基于改進BP 算法的巖石宏細觀參數(shù)輕量化分析方法

任俊卿 ，肖明 ?，劉國慶

（1.武漢大學 水資源工程與調(diào)度全國重點實驗室，湖北 武漢 430072；2.中國水利水電科學研究院 流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點實驗室，北京 100048）

巖石是一種復雜的礦物集合材料，普遍包含節(jié)理、裂隙等原生結(jié)構(gòu)面，甚至有斷層穿過［1］.表現(xiàn)出復雜的非連續(xù)、非均質(zhì)、各向異性等非線性特征.其力學特性和損傷演化機理對巖土工程的損傷破壞與防災減災研究具有重要的理論意義與工程價值.與連續(xù)介質(zhì)數(shù)值方法相比，PFC（Particle Flow Code，顆粒流程序）能夠合理模擬巖土大變形，可在細觀尺度再現(xiàn)巖石中裂紋的萌生、擴展及匯合過程，是研究巖石損傷與破壞機理的有效數(shù)值手段和重要理論突破.

選擇合理可靠的輸入?yún)?shù)是準確進行數(shù)值模擬的前提，因此PFC 細觀參數(shù)標定問題一直以來都是巖土工程數(shù)值模擬中的熱點與難點，大量的細觀參數(shù)使得其成為復雜的高維非線性問題，導致計算成本過高，模型可解釋性不足等缺陷，限制了PFC 數(shù)值模擬方法的應用與發(fā)展.因此在研究時對冗余的細觀變量進行合理剔除，化繁為簡，尋找一種精度高、變量少且易于計算和解釋的輕量化分析方法并應用于PFC參數(shù)標定問題中尤為重要.

宏細觀參數(shù)間的相關關系與內(nèi)在關聯(lián)是PFC 標定研究的基礎［2］.趙國彥等［3］和Chen［4］應用理論和數(shù)值方法研究了PFC 不同接觸模型宏細觀參數(shù)間的相關關系，建立了兩種尺度參數(shù)間的半定量函數(shù)模型，提升了傳統(tǒng)試錯法的標定效率；張國凱［5］等、Shi等［6］研究了簇顆粒幾何特征及裂紋分布對巖石宏觀力學行為的影響；叢宇［7］等、阿比爾的等［8］較全面的探索了巖土材料宏細觀參數(shù)的相關性，考慮了細觀參數(shù)對巖石的剪切力學行為的影響.

在宏細觀參數(shù)標定方法方面，目前主要有基于優(yōu)化技術(shù)、數(shù)據(jù)挖掘、機器學習等技術(shù)的方法，如楊文劍等［9］提出了碎石類材料的細觀參數(shù)標定方法.Yoon［10］和鄧樹新等［11］采用中心復合試驗設計和優(yōu)化技術(shù)相結(jié)合的方法獲得了巖石材料宏細觀參數(shù)間的定量關系，該方法對多種巖石（硬巖、軟巖）均有良好的標定效果；Zou 等［12］以煤為研究對象，基于灰色關聯(lián)分析、響應面法和馬氏距離測量法提出了一種組合優(yōu)化標定方法；Xu 等［13］將迭代思想引入?yún)?shù)標定中，顯著提升了標定的效率和準確性；此外，周小棚等［14］利用數(shù)據(jù)挖掘、神經(jīng)網(wǎng)絡等方法對材料細觀參數(shù)進行了初步預測.

綜上所述，巖土體宏細觀參數(shù)間的響應規(guī)律是顆粒離散元數(shù)值研究中一個重要的研究方向，目前國內(nèi)外采用理論分析、室內(nèi)試驗和數(shù)值模擬等方式在該方面取得了一定成果，但仍有以下幾個方面值得進一步研究探討：1）現(xiàn)有研究傾向于全面分析所有細觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的影響，模型冗余度高且分析耗時，難以揭示宏細觀參數(shù)間的影響機制，往往效果不佳.2）多數(shù)研究成果是基于PFC 2D 和室內(nèi)雙軸試驗獲得的，然而在實際工程中，巖石處于三向復雜應力狀態(tài)，并非所有的巖石材料都能夠簡化為平面問題，因此該方法具有一定的局限性.

針對以上問題，本文在眾多學者研究成果的基礎上，以獲得三維條件下高精度、低維度、易分析解釋的宏細觀參數(shù)模型為目標，首先通過正交設計和三軸數(shù)值試驗獲得一定的研究樣本；然后基于改進的BP 算法進行輕量化處理，準確量化各細觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的影響程度，篩選出對宏觀參數(shù)有顯著影響的關鍵細觀參數(shù)，對于影響不大的細觀參數(shù)則進行剔除，由此獲得簡單且易于分析的宏細觀參數(shù)模型，即輕量化模型；最后針對輕量化模型分析了宏細觀參數(shù)間的相互作用規(guī)律及影響機制，希望對PFC細觀參數(shù)標定問題提供一定依據(jù).

1 PFC接觸模型選擇

巖石是由礦物顆粒和膠結(jié)物組成的復雜混合體，通常采用平行黏結(jié)模型來表征其接觸行為，該模型通常分為線性和黏結(jié)兩部分，分別用于描述礦物顆粒之間的接觸行為及膠結(jié)物質(zhì).平行黏結(jié)模型的接觸示意圖和接觸模型見圖1.

由圖1 可見，模型的線性元件和平行黏結(jié)元件平行作用，并在兩個接觸部件之間建立彈性相互作用.模型具有軸向、切向及旋轉(zhuǎn)剛度.除此之外，通過引入阻尼項完成模型的能量耗散過程.平行黏結(jié)模型顆粒受力與破壞機制如圖2所示.

對于線性接觸部分，當兩顆粒間的剪切接觸力超過允許最大剪切接觸力時，顆粒間將發(fā)生滑移.黏結(jié)部分的強度準則可按梁彎曲理論描述，即顆粒間的最大法向或切向應力超過其許用應力時，黏結(jié)發(fā)生破壞，并隨即產(chǎn)生一個張拉裂紋或剪切裂紋.

2 細觀參數(shù)及試驗方案設計

2.1 宏細觀參數(shù)定性關系描述

2.2 正交試驗方案

本文是對平行黏結(jié)模型的細觀參數(shù)進行輕量化研究，首先對模型的幾何尺寸、顆粒密度、孔隙率進行固定，按水利水電巖石試驗規(guī)程對試件尺寸的規(guī)定，數(shù)值試驗采用底面半徑50 mm、高100 mm 的圓柱體試樣；Nohut 等［15］的研究表明，密度對標定結(jié)果影響甚微，因此參照巖石的宏觀密度取2 700kg/m3；孔隙率按文獻［3，8，16］建議取0.16.

由于參數(shù)較多，交叉及不確定性較大，常規(guī)試驗方案需要大量試驗次數(shù)及計算資源.正交試驗能夠綜合考慮各因素間的交叉作用，在結(jié)果可靠的前提下有效減少試驗次數(shù).按照正交設計原理，本文設計了一個L50510型正交表（10 因素5 水平50 次試驗）進行三軸壓縮數(shù)值試驗，具體方案見表1.

表1 正交試驗方案Tab.1 Scheme of orthogonal test

為消除各細觀間量值大小差異對研究帶來的不利影響，提高結(jié)果的準確性與可靠性，首先對細觀參數(shù)進行如下標準化變換：

變換后新的參數(shù)序列均服從標準正態(tài)分布，yi～N（0，1），便于各參數(shù)間進行分析與比較.

2.3 數(shù)值試驗及伺服加載

本文采用PFC 3D 模擬巖石三軸壓縮試驗，模型如圖3 所示.數(shù)值試驗中保持恒定的細觀參數(shù)按表2選取，圍壓設置為10 MPa.

表2 模型公共細觀參數(shù)Tab.2 Basic mesoscopic parameters in model

圖3 三軸壓縮數(shù)值模型Fig.3 Numerical model for triaxial compression test

三軸試驗模型的加載通過對墻體施加固定速度實現(xiàn)，但每個顆粒的應力狀態(tài)在每時每刻都會更新，靜態(tài)加載方式會因顆粒之間及顆粒與墻體之間的相互作用導致三個方向的應力量值很難維持恒定.為提供一個穩(wěn)定的圍壓，需對墻體進行伺服控制［18］.伺服過程中邊界墻體的速度按下式確定：

式中：G為伺服系數(shù)；σmea為當前應力；σreq為目標應力.

式中：m為接觸個數(shù)；A為接觸面積；β為保證迭代穩(wěn)定的控制系數(shù)，取0～1之間的值.

3 基于改進BP算法的輕量化建模方法

大多學者的研究表明，材料宏細觀參數(shù)之間關系密切，細觀參數(shù)不僅獨立地對宏觀參數(shù)產(chǎn)生影響，各參數(shù)之間往往還存在一定的交叉及關聯(lián)作用，使得PFC 宏細觀參數(shù)分析及標定成為典型的高維問題.如果不加處理將所有參數(shù)考慮在內(nèi)，雖在一定程度上增大了精度，但也使得標定的難度和計算成本大幅增加，甚至使得模型的可解釋性受到影響.因此對模型進行輕量化處理，合理篩選出關鍵變量并剔除冗余數(shù)據(jù)對準確高效標定至關重要.

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡是處理非線性問題的有力工具，也是機器學習中最流行的智能算法之一.通過其強大的學習、并行和容錯能力，可以準確、高效地實現(xiàn)從輸入層到輸出層的非線性映射.它廣泛應用于非線性系統(tǒng)、函數(shù)逼近、系統(tǒng)辨識等領域，可以解決巖土工程領域的參數(shù)標定、預測、反演、建模等復雜工程技術(shù)問題.

本文提出了一種改進的BP 算法，在計算中能靈活變換功能函數(shù)形態(tài)、自適應調(diào)節(jié)動量系數(shù)和學習率，彌補了常規(guī)算法精度低、穩(wěn)定性不佳，收斂緩慢等不足.在對正交試驗結(jié)果進行訓練后可對宏細觀參數(shù)間的相互影響程度進行排序，篩選出關鍵的細觀參數(shù)，達到降低模型維度和輕量化目的.

3.1 BP算法基本原理

不同于統(tǒng)計學模型，神經(jīng)網(wǎng)絡不需要試驗樣本滿足正態(tài)分布、方差齊性、樣本數(shù)量趨于無窮大等條件，通過其較強的學習、并行與容錯能力，可準確高效地實現(xiàn)從輸入層至輸出層的非線性映射［18］.

基于BP 算法的多層感知器神經(jīng)網(wǎng)絡是一種典型的前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡，一般由三部分構(gòu)成，如圖4 所示，一組由源節(jié)點組成的輸入層，由計算結(jié)點組成的若干隱含層及輸出層.BP 算法求解的基本原理可以概括為輸入信號的正向傳播與誤差的反向傳播兩個過程，通過周而復始地交替迭代直至模型誤差最小.

圖4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡的拓撲結(jié)構(gòu)與信號流向Fig.4 Topological structure and signal flow direction of BP neural network

采用Sigmoid 函數(shù)作為神經(jīng)元功能函數(shù)，用于建立輸入（細觀參數(shù)）輸出（宏觀參數(shù)）間的映射關系：

當網(wǎng)絡的實際輸出和目標輸出（室內(nèi)試驗測得的宏觀參數(shù)）不等時，即存在誤差，定義誤差函數(shù)：

式中：Jp為第p個樣本誤差函數(shù)；L為網(wǎng)絡層數(shù).

以誤差函數(shù)為目標函數(shù)，采用梯度下降法對網(wǎng)絡各層權(quán)值進行迭代修正：

式中：η為學習率，η∈(0，1).

對隱含層則有遞推公式：

由權(quán)值修正公式（8）可知，權(quán)值的修正過程即為誤差信號由輸出層向輸入層的反向傳播過程，當誤差達到給定精度后，訓練終止.

傳統(tǒng)BP 算法簡單易用，具有較強的非線性映射能力和泛化能力，但該算法在實際應用中也存在固有缺陷，如容易陷入局部極小值、收斂速度慢、學習率不可調(diào)、學習記憶時間短等［19］.因此本文針對以上缺陷，對傳統(tǒng)BP 算法進行適當優(yōu)化改進，旨在提升算法的精度、計算效率與穩(wěn)定性.

3.2 改進的BP算法

3.2.1 功能函數(shù)中引入陡度因子

Sigmoid 函數(shù)的圖像為S 型曲線，在定義域的兩端各存在一段飽和區(qū)，在飽和區(qū)內(nèi)，節(jié)點輸出對權(quán)值的修正量變化并不敏感，如果此時網(wǎng)絡的誤差依然很大，那么很難在短時間內(nèi)通過權(quán)值的修正而降低誤差，即進入了誤差曲面的平坦區(qū)［20］，網(wǎng)絡的收斂速度將會受到很大影響.因此可以向Sigmoid 函數(shù)中引入一項陡度因子［21］δ，即

陡度因子在訓練前一般初始化為1，若訓練過程中發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡誤差變化量很小但誤差值較大時，可認為進入了誤差曲面的平坦區(qū)，此時應適當增大δ，對功能函數(shù)的形狀加以變化，增大非飽和區(qū)的范圍，當退出平坦區(qū)后，將δ恢復初值.改進后可使網(wǎng)絡的迭代次數(shù)明顯減小，提升訓練效率.

3.2.2 引入自適應動量項

由式（7）可知，傳統(tǒng)BP 算法在權(quán)值迭代中只考慮當前誤差曲面的梯度方向，忽略了之前的梯度方向，使訓練過程出現(xiàn)震蕩效應，收斂緩慢且易陷入局部最優(yōu).因此在式（7）基礎上引入動量項，將權(quán)值的修正量由上次權(quán)值的修改方向和本次誤差曲面的梯度方向共同決定.動量項反映了前期權(quán)值調(diào)整積累的經(jīng)驗，對本次修正起阻尼作用.當誤差曲面起伏較大時，可有效減小震蕩，加速收斂.本文在經(jīng)典動量方法的基礎上，采用Nesterov 動量方法［22］對網(wǎng)絡權(quán)值進行迭代，其中經(jīng)典動量方法為：

式中：α為動量系數(shù)，α∈［0，1）.

Nesterov動量方法可按下式表達：

對比以上兩式可以發(fā)現(xiàn)，相比與經(jīng)典動量方法，Nesterov 動量的梯度計算在當前速度之后，因此可以看做是在經(jīng)典動量中添加了一項校正因子.

下面討論動量系數(shù)的取值問題，一般來說，動量系數(shù)常按研究者的經(jīng)驗選取，如趙林明等［23］認為動量系數(shù)在0.9～0.98 之間網(wǎng)絡的收斂速度較快，不同學者的選取策略常導致不同的訓練效果，在實際應用中動量系數(shù)取的過小會降低網(wǎng)絡的收斂速度，過大則會導致發(fā)散，并且固定的動量系數(shù)難以適應復雜誤差曲面的形狀變化，本文則依據(jù)誤差曲面的梯度和誤差函數(shù)的調(diào)整方向計算出自適應變化的動量系數(shù)，提高網(wǎng)絡的訓練速度和穩(wěn)定性：

3.2.3 自適應學習率

學習率是BP 算法中一項至關重要的超參數(shù)，其取值將直接影響到網(wǎng)絡的訓練性能，關系到模型的收斂速度及精度，一般也是按經(jīng)驗取為一固定常數(shù)，但在實際應用中，很難給出一個從始至終都最優(yōu)的學習率［24］，因此變學習率算法在模型訓練中將體現(xiàn)出巨大優(yōu)勢.在開始階段或誤差曲面的平坦區(qū)，應選取較大的學習率，加快訓練速度的同時避免陷入局部最優(yōu)；訓練至后期或在誤差曲面陡峭部位，過大的學習率則會導致振蕩效應，難以收斂.本文針對此問題提出一個按照誤差曲面梯度和迭代次數(shù)自適應調(diào)節(jié)學習率的計算方法：

式中：d為迭代次數(shù)；dmax為最大迭代次數(shù)；λ為經(jīng)驗系數(shù).

由式（13）可知，自適應學習率可以靈活地調(diào)節(jié)迭代步長，相比于固定學習率算法，改進算法在訓練速度、準確率和穩(wěn)定性方面均有所提升.

基于改進BP 算法的細觀參數(shù)輕量化建模流程如圖5 所示，采用不同自變量值測量網(wǎng)絡模型預測值的變化量來衡量各變量的重要性，從而實現(xiàn)每個變量的重要性輸出.對重要性值低的細觀參數(shù)進行合理剔除，從而使分析模型簡潔、輕量.

圖5 基于改進BP算法的細觀參數(shù)輕量化建模流程圖Fig.5 Flow chart of meso parameter lightweight modeling based on improved BP algorithm

3.3 輕量化分析結(jié)果

采用單合隱層神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，分別利用傳統(tǒng)BP和改進BP 算法進行宏細觀參數(shù)輕量化分析.訓練時動量系數(shù)的初值均取0.9，學習率為0.05.圖6 為訓練得出的輕量化分析結(jié)果，由圖6 可見，兩種分析方法得出的結(jié)論基本一致，互相印證了分析計算結(jié)果的正確性，說明具有全局搜索能力的BP 算法能夠應用于宏細觀參數(shù)的輕量化分析.

圖6 宏細觀參數(shù)輕量化分析結(jié)果Fig.6 Results of lightweight analysis between macro and meso parameters

圖7 為兩種算法進行輕量化分析時的迭代收斂曲線.由圖可知，改進BP 算法在對彈性模量、泊松比和峰值強度輕量化分析時的訓練效果均明顯優(yōu)于傳統(tǒng)算法，訓練精度高、收斂速度快，訓練過程穩(wěn)定.以彈性模量的輕量化過程為例，迭代50 次左右后可收斂于誤差值0.01附近.而傳統(tǒng)BP算法在前15次迭代中誤差下降速度較快，但迭代至15～60 次左右時，網(wǎng)絡的收斂速度明顯變慢，并且有兩次陷入局部最優(yōu)值，經(jīng)過多次迭代才得以跳出.迭代次數(shù)大于60 后，誤差開始緩慢減小并趨于收斂，但收斂過程中網(wǎng)絡震蕩幅度較大，迭代至80～120次時震蕩幅度可達22%，繼續(xù)迭代至160 次后伴隨小幅震蕩并收斂于誤差值0.019附近，與本文方法相比，誤差增大了47%左右.

圖7 宏細觀參數(shù)輕量化分析的迭代收斂曲線Fig.7 Iterative convergence curve for lightweight analysis between macro and meso parameters

綜上對比可見，本文方法在BP 算法的功能函數(shù)和權(quán)值修正和迭代策略方面進行了改進，使得改進BP 算法在計算精度、收斂速度和穩(wěn)定性方面均明顯高于傳統(tǒng)方法.從機理上講，自適應動量和學習率可以根據(jù)不同的誤差曲面，實時調(diào)整權(quán)值修正策略及迭代方法，避免了搜索中陷入局部最優(yōu)及震蕩效應，使迭代曲線更加平滑.引入陡度因子的功能函數(shù)能夠使迭代快速跳出平坦區(qū)，有效減少迭代次數(shù).從本質(zhì)上講，在誤差曲面上不同的搜索路徑使得改進算法在迭代40～50 次左右后就可穩(wěn)定收斂于誤差值0.01，準確性更高，速度更快，獲得的輕量化結(jié)果更加可靠且便于操作，在宏細觀參數(shù)輕量化分析中具有一定優(yōu)勢.

由此可見，通過輕量化分析，對每個宏觀參數(shù)均篩選出了3 個影響最為顯著的細觀參數(shù)，其余變量則進行合理剔除，將原有的10 個變量非線性關系簡化至3 個，大幅節(jié)約了計算成本，為后續(xù)研究提供了便利.

綜上所述，通過引入含陡度因子的功能函數(shù)、自適應Nesterov動量法及自適應學習率改進的BP算法提升了傳統(tǒng)算法的穩(wěn)定性與收斂速度，有效降低了模型維度，合理地簡化了宏細觀參數(shù)分析模型，達到了輕量化目的，為準確進行宏細觀參數(shù)影響特性分析及參數(shù)標定奠定了基礎.

4 宏細觀參數(shù)相關性及影響特性分析

4.1 單一細觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的影響特性分析

根據(jù)上文輕量化分析結(jié)果，將篩選出的有顯著影響的細觀參數(shù)做進一步研究，獲得了宏細觀參數(shù)間的箱線變化趨勢圖（圖8）.圖8 中每個箱線的上、下邊緣分別表示同一水平數(shù)據(jù)中除異常值外的最大、最小值；中間箱盒的底部為下四分位數(shù)；頂部為上四分位數(shù)；中部紅線為中位數(shù)；小圓圈則表示異常值，異常值的判定為高于數(shù)據(jù)的上限或低于下限，上、下限是由對應的四分位數(shù)和四分位距（上、下四分位數(shù)的差值）計算得來，下限值為下四分位數(shù)和1.5 倍的四分位距之差，上限值則為上四分位數(shù)和1.5倍的四分位距之和.

圖8 宏細觀參數(shù)箱線變化趨勢圖Fig.8 Boxplot between macro and meso parameters

4.1.1 細觀參數(shù)對宏觀彈性模量的影響

由圖8 可見，隨著等效模量的增加，彈模整體呈增加趨勢.這種增加可以分為兩個階段，當?shù)刃Ａ枯^小時，增加幅度不明顯，大于20 GPa后開始顯著增長，其中位數(shù)基本呈線性增長.每個箱盒分別來看，可知同一水平下的宏觀彈模近似呈正態(tài)分布，等效模量較低時，其四分位距較小，隨著等效模量的增加，宏觀彈模的分布也逐漸離散化.

在平行黏結(jié)剛度比方面，隨著剛度比增加，彈模呈非線性減小趨勢.當時這種趨勢基本可以線性化.每個箱盒分別來看，同一水平下彈模的分布均比較離散，呈右偏分布.總的來看，彈模隨剛度比減小的速率要小于隨等效模量增加的速率，可見等效模量是影響宏觀彈模最重要的因素.這與輕量化分析所得的結(jié)論是一致的.

4.1.2 細觀參數(shù)對泊松比的影響

隨著摩擦系數(shù)增加，泊松比基本呈二次曲線的減小規(guī)律.本文的研究表明，μ對于彈模和峰值強度兩個宏觀參數(shù)具有正向激勵作用.摩擦系數(shù)較小時，泊松比減小幅度較大；當μ>0.5 后減小趨勢逐漸平緩，量值基本在0.2～0.3 左右波動，這也是工程中常見巖體材料泊松比的取值范圍，建議在對摩擦系數(shù)進行參數(shù)標定時可取0.5作為初始值.

4.1.3 細觀參數(shù)對峰值強度的影響

在平行黏結(jié)抗剪強度方面，峰值強度呈現(xiàn)增長率逐漸減小的拋物線變化規(guī)律在50～100 MPa 區(qū)間段峰值強度增長最為明顯，之后其中位數(shù)及第一四分位數(shù)變化曲線逐漸平緩，第三四分位數(shù)及上限值還有所增長.在數(shù)據(jù)分布方面，規(guī)律和基本類似，在此不再贅述.

峰值強度隨內(nèi)摩擦角增加基本呈線性增長，同一水平下峰值強度呈右偏分布，內(nèi)摩擦角越大，數(shù)據(jù)波動范圍也相應增大.同時，內(nèi)摩擦角對巖石峰后強度具有一定影響，這是由于峰后加載時，內(nèi)摩擦角對剪切帶兩側(cè)的顆?；瑒泳哂幸欢刂谱饔?

4.2 多個細觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的影響特性分析

前述章節(jié)對宏細觀參數(shù)之間變化規(guī)律進行了初步分析，通常來講，宏觀參數(shù)往往受多個細觀參數(shù)共同影響，單一參數(shù)很難對某個宏觀參數(shù)起到?jīng)Q定性作用，這也解釋了箱線圖中四分位距較大的原因.因此本節(jié)將上文篩選出的細觀參數(shù)進行交叉組合，研究多細觀參數(shù)影響下宏觀參數(shù)的變化規(guī)律.

4.2.1 多個細觀參數(shù)對彈性模量的影響

4.2.2 多個細觀參數(shù)對泊松比的影響

由前文分析可知，泊松比和kn/ks及間均存在線性關系.如圖9（d）和（e）所示，固定μ時，泊松比隨剛度比增加呈線性增長趨勢，各條曲線基本平行；摩擦系數(shù)的增大將引起泊松比的非線性減小，并且摩擦系數(shù)越小，減小幅度越大.

圖9 多個細觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的聯(lián)合影響Fig.9 Joint effect of multiple meso parameters on macro parameters

4.2.3 多個細觀參數(shù)對峰值強度的影響

5 討論

利用PFC 從細觀尺度研究材料的物理力學特性或進行巖土工程數(shù)值研究時，最重要的就是選取合適的細觀力學參數(shù)，使其準確反映材料的宏觀力學行為.以往細觀參數(shù)標定問題多采用試錯法且基于二維模型，一般通過將數(shù)值模型得到的宏觀力學參數(shù)和室內(nèi)試驗的測定結(jié)果進行反復對比試錯，直到數(shù)值計算結(jié)果與現(xiàn)場試驗結(jié)果吻合.這種方法一般沒有特定的規(guī)律可循，在一定程度上依靠研究者的經(jīng)驗；同時難以使用梯度算法，效率較低，往往會成倍地增加計算成本，且難以反映巖石在三維條件下的力學特性，在實際應用中遇到了較大限制.

本文的思路則是先利用BP 算法對復雜的標定模型進行輕量化，準確量化每個細觀參數(shù)對宏觀參數(shù)的影響，并篩選出對宏觀參數(shù)有重大影響的關鍵細觀參數(shù).在算法方面，針對傳統(tǒng)BP 算法效率低、穩(wěn)定性不佳等缺陷，提出了引入陡度因子、自適應動量項及學習率的改進BP 算法，獲得了良好的輕量化效果.通過分析宏細觀參數(shù)間的相互作用規(guī)律，揭示了兩種尺度參數(shù)間的作用機制并驗證了輕量化分析結(jié)果的合理性.為PFC 參數(shù)標定研究提供了理論及數(shù)學模型.

然而，本文仍發(fā)現(xiàn)一些問題值得進一步討論和研究：1）本文的輕量化分析成果主要基于平行黏結(jié)模型，在PFC 其他接觸模型中的適用性還有待驗證.2）尚未考慮clump 屬性的影響，關于復雜顆粒在巖石宏細觀參數(shù)標定中的作用今后還有待進一步研究.3）本文的研究成果主要用于減少宏細觀參數(shù)分析模型中的變量個數(shù)并揭示兩種尺度參數(shù)間的相互作用規(guī)律，以對PFC 細觀參數(shù)標定問題提供數(shù)學模型，并未直接采用BP 算法對細觀參數(shù)進行標定，標定方法部分后續(xù)將進行深入研究.

6 結(jié)論

本文從PFC3D 基本理論及宏細觀定性關系入手，基于平行黏結(jié)模型，通過合理的試驗設計及數(shù)據(jù)分析方法，對宏細觀參數(shù)間的敏感性進行量化，提出了一種基于改進BP 算法的宏細觀參數(shù)輕量化分析方法，可為PFC 細觀參數(shù)標定問題提供一定參考.本文得到的主要結(jié)論如下：

1）通過在功能函數(shù)中引入陡度因子、自適應動量系數(shù)的Nesterov 動量法及自適應學習率提出了一種改進BP 算法并將其應用于PFC 細觀參數(shù)輕量化處理問題中；在與傳統(tǒng)BP 算法的對比中發(fā)現(xiàn)：改進算法的收斂速度提升了140%，避免了迭代中的震蕩效應并使誤差減小了47%左右.獲得的結(jié)果更加準確合理，有效達到了宏細觀參數(shù)分析模型輕量化目的.同時，本文提出的算法在水利及巖土工程領域中的相近問題上也具有一定適用性.

2）采用改進的BP 算法進行輕量化分析發(fā)現(xiàn)：等效模量、平行黏結(jié)剛度比及平行黏結(jié)控制間隙對巖石彈模有顯著影響，其中等效模量起主導作用，另一方面改進BP 算法較傳統(tǒng)方法明顯的反映了剛度比對彈模的重要性；對泊松比影響較大的細觀參數(shù)為平行黏結(jié)剛度比、顆粒剛度比及摩擦系數(shù)，本文算法在兩個剛度比的重要性刻畫上要稍準確一些；平行黏結(jié)抗壓、抗剪強度及內(nèi)摩擦角對峰值強度有控制作用.