學(xué)超材料是一種人工結(jié)構(gòu),其力學(xué)性能由其結(jié)構(gòu)而非組成來定義[13],由于其性能獨(dú)特且可編程設(shè)計(jì),因此可以作為柔性機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)單元。GREGG等[14]設(shè)計(jì)了一種超輕晶格結(jié)構(gòu)及其復(fù)材制造工藝,探究了該結(jié)構(gòu)的性能。CRAMER團(tuán)隊(duì)[15-17]和JENETT團(tuán)隊(duì)[18-21]也進(jìn)行了相關(guān)研究,具體如下:文獻(xiàn)[15]基于超輕晶格結(jié)構(gòu)提出了一種可編程的數(shù)字變形機(jī)翼設(shè)計(jì)方法并應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域;文獻(xiàn)[16]研究了超輕晶格結(jié)構(gòu)的彈性變形和編程裝配,實(shí)現(xiàn)了機(jī)翼的各向異性和整體主動(dòng)變形;文獻(xiàn)[17]提出了一種基于超材料的商用飛機(jī)級(jí)別大尺寸離散晶格機(jī)翼的分析方法,并且實(shí)現(xiàn)了有效的數(shù)值模擬;文獻(xiàn)[18]提出了一種通過模塊構(gòu)建的可逆裝配體實(shí)現(xiàn)主動(dòng)變形的方法,設(shè)計(jì)了具有良好空氣動(dòng)力學(xué)特性的主動(dòng)變形機(jī)翼;文獻(xiàn)[19]提出了一種可組裝的離散力學(xué)超材料構(gòu)建系統(tǒng),設(shè)計(jì)了四種力學(xué)超材料并完成其性能的研究;文獻(xiàn)[20]對(duì)大規(guī)模的胞元組裝自動(dòng)化系統(tǒng)進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)[21]通過各向異性的可組裝力學(xué)超材料設(shè)計(jì)了一根可變性梁,可作為蛇形機(jī)器人的主體在水中實(shí)現(xiàn)游動(dòng)。

綜上所述,本文將力學(xué)超材料和柔性機(jī)械臂兩者結(jié)合,研究以力學(xué)超材料為結(jié)構(gòu)主體的柔性機(jī)械臂(以下簡稱柔性臂)設(shè)計(jì)技術(shù)。本文通過柔性臂單元的結(jié)構(gòu)和分段常曲率假設(shè),建立了胞元組的變形模型和變形參數(shù)的計(jì)算方法,得到了單節(jié)和多節(jié)的柔性臂單元變形預(yù)測模型,最后通過實(shí)驗(yàn)對(duì)預(yù)測模型進(jìn)行了驗(yàn)證,完成了預(yù)定的彎曲角度和空間的檢視。

1 技術(shù)路線

本文以三維力學(xué)超材料單胞為基礎(chǔ),構(gòu)建柔性臂的結(jié)構(gòu)單元,闡明驅(qū)動(dòng)原理;柔性臂結(jié)合了分段常曲率假設(shè),進(jìn)行了以疊加為核心的分段變形建模,進(jìn)一步提出了胞元組的變形模型;通過變形數(shù)學(xué)模型得到了單節(jié)柔性臂單元的變形預(yù)測模型,進(jìn)一步提出了多節(jié)柔性臂單元的疊加變形預(yù)測模型;結(jié)合控制補(bǔ)償策略等實(shí)驗(yàn)手段得到了實(shí)物實(shí)驗(yàn)結(jié)果;對(duì)比分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果和模型預(yù)測結(jié)果,從而驗(yàn)證預(yù)測的可用性。綜上,形成了圖 1所示的技術(shù)路線。

圖1 技術(shù)路線

2 柔性臂單元數(shù)學(xué)模型

2.1 柔性臂結(jié)構(gòu)及驅(qū)動(dòng)原理

柔性臂結(jié)構(gòu)是由多個(gè)力學(xué)超材料的胞元組成,每個(gè)胞元由六片二維組元組裝而成,如圖2所示。二維組元有彈性 (橙色,零泊松比) 組元和剛性(灰色,正泊松比)組元兩種。相同組元組裝單胞的力學(xué)性能在正交方向上是一致均勻的,如圖2a和圖2d所示,其中圖2a所示為零泊松比(彈性)胞元,圖2d所示為正泊松比(剛性)胞元?；旌蠁伟牧W(xué)性能表現(xiàn)出正交各向異性,如圖2b和圖2c所示。不同特性單胞組成的胞元組可以實(shí)現(xiàn)非均勻的變形。

(a)彈性胞元 (b)雙向混合胞元 (c)單向混合胞元 (d)剛性胞元圖2 力學(xué)超材料胞元圖

對(duì)平面內(nèi)的彎曲變形進(jìn)行研究,選用圖2c所示的單向混合胞元進(jìn)行組合成為單節(jié)胞元組,如圖2所示?；旌习托薷牡膭傂园山M成單節(jié)柔性臂單元。剛性胞元內(nèi)置一個(gè)驅(qū)動(dòng)器,以提供柔性臂單元變形的驅(qū)動(dòng)力,通過傳力機(jī)構(gòu)將驅(qū)動(dòng)力作用于柔性臂單元末端。如圖3所示,驅(qū)動(dòng)力FT根據(jù)扭矩T和傳力半徑r計(jì)算而得,可表示為FT=T/r。

圖3 單節(jié)柔性臂單元結(jié)構(gòu)及其驅(qū)動(dòng)原理圖

2.2 分段變形建模

單一胞元是一段連續(xù)體,單胞變形量疊加得到柔性臂單元的整體變形量。根據(jù)分段常曲率假設(shè),每一個(gè)胞元變形后的中心線可以看作一定曲率圓弧所對(duì)應(yīng)的弦長,同一驅(qū)動(dòng)器控制內(nèi)的多個(gè)單胞中心線由多段弦連接而成,如圖4a所示。

圖4a中,α為胞元組的彎曲角度,αi(i=1,2,…)為第i個(gè)胞元對(duì)應(yīng)的彎曲角度,Ri為第i個(gè)胞元彎曲圓弧對(duì)應(yīng)的曲率半徑,lri為第i個(gè)胞元的驅(qū)動(dòng)繩索長度,si為第i個(gè)胞元彎曲后的中心曲線,d為胞元的初始邊長。由圖4中幾何關(guān)系可得

(1)

(2)

其中,Rri為lri對(duì)應(yīng)圓弧的曲率半徑;a為一常數(shù),表示胞元中心線到驅(qū)動(dòng)繩索的距離,可由胞元邊長d的一半減去單片二維組元的厚度h0得到,即a=0.5d-h0。

胞元中心線的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)可通過胞元的變形疊加得到,如圖4b所示,點(diǎn)由藍(lán)色表示,紅色虛線為點(diǎn)坐標(biāo)的增量。第二個(gè)胞元中心線的終點(diǎn)P2坐標(biāo)(x2,y2)等于起點(diǎn)P0坐標(biāo)添加各個(gè)方向上的增量,即(x2,y2)=(x0+Δx1+Δx2,y0+Δy1+Δy2)。

(a)胞元變形幾何關(guān)系(b)胞元位置疊加關(guān)系圖4 單一胞元變形示意圖

2.3 胞元組變形建模

單節(jié)柔性臂單元包含多個(gè)變形單胞,由一個(gè)舵機(jī)驅(qū)動(dòng)。如圖5所示,圖中黑色曲線為變形胞元的中心曲線,紅色箭頭為該柔性臂單元起點(diǎn)和終點(diǎn)的切向向量,向量與x軸的角度為θi,其中起點(diǎn)方向與x軸的角度為θ1,終點(diǎn)方向與x軸的角度為θ2,柔性臂的旋轉(zhuǎn)角度αr=θ2-θ1的正負(fù)決定了柔性臂單元在坐標(biāo)系下的兩種不同彎曲形態(tài)。

圖5 柔性臂單元彎曲變形

由圖5中的幾何關(guān)系易得

(3)

(4)

(5)

根據(jù)2.2節(jié)的胞元分段疊加關(guān)系,可以通過計(jì)算得到每個(gè)胞元中心線的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置坐標(biāo)。依據(jù)圖5所示的幾何關(guān)系,易得角度δ0=0.5(π-α1)和α′2=α1+α2,且圖5中存在一定的累加關(guān)系,具體計(jì)算表達(dá)式如下:

(6)

(7)

(8)

式(6)～式(8)中,i=1,2,…,5,通過五次疊加得到了單節(jié)柔性臂單元末端的位置信息。圖5中,si為單節(jié)柔性臂單元中第i個(gè)變形單胞的中心曲線,ki為第i個(gè)圓弧的曲率,(xi,yi)為位置坐標(biāo)。

當(dāng)兩節(jié)柔性臂單元組合運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖6所示,紫色線段為驅(qū)動(dòng)胞元的中心線。通過分段區(qū)分變形和驅(qū)動(dòng)單元,建立局部坐標(biāo)系。在局部坐標(biāo)系下柔性臂單元內(nèi)的各個(gè)胞元變形可計(jì)算。b為一常數(shù),表示驅(qū)動(dòng)胞元的長度。Sj對(duì)應(yīng)第j節(jié)柔性臂單元的變形曲線,其中(xSj1,ySj1)、(xSj2,ySj2)分別為該節(jié)單元的起點(diǎn)和終點(diǎn)。第j節(jié)單元起點(diǎn)可通過第j-1節(jié)單元的終點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算:

(9)

(10)

其中,β=αSj-αSj-1-…-αS1,αSj為第j節(jié)柔性臂單元的彎曲角度。柔性臂單元的終點(diǎn)坐標(biāo)通過式(7)和式(8)計(jì)算而得。

圖6 兩節(jié)柔性臂單元疊加示意圖

3 柔性臂變形預(yù)測模型

柔性臂的變形可以分為兩個(gè)過程,如圖7所示。首先是每個(gè)驅(qū)動(dòng)單胞中的驅(qū)動(dòng)器輸出一段位移,使得驅(qū)動(dòng)繩索收緊變形。繩索變形后的折線對(duì)應(yīng)胞元彎曲后的變形圓弧。其次是變形胞元在繩索的作用下達(dá)成彎曲的形態(tài)。通過圓弧參數(shù)的疊加計(jì)算得到柔性臂單元末端的位置信息[22]。

圖7 柔性臂變形描述空間對(duì)應(yīng)關(guān)系圖

變形圓弧參數(shù)到位置信息的變換是幾何關(guān)系,不涉及動(dòng)力學(xué)內(nèi)容。因驅(qū)動(dòng)器輸出的扭矩?cái)?shù)值恒定,所以驅(qū)動(dòng)器空間至曲線參數(shù)的變化可以視為一個(gè)恒力的作用距離至圓弧參數(shù)的變換。舵機(jī)驅(qū)動(dòng)器的額定扭矩影響柔性臂單元的極限變形角度。

3.1 單節(jié)柔性臂單元變形預(yù)測

單節(jié)柔性臂單元的變形預(yù)測如圖8所示,圖中的藍(lán)色線段為驅(qū)動(dòng)繩索,它距胞元組的中心線的距離為a,通過收縮使得S1節(jié)變形胞元產(chǎn)生角度為αS1的彎曲。該單元起點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),末端坐標(biāo)為(x0+b+5d,y0),單元變形后末端坐標(biāo)為(xS12,yS12)。

(a)中心曲線與驅(qū)動(dòng)繩索關(guān)系圖 (b)末端胞元參數(shù)示意圖圖 8 單一胞元組變形預(yù)測圖

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

繩索收縮的長度lT等于卷繩器旋轉(zhuǎn)角度γ對(duì)應(yīng)的弧長,也等于初始繩索長度與彎曲后繩索長度之差,得到式(11)和式(12)。單節(jié)柔性臂單元的彎曲角度αS1等于5個(gè)胞元彎曲角度αi之和,得到式(13)。將式(1)和(2)代入聯(lián)立后的式(11)和式(12)可得式(14),整理后得到式(15),即卷繩器旋轉(zhuǎn)角度γ與每個(gè)變形胞元彎曲角度αi的關(guān)系式。

由2.3節(jié)可知,每個(gè)胞元的末端坐標(biāo)是根據(jù)前端坐標(biāo)推導(dǎo)而來的,柔性臂單元的末端坐標(biāo)是通過單胞變形疊加而來的,所以柔性臂單元末端坐標(biāo)相較于初始坐標(biāo)的增量為胞元變形量之和,即

(16)

(17)

其中,xS11=x0+b,yS11=y0。至此,完成了一段柔性臂單元變形彎曲的過程預(yù)測,得到了具體的數(shù)學(xué)關(guān)系式。

3.2 多節(jié)柔性臂單元疊加變形預(yù)測

每個(gè)柔性臂單元都配有一驅(qū)動(dòng)單元,可進(jìn)行獨(dú)立控制。多節(jié)胞元組的變形預(yù)測過程中,卷繩器旋轉(zhuǎn)角度γ1、γ2分別控制柔性臂單元S1和S2的彎曲效果,可實(shí)現(xiàn)圖9所示的單側(cè)彎曲和S形彎曲,末端的方向變化如圖9中紅箭頭所示。

根據(jù)3.1節(jié)的角度關(guān)系,可得

(18)

(19)

其中,α1～α5為柔性臂單元S1的第1～5個(gè)變形胞元的彎曲角度;α6～α10為柔性臂單元S2的第1～5個(gè)變形胞元的彎曲角度。

圖9中紫色連接線為驅(qū)動(dòng)胞元的中心線,由于柔性臂整體的結(jié)構(gòu)屬性,各部分在連接點(diǎn)處滿足一階連續(xù),則圖 9a所示的S形彎曲柔性臂末端坐標(biāo)(xS22,yS22)可通過3.1節(jié)的結(jié)果疊加而來,其具體表達(dá)式為

(a)S形彎曲

(b)單側(cè)彎曲圖9 多節(jié)胞元組變形預(yù)測圖

(20)

(21)

多媒體課件這種形式，可以改變過去單調(diào)的教學(xué)方式，讓學(xué)生成為課堂的主體，教師則在一旁進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)播；也可以讓學(xué)生在多媒體的輔助下進(jìn)行小組間的自主學(xué)習(xí)。如在教學(xué)New York的過程中，先讓學(xué)生以小組為單位，查找一些關(guān)于New York的信息。再在課堂上，進(jìn)行小組之間的展示和交流，共享資源。讓學(xué)生學(xué)會(huì)上網(wǎng)查找對(duì)自己學(xué)習(xí)有用的信息內(nèi)容，這激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣，變被動(dòng)為主動(dòng)，讓學(xué)生在老師的引導(dǎo)下進(jìn)行小組間的展示和交流，這也可以構(gòu)建出一個(gè)以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的課堂，改變了以往的傳統(tǒng)教學(xué)方式。

圖9b所示的柔性臂末端坐標(biāo)(x′S22,y′S22)可表示為

(22)

(23)

通過以上兩種彎曲情況的分析,可以進(jìn)行三節(jié)及以上的柔性臂末端位置的預(yù)測。單節(jié)柔性臂單元的旋轉(zhuǎn)角度αr的正負(fù)決定了坐標(biāo)累加量和計(jì)算角度的選擇。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

4.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

本文柔性臂結(jié)構(gòu)的制造工藝選取成本低、靈活性高的多射流融合(MJF)三維打印。材料采用未來工廠公司未來7500高性能尼龍。驅(qū)動(dòng)舵機(jī)選用DS3230,其余框架、背景板、線材、電源等均選用常見適用類型。本實(shí)驗(yàn)采用的單胞邊長為45 mm,由于重疊的排列特性,d值取43 mm,a值取20.5 mm,b值取71 mm。單節(jié)柔性臂單元由1個(gè)驅(qū)動(dòng)胞元和5個(gè)變形胞元組成。

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)如圖10所示,整體平臺(tái)框架由鋁型材搭建而成,可實(shí)現(xiàn)柔性臂的多種初始位置;背景板裝于框架上,可輔助結(jié)果的測量;柔性臂固定在框架上。分別測量柔性臂不同姿態(tài)下的彎曲變形,將預(yù)測模型的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

圖10 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)

4.2 實(shí)物實(shí)驗(yàn)與分析

對(duì)多節(jié)柔性臂進(jìn)行彎曲實(shí)驗(yàn),柔性臂能實(shí)現(xiàn)一個(gè)連續(xù)過程,圖11展示了兩個(gè)舵機(jī)同向旋轉(zhuǎn)相同角度且角度在40.5°～94.5°的變化過程,每隔13.5°進(jìn)行一次記錄。

(a)40.5° (b)54°

(c)67.5° (d)81° (e) 94.5°圖11 單側(cè)彎曲連續(xù)變化圖

兩個(gè)舵機(jī)的旋轉(zhuǎn)角度可以分別進(jìn)行控制,如圖12所示,以實(shí)現(xiàn)正負(fù)單側(cè)彎曲(圖12a和圖12b)、正負(fù)S形彎曲(圖12d和圖12 e)和末端的攝像頭觀察(圖12c)演示,從圖12c的①中可以看到柔性臂末端有兩個(gè)障礙物,②和③顯示了攝像頭拍攝到的障礙物,分別為黑色的碳纖維板和黃色的復(fù)材板。

將第3節(jié)中模型所預(yù)測的變形彎曲曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果提取出的曲線進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖13所示。柔性臂末端角度的對(duì)比結(jié)果如表1所示。預(yù)測模型的誤差統(tǒng)計(jì)如表2所示。

通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可知,在單側(cè)連續(xù)彎曲情況下,隨著舵機(jī)同時(shí)旋轉(zhuǎn)角度的增大,x軸向的預(yù)測誤差有增大的趨勢,y軸向的預(yù)測誤差有減小的趨勢,而柔性臂末端彎曲角度誤差變化較為平穩(wěn),但整體誤差是在增大的。造成誤差的主要原因是:在胞元組受力彎曲時(shí),單個(gè)胞元存在一定壓縮,影響預(yù)測模型中的參數(shù)會(huì)導(dǎo)致預(yù)測的彎曲角度都偏大;靠近根部的柔性臂單元受重力影響更大,彎曲角度會(huì)有所減小。由圖13可知,越靠近柔性臂的末端,預(yù)測和實(shí)驗(yàn)的偏差就越大,因胞元彎曲并不完全滿足分段常曲率假設(shè),且由于裝配方法的局限性,因此隨著胞元的增多,累積的誤差就會(huì)持續(xù)增大。

(a)單側(cè)正向彎曲 (b)單側(cè)負(fù)向彎曲 (c)末端攝像頭觀察

(d)S形正向彎曲 (e)S形負(fù)向彎曲

(a)40.5°對(duì)比 (b)54°對(duì)比

(c)67.5°對(duì)比 (d)81°對(duì)比 (e)94.5°對(duì)比圖13 預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

表1 柔性臂末端彎曲角度對(duì)比

表2 誤差結(jié)果對(duì)比

5 結(jié)論

(1)提出了一種基于力學(xué)超材料的柔性機(jī)械臂結(jié)構(gòu)。分析了柔性機(jī)械臂的驅(qū)動(dòng)原理,對(duì)力學(xué)超材料單胞和胞元組變形進(jìn)行了以分段和疊加為核心的建模,為柔性機(jī)械臂變形提供了基礎(chǔ)。

(2)提出了單節(jié)和多節(jié)的柔性機(jī)械臂單元變形預(yù)測模型,通過實(shí)物實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了預(yù)測模型的可用性,從而為基于力學(xué)超材料柔性機(jī)械臂的設(shè)計(jì)提供了一種方法,并為多節(jié)柔性機(jī)械臂的變形預(yù)測提供了理論支持。