朱 賀，李靜菲，王志軍

（1.中國(guó)民用航空飛行學(xué)院航空工程學(xué)院，四川 廣漢 681300；2.中國(guó)民用航空飛行學(xué)院基建與機(jī)場(chǎng)處，四川 廣漢 681300；3.中國(guó)民用航空飛行學(xué)院飛行技術(shù)學(xué)院，四川 廣漢 681300）

1 引言

隔振系統(tǒng)在實(shí)際工程中應(yīng)用非常廣泛，例如車架的懸掛系統(tǒng)［1］、空間精確隔振系統(tǒng)［2-3］和車輛座椅的隔振器［4］等。傳統(tǒng)隔振器能夠在高頻范圍起到很好的振動(dòng)抑制效果，但對(duì)低頻隔振效果不好。為確保高、低頻大的情況下可得到較為理想的隔振性能，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)［4-11］被廣泛研究。通過采用特殊的非線性結(jié)構(gòu)，可以使準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)取得接近于零的線性剛度以及高的靜剛度和低的動(dòng)剛度，從而減小系統(tǒng)的靜變形及其固有頻率。但是該系統(tǒng)因?yàn)閷?dǎo)入線性負(fù)剛度，顯著缺陷即更易出現(xiàn)失穩(wěn)、承載能力相對(duì)較差，又或是平衡位置會(huì)出現(xiàn)一定程度的波動(dòng)。剪叉機(jī)構(gòu)（也稱為剪刀架機(jī)構(gòu)或剪刀撐）由于簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)和良好的承載能力，一直作為個(gè)體或組成單元被廣泛地應(yīng)用在機(jī)械、建筑及航空航天的可展結(jié)構(gòu)或機(jī)構(gòu)中，如：變形翼［12］、折疊樓梯［13］及可展屋頂［14］等。文獻(xiàn)［15］近來基于剪叉機(jī)構(gòu)特性提出了剪叉機(jī)構(gòu)式隔振系統(tǒng)。其系列研究表明［15-17］：剪叉機(jī)構(gòu)隔振系統(tǒng)僅使用線性彈簧即可得到非線性的等效剛度和阻尼，從而可獲得很好的隔振性能，并能夠克服準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的劣勢(shì)。利用剪叉機(jī)構(gòu)建立的多維隔振系統(tǒng)，可以很好地解決工程上一些隔振難題。

但是，在相關(guān)分析之中，會(huì)假定線性彈簧和機(jī)構(gòu)位于水平連接，但是未計(jì)算安裝位置不同對(duì)剪叉機(jī)構(gòu)隔振性能的影響。根據(jù)單節(jié)剪叉機(jī)構(gòu)輸入連接的位置，可以將剪叉機(jī)構(gòu)分為共6種不同的安裝構(gòu)型并用一個(gè)統(tǒng)一的參數(shù)化公式來計(jì)算其安裝連接位置矢量。在此基礎(chǔ)上，通過建立統(tǒng)一的剪叉機(jī)構(gòu)剛度計(jì)算模型，研究線性彈簧安裝構(gòu)型和安裝參數(shù)變化對(duì)剪叉機(jī)構(gòu)隔振性能的影響以及安裝參數(shù)對(duì)隔振系統(tǒng)共振頻率的影響。通過本研究，擬為實(shí)際隔振應(yīng)用提供更好的解決思路。

2 全構(gòu)型剪叉機(jī)構(gòu)的剛度統(tǒng)一模型

剪叉機(jī)構(gòu)通過上下平臺(tái)、兩支臂的四大構(gòu)件，兩支臂在其中產(chǎn)生交叉，依靠配套的旋轉(zhuǎn)副鉸接處理為相應(yīng)的X形，同時(shí)右端能夠在相應(yīng)的上、下平臺(tái)相應(yīng)的接觸面或者是軌道之上產(chǎn)生滑動(dòng)。剪叉機(jī)構(gòu)通常為雙片式，具有對(duì)稱性，可視為平面機(jī)構(gòu)。具體信息可參考圖1的表示，線性彈簧的具體安裝區(qū)域主要為6種構(gòu)型。在實(shí)踐運(yùn)用過程中，運(yùn)用特定的安裝構(gòu)型，同時(shí)還可選定2個(gè)或者更多的構(gòu)型建立多元系統(tǒng)?；诜治鲆?guī)律，論文單純分析單彈簧系統(tǒng)。標(biāo)識(shí)的任一種構(gòu)型中，線性彈簧兩端安裝在剪叉機(jī)構(gòu)其中兩個(gè)構(gòu)件上，其位置用安裝數(shù)據(jù)a、c、d、f進(jìn)行判斷，具體的取值參數(shù)即0至l，如圖1所示。在圖像中，物塊質(zhì)量所運(yùn)用的具體符號(hào)為m，支臂長(zhǎng)度所運(yùn)用的具體符號(hào)為l，舉升角所運(yùn)用的具體符號(hào)為θ，物塊M的位移所運(yùn)用的具體符號(hào)為y，下平臺(tái)的激振為z，支臂旋轉(zhuǎn)角度所運(yùn)用的具體符號(hào)為φ，水平位移所運(yùn)用的具體符號(hào)為x。多種構(gòu)型之中線性彈簧的具體長(zhǎng)度數(shù)據(jù)是I，關(guān)于彈簧變形量的具體數(shù)據(jù)是ΔI=| |I-I'，剛度為k，則彈力f=kΔI。為了方便討論，剪叉機(jī)構(gòu)的質(zhì)量不計(jì)，可用拉格朗日方程建立隔振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)普遍方程。

圖1 六種剪叉機(jī)構(gòu)安裝構(gòu)型示意圖Fig.1 Six Types and Parameters of Scissor-Like Structure-Vibration Isolation（SLS-VI）System in Simplified Model

系統(tǒng)的動(dòng)能T=My?2，勢(shì)能V=kΔI2，結(jié)合圖1能夠發(fā)現(xiàn)，多種構(gòu)型i(i= 1，2，…，6)之中，彈簧輸入長(zhǎng)度I有所區(qū)別，可結(jié)合剪叉機(jī)構(gòu)之中的三角形法［20］完成計(jì)算：

式（1）之中數(shù)據(jù)取值和詳細(xì)構(gòu)型數(shù)據(jù)存在聯(lián)系，具體信息可參考的標(biāo)識(shí)，如表1所示。

表1 不同構(gòu)型下對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值Tab.1 The Corresponding Value of Parameters in Different Types of SLS-VI System

拉格朗日函數(shù)L=T-V，拉格朗日方程為：

式中：c1—空氣阻尼系數(shù)；c2—旋轉(zhuǎn)副之間的摩擦系數(shù)；c3—水平摩擦系數(shù)；n—旋轉(zhuǎn)副的數(shù)目。由圖1能夠發(fā)現(xiàn)，物塊m位移=y-z，參照Sun提供相應(yīng)的幾何關(guān)系式［15］，論述機(jī)構(gòu)之中x與φ的幾何關(guān)系能夠表述為下述內(nèi)容：

分別將上式帶入拉格朗日方程（2）可得：

分別用f1，f2，f3代表彈性力、轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力和水平摩擦力：

由式（6）可知彈性力與構(gòu)型參數(shù)有關(guān)，而式（7）、式（8）所代表的摩擦力只與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)。進(jìn)一步引入無量綱量：通過化簡(jiǎn)可得到剪叉機(jī)構(gòu)的統(tǒng)一剛度表達(dá)式：

根據(jù)式（9），在不同的安裝構(gòu)型及安裝參數(shù)下，剪叉機(jī)構(gòu)的剛度是不同的。在此取一例分析，設(shè)a= 0.5，c= 0.25，d= 0.5，f=0.25。參照表1的構(gòu)型數(shù)據(jù)，可描繪相同剪叉機(jī)構(gòu)之中，多種構(gòu)型的剛度特性，具體信息可參考的標(biāo)識(shí)，如圖2所示。

圖2 剪叉機(jī)構(gòu)不同構(gòu)型的剛度特性曲線Fig.2 The Stiffness Characteristic Curve of Different Types of SLS-VI System

由圖2可知，不同構(gòu)型下剪叉機(jī)構(gòu)安裝線性彈簧均取得了非線性剛度。由于在這里沒有考慮彈簧的初始變形，所以其剛度均為正值。

采用構(gòu)型1作為案例開展驗(yàn)證，設(shè)a=0.5，c=0.25，通過表1計(jì)算獲得：J=-0.5，M=-0.25，N=0.75。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)：k=1000N/m，l=1m，θ=π/4，那么泰勒展開式以及原函數(shù)，如圖3所示。

圖3 原函數(shù)f1 f2 f3和泰勒展開式f1'f2'f3'的比較Fig.3 Taylor Expansion f1 f2 f3 Compared with the Original Function f1'f2'f3'

從圖3可以看出，彈性力f1、旋轉(zhuǎn)f2與水平摩擦力f3的展開式在y?= 0周邊可以較為理想地和原函數(shù)之間相契合。所以運(yùn)用展開式替換原公式開展分析可符合需求。通過圖3的信息能夠得出，單純依靠線性彈簧k，等效剛度（對(duì)應(yīng)f1）與阻尼（對(duì)應(yīng)f2、f3）均獲得了非線性。由于圖3中的剛度和阻尼函數(shù)都是非對(duì)稱的非線性函數(shù)，因此采用諧波平衡法求解位移傳遞率時(shí)需要考慮補(bǔ)償量考慮式（6）～式（8），將泰勒展開式（10）～式（12）帶入拉格朗日方程式（5）。

為了便于后面的推導(dǎo)，作變量替換τ=ω1t，并將微分量替換為dτ，則式（18）變成：

假定下平臺(tái)的激振為z=z0cosω0t，那么根據(jù)諧波平衡解法，設(shè)?=a0+acos( Ωτ+φ)，Ω =ω0/ω1，則位移傳遞率Td可以表示為：

3 安裝構(gòu)型及其安裝參數(shù)對(duì)剪叉機(jī)構(gòu)隔振性能的影響

結(jié)合文獻(xiàn)［15-16］分析結(jié)論，單元節(jié)數(shù)n以及舉升角θ等結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的變動(dòng)，會(huì)對(duì)隔振指標(biāo)產(chǎn)生極大的影響。但之前分析并未計(jì)算彈簧連接區(qū)域的區(qū)別對(duì)于隔振影響。第2節(jié)建模之中，能夠發(fā)現(xiàn)彈簧連接區(qū)域的變動(dòng)（造成構(gòu)型與數(shù)據(jù)有所區(qū)別）產(chǎn)生的剛度轉(zhuǎn)變。章節(jié)運(yùn)用控制變量法，確保結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)不出現(xiàn)變化的情況下，深度研究構(gòu)型與數(shù)據(jù)所構(gòu)成的影響。取系統(tǒng)參數(shù)m= 10kg、k=1000N/m、l= 1m、θ= π/4、c1= 5、c2= 1、c3= 1。采用無量綱量考察彈簧安裝構(gòu)型和安裝參數(shù)的變化影響，設(shè)：a=a/l、c=c/l、d=d/l、f=f/l。結(jié)合式（21）計(jì)算獲得的位移傳遞率Td能夠判定各個(gè)取值之下的隔振效果。

3.1 安裝構(gòu)型對(duì)隔振性能的影響

給定剪叉機(jī)構(gòu)之中，先維持固定的安裝數(shù)據(jù)，分別取a= 0.5、c= 0.25、d= 0.5、f= 0.25，依據(jù)表1 與式（21）能夠獲得多種構(gòu)型的隔振性能，關(guān)于不同構(gòu)型在相關(guān)指標(biāo)上的表現(xiàn)，具體信息可參考的標(biāo)識(shí)，如圖4所示。通過圖4所示的信息能夠得出，多種構(gòu)型產(chǎn)生的剪叉隔振效果的差異相對(duì)較大。在這里分析的構(gòu)型5之中，共振頻率以及位移傳遞率數(shù)據(jù)提升到最高的數(shù)值，無法滿足隔振的需求。在這里分析的構(gòu)型3之中，其具體的共振頻率參數(shù)僅有0.1，同時(shí)傳遞率的最大參數(shù)也有顯著降低，所以調(diào)整安裝構(gòu)型有助于優(yōu)化隔振指標(biāo)。文獻(xiàn)［13-16］分析的彈簧和支臂之間有水平連接，可稱作是臂間構(gòu)型［17］，也就是論文分析的構(gòu)型6。能夠發(fā)現(xiàn)，構(gòu)型6在特定系統(tǒng)的共振頻率較低，但有僅低于構(gòu)型5的位移傳遞率最大數(shù)據(jù)。

圖4 不同構(gòu)型下的隔振性能Fig.4 The Isolation Performance for Different Different Types of SLS-VI System

3.2 安裝參數(shù)對(duì)隔振性能的影響

限于篇幅，本節(jié)僅選取構(gòu)型4研究安裝參數(shù)變化帶來的隔振效果影響。其它構(gòu)型下的安裝參數(shù)變化可類比進(jìn)行研究。保持系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)及線性彈簧安裝構(gòu)型不變，對(duì)于構(gòu)型4的a、f開展研究，相關(guān)信息可以參考的標(biāo)識(shí)，如圖5所示。

由圖5（a），當(dāng)f=0.25時(shí)，隔振性能隨著a的增加而降低，當(dāng)參數(shù)a趨近于零時(shí)，彈簧將不再起作用，剪叉機(jī)構(gòu)將失穩(wěn)。而根據(jù)圖5（b），當(dāng)a=0.5且0 ≤f≤0.5時(shí)，低頻以及高頻段，位移傳遞率數(shù)據(jù)維持固定，唯有在振頻上峰值會(huì)伴隨f降低有所提升；當(dāng)0.5 ≤f≤1時(shí)，隔振性能隨著f的增加而降低。

3.3 安裝參數(shù)對(duì)等效剛度的影響

由式（9）能夠得出，彈簧力即y?函數(shù)，同時(shí)該部分的數(shù)據(jù)會(huì)伴隨安裝構(gòu)型的區(qū)別而有所差異。依靠相應(yīng)的式（10）與式（13）～式（15）能夠獲得等效線性和非線性剛度系數(shù)β1與β2。在多個(gè)數(shù)據(jù)中，線性剛度β1對(duì)共振頻率產(chǎn)生的影響相對(duì)最高。因此，為了獲得更好的隔振性能且避免發(fā)生共振，此系數(shù)應(yīng)足夠小。

系統(tǒng)的共振頻率為：

可以看出，在不同的構(gòu)型中，系統(tǒng)的共振頻率亦不相同。

仍以構(gòu)型4為例，如圖6所示。參數(shù)a與共振頻率正相關(guān)；針對(duì)某個(gè)參數(shù)a，在f低于特定臨界值的情況下，共振頻率的相關(guān)參數(shù)也會(huì)近乎維持固定狀態(tài)，在f大于此臨界值時(shí)，其隨參數(shù)f的增大而減小，臨界值的大小與參數(shù)a緊密相關(guān)。所以，在保證剪叉機(jī)構(gòu)隔振系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，要獲得良好的隔振性能，a值應(yīng)取得較小些。

圖6 構(gòu)件4參數(shù)a、f對(duì)共振頻率的影響Fig.6 Effect of Parameter a and f on Resonant Frequency in Type4

剪叉機(jī)構(gòu)其他構(gòu)型安裝參數(shù)對(duì)隔振效果及共振頻率影響在此不作細(xì)述，但研究結(jié)果表明：在構(gòu)型1中，參數(shù)a對(duì)位移傳遞率影響不大，而位移傳遞率和共振頻率隨參數(shù)c的遞增而下降；在構(gòu)型2中，位移傳遞率的峰值和共振頻率基本上隨著參數(shù)c和d的增大而增大；在構(gòu)型3中，參數(shù)d增加時(shí)，位移傳遞率的峰值降低，但共振頻率受參數(shù)f的影響；而隨著參數(shù)f的遞增，位移傳遞率和共振頻率先減小后增大；在構(gòu)型5中，位移傳遞率只與參數(shù)值|a-d|有關(guān)，并隨著|a-d|的增大而減小，但共振頻率變化甚微；在構(gòu)型6中，參數(shù)c和f對(duì)位移傳遞率和共振頻率的影響相同，并隨著參數(shù)的增加，兩者都是先減小后增大。

4 結(jié)論

在整體設(shè)計(jì)過程中，結(jié)合單節(jié)剪叉6輸入配置方案，基于對(duì)相關(guān)方案的深度分析，圍繞全構(gòu)型方案開展綜合論述，運(yùn)用參數(shù)化方案構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)化的模型與傳遞率，計(jì)算獲得多種構(gòu)型與安裝數(shù)據(jù)的剛度與阻尼。研究結(jié)果表明：（1）由于線性彈簧實(shí)際安裝區(qū)域的差異，導(dǎo)致安裝構(gòu)型與數(shù)據(jù)有所區(qū)別，在此情況下產(chǎn)生了系統(tǒng)隔振性能和共振頻率也不相同。（2）在進(jìn)行設(shè)計(jì)的過程中，可在不影響機(jī)構(gòu)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，僅僅依靠調(diào)整安裝構(gòu)型以及數(shù)據(jù)的方式，就可獲得多個(gè)類別的非線性剛度數(shù)據(jù)，進(jìn)而獲得理想的非線性特性。（3）依靠調(diào)換構(gòu)型與數(shù)據(jù)的方式，可以實(shí)現(xiàn)調(diào)整隔振性能的預(yù)期效果，通過此類處理方式可為剛度與阻尼等設(shè)計(jì)新方式，同時(shí)也有助于擴(kuò)充各類技術(shù)的工程運(yùn)用場(chǎng)景。