段寧

摘要：培養(yǎng)學(xué)生的高層次思維能力是教師的一項(xiàng)基本任務(wù).本文從四個(gè)方面談如何基于核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生的高層次數(shù)學(xué)思維品質(zhì)：關(guān)注過(guò)程方法，優(yōu)化思維品質(zhì)；重視例題講評(píng)，培養(yǎng)思維遷移；改變作業(yè)方式，促進(jìn)思維培養(yǎng)；注重類比推理，提高思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；高層次數(shù)學(xué)思維；培養(yǎng)俗話說(shuō)：“授人以魚不如授人以漁.”教給學(xué)生再多的知識(shí)不如教會(huì)學(xué)生一些學(xué)習(xí)方法和思維方式，因而，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就顯得至關(guān)重要.教師如何通過(guò)明理啟發(fā)、誘導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力呢？本文就此談些教學(xué)體會(huì).

1關(guān)注過(guò)程方法，優(yōu)化思維品質(zhì)

以“探究?jī)蓚€(gè)三角形全等的判定方法”為例，談?wù)劷虒W(xué)中應(yīng)該怎樣關(guān)注過(guò)程和方法，來(lái)優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)1：畫三角形

通過(guò)一系列的問(wèn)題串關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)的生成過(guò)程，從低起點(diǎn)出發(fā)、小步子邁進(jìn)、多引導(dǎo)、精分析，來(lái)逐步啟發(fā)學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生高層次思維能力.

問(wèn)題1：若只給定一個(gè)元素（一條邊或一個(gè)角）畫三角形時(shí)，你能夠確定三角形的形狀嗎？大小呢？

問(wèn)題2：若只給定兩個(gè)元素畫三角形時(shí)，有幾種情況？每種情況下你能夠確定三角形的形狀嗎？大小呢？

問(wèn)題3：若只給定三個(gè)元素畫三角形時(shí)，有幾種情況？每種情況下你能夠確定三角形的形狀嗎？大小呢？

問(wèn)題4：如果是三個(gè)條件，那么需要包含哪些元素呢？

回顧這個(gè)環(huán)節(jié)，以問(wèn)題為主線，借助問(wèn)題串，啟發(fā)學(xué)生研究三角形的邊和角關(guān)系的思路，通過(guò)實(shí)際操作畫三角形，培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手操作能力和幾何表達(dá)能力，提升了學(xué)生的思維.

環(huán)節(jié)2：探究三角形全等的判定方法

首先，通過(guò)第一環(huán)節(jié)的過(guò)程，同學(xué)們已經(jīng)感知了給定三角形的元素中必須至少有一邊，然后利用學(xué)生在相同條件下作出的三角形來(lái)對(duì)比，驗(yàn)證它們是否能夠完成重合，也就是看它們是否全等，引起學(xué)生的好奇心，進(jìn)而導(dǎo)入三角形全等的判定方法的研究，在這個(gè)過(guò)程中，體現(xiàn)了類比的方法，優(yōu)化了思維品質(zhì).

接下來(lái)，將三個(gè)元素進(jìn)行歸納總結(jié)，對(duì)角和邊的不同組合進(jìn)行分類討論，提出如下幾種情況的猜想，在這個(gè)過(guò)程中，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

該環(huán)節(jié)中，關(guān)注過(guò)程方法，體現(xiàn)了研究幾何圖形問(wèn)題的一般過(guò)程：動(dòng)手操作—提出猜想—理論驗(yàn)證.幾何教學(xué)中，不僅要注重基礎(chǔ)知識(shí)的傳授，更要注重幾何語(yǔ)言的表達(dá)、思想方法的滲透，解題思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生的思維從低層次提升到高層次.

2重視例題講評(píng)，培養(yǎng)思維遷移

習(xí)題的作用不在于讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，訓(xùn)練他們的解題能力，更重要的在于教師要重視習(xí)題講評(píng)，課上揭示一些潛在的數(shù)學(xué)規(guī)律，平時(shí)，以這些習(xí)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生思考，發(fā)散學(xué)生思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)的遷移，進(jìn)而培養(yǎng)思維的遷移.下面以某一試題為例，通過(guò)一堂例題課的教學(xué)，淺談一下如何培養(yǎng)學(xué)生的思維遷移.

試題1如圖1，已知AD平分∠BAC，AD∥BE，試說(shuō)明∠ABE與∠E相等.

問(wèn)題1：AD平分∠BAC，你得到了什么？

生： ∠BAD=∠DAC.

問(wèn)題2：AD∥BE，你又得到了什么？

生：∠EBA=∠BAD，∠DAC=∠E.

問(wèn)題3：你想證明什么？

生：∠ABE=∠E.

問(wèn)題4：∠ABE=∠E這個(gè)結(jié)論說(shuō)明了什么？△ABE有什么特點(diǎn)？

生：等腰三角形.

問(wèn)題5：這個(gè)等腰三角形是如何得到的？需要哪些條件？

教師總結(jié)歸納：

依據(jù)邊、角組合，分類得出：

① 角平分線→相等角；② 平行線→內(nèi)錯(cuò)角、同位角相等，將角轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形.

由①②得出等腰三角形.

即：角平分線+平行線→等腰三角形.

追問(wèn)：這個(gè)結(jié)論是否任何時(shí)候都成立呢？我們?cè)倏磧深}.

變式1：如圖2，已知AD平分∠BAC，AC∥DE，能否得到等腰三角形？

變式2：如圖3，已知AD平分∠BAC，AD∥EF，能否得到等腰三角形？

問(wèn)題6：我們剛才由角平分線+平行線→等腰三角形，那是否可以由角平分線+等腰三角形→平行線，等腰三角形+平行線→角平分線？

生：可以.

問(wèn)題7：如圖4，已知EC平分∠BCA，∠ECF=∠FEC，那么BC∥EF嗎？

問(wèn)題8：如圖4，已知BC∥EF，∠ECF=∠FEC，那么EC平分∠BCA嗎？

通過(guò)這一節(jié)的例題講評(píng)，學(xué)生在整個(gè)探究的過(guò)程中，不僅讓學(xué)生歸納總結(jié)角平分線和平行線以及等腰三角形的關(guān)系這一通性，而且提高了學(xué)生的知識(shí)遷移能力，例如角的關(guān)系轉(zhuǎn)化成線段之間的關(guān)系，反之亦然，同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生的思維遷移.

3改變作業(yè)方式，促進(jìn)思維培養(yǎng)

平時(shí)的數(shù)學(xué)作業(yè)都是給學(xué)生固定的時(shí)間，比如一節(jié)課、一個(gè)小時(shí)或者周末兩天時(shí)間單獨(dú)完成作業(yè)，這樣雖然能夠培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力和提高學(xué)生的做題速度，但是另一方面會(huì)限制學(xué)生高層次數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).因?yàn)橛械膶W(xué)生會(huì)由于時(shí)間問(wèn)題而對(duì)于某個(gè)問(wèn)題思考不透徹，或者直接放棄，不思考，因此，對(duì)于學(xué)生而言，轉(zhuǎn)變作業(yè)訓(xùn)練方式，留給他們更多的時(shí)間進(jìn)行思考和探究是很有必要的.下面是筆者對(duì)于利用“周作業(yè)”培養(yǎng)學(xué)生高層次思維品質(zhì)的看法.

3.1“周作業(yè)”的特點(diǎn)

首先，從時(shí)間上來(lái)說(shuō)，“周作業(yè)”要求時(shí)間是在一周之內(nèi)，不一定是當(dāng)天完成，可以是兩天、三天或者是五天，但是要求如果是這周一布置的作業(yè)，下周一必須完成，這樣給學(xué)生留了一周的思考和交流時(shí)間.其次，對(duì)于“周作業(yè)”的方式可以多樣，你可以選擇自己獨(dú)立思考完成、小組討論、同桌交流、請(qǐng)教老師……再者，對(duì)于“周作業(yè)”的內(nèi)容，教師要精心挑選一些稍微難度較大，探究性較強(qiáng)、方法性較強(qiáng)的綜合題目，培養(yǎng)學(xué)生合作交流探究的能力，進(jìn)而提升他們的思維品質(zhì).

3.2“周作業(yè)”的要求

對(duì)學(xué)生提出高層次的要求：如這個(gè)問(wèn)題可以怎么解決？為什么這樣解決？你是從哪些方面思考的？還有其他的解決辦法嗎？

3.3“周作業(yè)”的目標(biāo)

通過(guò)“周作業(yè)”的方式，讓學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)解決問(wèn)題的方法，而且要學(xué)會(huì)在交流合作中，探究數(shù)學(xué)方法，解決問(wèn)題的思想，使學(xué)生不斷思考這題為什么這樣解決？考慮有沒(méi)有更好的方法能解決？讓學(xué)生在題目下寫出解題思路，在落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，熟悉解決問(wèn)題的方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.在思考、探究、整理、總結(jié)的過(guò)程中，學(xué)生的思維能力逐步上升到更高層面.

4注重類比推理，提高思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)過(guò)：類比就是一種相似.就是依據(jù)兩個(gè)或者兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性進(jìn)行聯(lián)想，把它們其中一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象已知的較為熟悉的特殊性遷移到另一個(gè)和它相似的數(shù)學(xué)對(duì)象上去，進(jìn)而得到新的發(fā)現(xiàn)或規(guī)律的思想方法.下面是筆者教學(xué)《角平分線》的一個(gè)片段.

師：前面我們學(xué)習(xí)了垂直平分線的哪些內(nèi)容？

生1：定義.

生2：性質(zhì).

生3：判斷一個(gè)點(diǎn)在線段垂直平分線上的定理.

師：那垂直平分線的定義是什么？

生：垂直且平分一條線段的直線叫線段的垂直平分線.

師：如圖5，你能用幾何語(yǔ)言描述嗎？

生：∵AO=BO，∠1=∠2=90°，

∴l(xiāng)垂直平分AB.

師：那么它的性質(zhì)呢？

生：∵l垂直平分AB，

∴AO=BO，∠1=∠2=90°.

追問(wèn)：還有嗎？

生：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

（位置關(guān)系→數(shù)量關(guān)系）

師：那這個(gè)定理的條件和結(jié)論分別是什么？如圖5所示，回答問(wèn)題.

生：條件——點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.

結(jié)論：AP=BP.

師：反過(guò)來(lái)，這個(gè)命題的逆命題是什么？

生： 到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.（數(shù)量關(guān)系→位置關(guān)系）

師：如何用幾何語(yǔ)言描述？

生：∵PA=PB，

∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.

類比學(xué)習(xí)角平分線：

師：你覺(jué)得角平分線的學(xué)習(xí)和垂直平分線有沒(méi)有相似的內(nèi)容？生：有.

師：你可以從哪幾方面來(lái)研究角平分線？

生：定義、性質(zhì)、點(diǎn)的位置判斷.

師：如圖6，首先我們先來(lái)回顧角平線的定義是什么？

生：∵ OC平分∠AOB，

∴ ∠AOC=∠BOC.

師：接下來(lái)我們研究角平分線的性質(zhì)，那么該如何研究？

類比垂直平分線，在角平分線上應(yīng)該需要什么？

生：點(diǎn).

師：任意一個(gè)點(diǎn)嗎？

生：是的.

師：然后呢？怎么找距離呢？請(qǐng)你們自己作圖表示.

師：如圖7所示，DP=EP嗎？如何證明？

學(xué)生講述，教師板書.

追問(wèn)：你能給出類似垂直平分線的性質(zhì)描述嗎？

生： 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（位置關(guān)系→數(shù)量關(guān)系）

幾何語(yǔ)言：∵點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE.

追問(wèn)：類比于垂直平分線，你能寫出它的逆命題嗎？

生：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.（數(shù)量關(guān)系→位置關(guān)系）

師：如何證明？

類比于垂直平分線，學(xué)生討論交流，教師總結(jié).

對(duì)于以上的教學(xué)片段，引導(dǎo)學(xué)生從已知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，類比學(xué)習(xí)新知識(shí)，使學(xué)生很好地理解定理，促進(jìn)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，進(jìn)而提高了學(xué)生的思維品質(zhì).

以上論述是個(gè)人從個(gè)人教學(xué)層面對(duì)于復(fù)習(xí)課應(yīng)該注意的地方，還有不足之處，以后將繼續(xù)探究、思索.