內(nèi)蒙古巴彥淖爾市第一中學(xué)(015000) 楊松松 王東偉

題目(2022年廣州一模第21 題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(?2,0),B(2,0),點(diǎn)M滿足直線AM與直線BM的斜率之積為,點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程;

(2)已知點(diǎn)F(1,0),直線l:x=4 與x軸的交點(diǎn)為D.直線AM與l交于點(diǎn)N,是否存在常數(shù)λ,使得∠MFD=λ∠NFD? 若存在,求λ的值.若不存在,說明理由.

文[1]探究了題目,并從文[2]中找到了題目所考查的橢圓性質(zhì):

設(shè)F(?c,0)為橢圓的左焦點(diǎn),不過點(diǎn)F的直線與橢圓交于A、M兩點(diǎn),且與橢圓的左準(zhǔn)線l交于N,則NF平分∠AFM的外角.

筆者思考,關(guān)于∠AFM平分線有怎樣的結(jié)論,經(jīng)探究,筆者得到了圓錐曲線中一個(gè)直線過定點(diǎn)的性質(zhì):

命題1已知橢圓C:的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,M為橢圓C上異于其左右頂點(diǎn)的一點(diǎn),∠AFM的平分線交MA于點(diǎn)N,若直線MF交橢圓C于另一點(diǎn)P,則直線NP過定點(diǎn)(e為橢圓C的離心率).

證明設(shè)點(diǎn)P(x2,y2),N(xN,yN),由FN平分∠AFM得因此,設(shè)直線MP的方程為x=my+c,代入橢圓C的方程并整理得:(b2m2+a2)y2+ 2b2mcy?b4=0,于是?>0,且從而是直線NP的一條方向向量,又因此,直線NP的方程為:(x2?xN)·(y?y2)=(y2?yN)·(x?x2),把xN,yN代入并整理得:

注意到

于是直線NP的方程可改寫為:

命題2已知橢圓C:的離心率為e,點(diǎn)M為橢圓C上異于其左右頂點(diǎn)的一點(diǎn),∠AFM的平分線交MA于點(diǎn)N,若直線MF交橢圓C于另一點(diǎn)P,則直線NP過定點(diǎn)

在雙曲線中得到:

命題3已知雙曲線C:(a>0,b>0)的頂點(diǎn)A(λa,0),焦點(diǎn)M(異于點(diǎn)A)為雙曲線C上一點(diǎn)且與點(diǎn)A位于同一支,∠AFM的平分線交MA于點(diǎn)N,若直線MF交雙曲線C于另一點(diǎn)P,則直線NP過定點(diǎn)(e為雙曲線C的離心率,當(dāng)λ·μ=?1 時(shí)e ?=3).

于是在橢圓中得到:.

在拋物線中得到:

命題4已知拋物線C:y2=2px(p >0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),M為拋物線C上異于點(diǎn)O的一點(diǎn),∠MFO的平分線交MO于點(diǎn)N,若直線MF交拋物線C于另一點(diǎn)P,則直線NP過定點(diǎn).

證明設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),P(x2,y2),N(xN,yN),由FN平分∠MFO得:于是又設(shè)直線MP的方程為代入拋物線C的方程并整理得:y2?2pmy?p2=0,于是?>0,且y1+y2=2pm,y1y2=?p2.

于是直線NP的方程可改寫為: