三角代數(shù)上的2-局部Lie 中心化子

周斯名

（吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130000）

局部映射的相關(guān)研究一直深受研究人員的關(guān)注．1990 年，文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]提出了局部導(dǎo)子的概念．設(shè)P是一個(gè)偏序集，R是一個(gè)帶有單位元的交換環(huán)，F(xiàn)I(P,R)是定義在R上關(guān)于P的關(guān)聯(lián)代數(shù)，文獻(xiàn)[3]證明了FI(P,R)上的R-線性局部導(dǎo)子是導(dǎo)子．文獻(xiàn)[4]證明了JBW-代數(shù)上的局部導(dǎo)子是導(dǎo)子．文獻(xiàn)[5]證明了某些算子代數(shù)上的局部導(dǎo)子是導(dǎo)子．文獻(xiàn)[6]證明了套代數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù)上的線性局部左（右）中心化子是左（右）中心化子．

1997 年，文獻(xiàn)[7]引入2 -局部導(dǎo)子的概念，此后研究人員得出了很多成果．設(shè)H是無(wú)限維可分離Hillbert 空間，B(H) 是H上的所有有限線性算子構(gòu)成的代數(shù)，文獻(xiàn)[7]證明了B(H) 上的所有2 -局部導(dǎo)子都是導(dǎo)子．設(shè)R是有單位元的2 -扭自由交換環(huán)，Ln(R) 是由R上所有n階反對(duì)稱矩陣構(gòu)成的李代數(shù)，文獻(xiàn)[8]證明了Ln(R) 上的每個(gè)局部導(dǎo)子和2 -局部導(dǎo)子都是導(dǎo)子．文獻(xiàn)[9]證明了每個(gè)三角代數(shù)上可加的2 -局部Lie 導(dǎo)子都是一個(gè)可加導(dǎo)子與可加映射的和，且可加映射作用于換位子的值為零．受上述結(jié)論的啟發(fā)，給出了2 -局部Lie 中心化子的定義，并刻畫三角代數(shù)上2 -局部中心化子的表達(dá)形式．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[10]設(shè)R是環(huán)或代數(shù)．如果一個(gè)線性映射φ：R→R滿足對(duì)任意A,B∈R有φ(AB)=φ(A)B(φ(AB)=Aφ(B))，則稱φ是左（右）中心化子；若φ既是左中心化子又是右中心化子，稱φ是中心化子．

定義1.2[10]設(shè)R是環(huán)或代數(shù)．如果一個(gè)可加（線性）映射?:R→R滿足對(duì)任意A,B∈R有φ([A,B]) =[φ(A),B] =[A,φ(B)]，則稱?是Lie 中心化子．

定義1.3設(shè)R是環(huán)或代數(shù)．如果一個(gè)可加（線性）映射?:R→R滿足對(duì)于任意A,B∈R，存在一個(gè)Lie 中心化子?A,B，使得?(A)=?A,B(A)和?(B)=?A,B(B)成立，則稱?是2 -局部 Lie 中心化子．

定義1.4[5]設(shè)X和Y是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域F 上的Banach 空間，用B(X) 表示X上所有有界線性算子的代數(shù)．設(shè)A和B分別是B(X) 和B(Y) 的單位子代數(shù)，設(shè)M是單位- (A,B) 雙模，且左A-模與右B-模都是忠實(shí)的．在通常的矩陣運(yùn)算下，為三角代數(shù)．

T是一個(gè)帶單位元的算子代數(shù)，其中1A和1B是代數(shù)A和B的單位元．記Z(T) 是T的中心．

定義兩個(gè)自然映射πA:T→A和πB:T→B，如下

那么有πA(Z(T))?Z(A)和πB(Z(T))?Z(B)．

在本文中，將使用以下符號(hào)：

P1:，和Tij=Pi TPj對(duì)于1 ≤i≤j≤ 2．代數(shù)T可以表示為T=T11⊕T12⊕T22．

下文中我們用J(A) 表示由A中的所有冪等元生成的A的子代數(shù)．

2 主要定理

定理2.1設(shè)A和B分別是B(X) 和B(Y) 的單位子代數(shù)，M是忠實(shí)的(A，B) - 模．設(shè)T=Tir(A,M,B)，

(1)A=J(A)和B=J(B)；

(2)Z(A)=πA(Z(T))和Z(B)=πB(Z(T)).

則從T到自身的每個(gè)2 -局部Lie 中心化子?都是一個(gè)Lie 中心化子.

為了證明定理2.1，我們需要一些引理，由A=J(A)和B=J(B)得出Tkk中的每個(gè)Akk都可以寫成元素(i=1,2,…,m)的線性組合，其中,,…,是Tkk(k=1,2)中的冪等元.

引理2.1[16]設(shè)U=Tri(A,M,B)是三角代數(shù)且πA(Z(U))=Z(A)，πB(Z(U))=Z(B).如果線性映射φ:U→U對(duì)任意的x,y∈U且xy= 0，有φ([x,y]) =[φ(x),y] =[x,φ(y)]，則存在a∈Z(U)及線性映射τ:U→Z(U)，使得對(duì)任意x∈U，有φ(x)=ax+τ(x)．其中τ作用在滿足xy= 0的交換子[x,y]上為0.

引理2.2對(duì)于任意冪等元P,Q∈T和A∈T，存在R1,R2,R3,R4∈T，滿足PAQR1=0、P⊥AQR2=0、、，存在中心化子φ1,φ2,φ3,φ4和線性映射τ1,τ2,τ3,τ4:T→Z(T)作用于交換子為零，則對(duì)于2-局部中心化子?有，其中P⊥= 1-P和Q⊥= 1-Q.

證明由定理2.1 和引理2.1 的可知冪等元P,Q∈T和A∈T，存在中心化子R1,R2,R3,R4∈T和線性映射τ1,τ2,τ3,τ4:T→Z(T)作用于交換子為零有

.

由引理2.1 可得如下定理：

定理2.2對(duì)任意A12∈T12，2-局部Lie 中心化子?滿足

(1)?(A12)=P1?(A12)P2∈T12和?(A12)=?(P1)A12-A12?(P1)

(2)P1?(A11)P2=A11?(P1)P2和P1?(A12)P2=-P1?(P1)A22.

證明(1)根據(jù)2-局部Lie 中心化子的定義有

將上述兩邊的等式乘以1P和2P，可得．可得．通過(guò)中心化子φ及Lie 中心化子?的定義可知

定理2.3對(duì)于A11∈T11和A12∈T12

?對(duì)于A12∈T12和A22∈T22.

證明首先由

設(shè)B11∈T11和A12∈T12. 在引理2.2 中，A=B11及Q=A12， 可以發(fā)現(xiàn)，可 以 寫 成 換 位 子，， 則，.則有

定理2.4(1)對(duì)于A11,B11∈T11，（2）?([A22,B22])=[?(A22),B22]=[A22,?(B22)]對(duì)于A22,A22∈T22.

證明設(shè)A11,B11∈T11.由引理2.1 可知存在一個(gè)中心映射φ：T→T和線性映射τ：T→Z(T)作用于換位子等于零.則有

由φ(Tii)?Tii(i=1,2)及?(Tii)?T11⊕T22，可得?([A11,B11])∈T11.

對(duì)于任意C12∈T12，我們有

定理2.1的證明 設(shè)A,B∈T，此時(shí)有A=A11+A12+A22，B=B11+B12+B22對(duì)于Ai j,Bij∈Tij，

則結(jié)論得證.

3 結(jié) 論

本文研究了三角代數(shù)上的2 -局部Lie 中心化子，證明了三角代數(shù)上的2 -局部Lie 中心化子是Lie中心化子.