浙江工業(yè)大學(xué)附屬德清高級中學(xué)(313200)施利強(qiáng)

摘要本文對2022年高考浙江卷第10 題給出了多種解析,并深入挖掘了試題的命制思路和背景.在此啟發(fā)下又命制了變式試題,為一線教師的解題教學(xué)帶來思考和便利.最后,挖掘得到歷年經(jīng)典試題有相同的命制模型,而且解決方法都是構(gòu)造類等差類等比數(shù)列,以此向經(jīng)典試題致敬,向浙江卷致敬.

關(guān)鍵詞命題背景;變式探究;類等差類等比

1 試題呈現(xiàn),初步分析

題目(2022年高考浙江卷第10 題)已知數(shù)列{an}滿足,則( )

簡析數(shù)列{an}的遞推關(guān)系為經(jīng)典的二次型,一般的處理手段為取倒數(shù)裂項(xiàng)構(gòu)造類等差.首先,通過數(shù)列的蛛網(wǎng)圖容易得到數(shù)列{an}單調(diào)遞減且an ∈(0,1).以下給出多角度解析.

2 一題多解,多維剖析

評注取倒數(shù)裂項(xiàng)構(gòu)造類等差數(shù)列是處理二次型遞推的常用手段,解法一相對較為自然.相對來說,左側(cè)的估值精度較高,難度大于右側(cè),對左側(cè)的放縮進(jìn)一步給出以下的三種方法.

評注以上三種解析最終轉(zhuǎn)化為對調(diào)和級數(shù)[1]的估值,常用手段有分組放縮求和及利用lnx的常用不等式放縮求和.從試題的解析可以得到,該試題解決的核心最終回歸到構(gòu)造類等差數(shù)列放縮求解.

3 致敬經(jīng)典,深度挖掘

3.1 致敬經(jīng)典,命題探源由試題的遞推關(guān)系和設(shè)問方式,容易聯(lián)想到高考浙江卷2015年數(shù)列經(jīng)典試題解答題壓軸題和2021年選擇題壓軸題.以下筆者結(jié)合經(jīng)典試題,對2022年的試題進(jìn)行命題探源.

由遞推關(guān)系,容易聯(lián)系到2015年浙江省高考第22 題,這兩道高考試題的遞推式較為相似,都是二次型遞推,典型的取倒數(shù)裂項(xiàng)模型.2004年至2008年,2015 至2017年浙江卷以數(shù)列作為解答題壓軸題的形式考察,也留下了較多的經(jīng)典試題,2022 的高考試題命題意圖也意在向經(jīng)典試題致敬.

此外,由試題設(shè)問方式容易聯(lián)想到2021年選擇壓軸題,相比較2021年,今年的試題相對較為友好.進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn),兩個(gè)試題都是Stolz 定理背景下命制的高質(zhì)量試題.實(shí)際上,Stolz 定理也稱為數(shù)列的L’Hospital 法則,是研究數(shù)列收斂(發(fā)散)速度較為有效的工具,以下筆者先介紹Stolz 定理.

若將Stolz 定理運(yùn)用到2022年的試題,我們可以分析得到試題Stolz 定理下的命制背景,以下給出試題命制背景啟發(fā)下的解析五.

解析五由Stolz 定理

評注對比分析可以發(fā)現(xiàn)向經(jīng)典致敬是2022年高考試題的命題意圖,從經(jīng)典試題和2022年高考試題的解析也可以發(fā)現(xiàn),試題的解決還是回歸到構(gòu)造類等差類等比數(shù)列,因此對基本知識和技能的考察是高考試題考察的根本.

3.2 深度挖掘,變式探究

挖掘得到試題在Stolz 定理下的命制背景,筆者仍意猶未盡,進(jìn)一步聯(lián)想到2022年浙江省預(yù)賽數(shù)列解答題.浙江省預(yù)賽試題常作為高考試題的預(yù)測題研究,筆者在該預(yù)賽試題的啟發(fā)下,對高考試題進(jìn)行了變式探究,進(jìn)一步挖掘了高考試題的命題價(jià)值.

題目2(2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江省預(yù)賽)設(shè)數(shù)列{an}滿足證明:(1)數(shù)列{an-n}(n≥2)為單調(diào)遞減;(2)存在一個(gè)常數(shù)c使得.

二次型遞推是常見的遞推關(guān)系,相關(guān)也有較多的經(jīng)典試題.相比于高考試題,2022年浙江省預(yù)賽試題的特點(diǎn)在于遞推關(guān)系式中有自然數(shù)n,使得處理數(shù)列常用的不動點(diǎn)、蛛網(wǎng)圖等工具不能有效運(yùn)用,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為考察學(xué)生代數(shù)變形和數(shù)列常用放縮手段的運(yùn)用能力.實(shí)際上,該預(yù)賽試題和高考試題有相同的考察意圖,最終都回歸到構(gòu)造類等差數(shù)列放縮解決,以下筆者先給出該試題第二問的常規(guī)解析,試題第一問不再贅述.

與高考題相同的是,預(yù)賽試題最終還是考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識和技能,相比于該試題,高考題相對友好.雖然今年的預(yù)賽題沒能起到預(yù)測作用,但在該試題啟發(fā)下,筆者在高考題遞推關(guān)系基礎(chǔ)上引入自然數(shù),對試題進(jìn)行了深度改編,以期對一線教師的解題教學(xué)帶來思考.

評注由于上述預(yù)賽題和高考題關(guān)聯(lián)密切,所以浙江省預(yù)賽是高考外關(guān)注度較高的考試,相關(guān)的試題也是我們一線教師研究的題源.

筆者在該預(yù)賽試題遞推關(guān)系的啟發(fā)下,在高考試題的基礎(chǔ)上加入自然數(shù)后深度改編得到變試題1 和2.這兩個(gè)變式試題質(zhì)量較高,是對學(xué)生綜合分析能力的考察,但是兩個(gè)變式試題的處理方法核心還是構(gòu)造類等差類等比數(shù)列,與高考試題的命題意圖一致.

4 回顧歷年,難說再見

歷年浙江省高考試題中,2004 至2008年,2015 至2017年數(shù)列以大題壓軸題的形式考察,2018,2019,2021 和2022年數(shù)列以選填壓軸題出現(xiàn),筆者在文[2]中發(fā)現(xiàn)這些壓軸試題命題的本質(zhì)是數(shù)列的收斂(發(fā)散)速度.在本文中,筆者又進(jìn)一步研究了這些高考試題,發(fā)現(xiàn)包括2022年浙江省預(yù)賽試題在內(nèi)的遞推關(guān)系都可以化歸為an+1=an+f(an)的形式,收斂(發(fā)散)速度符合如下的兩個(gè)結(jié)論.

其中,2015年浙江卷第22 題,2021年第10 題和2022年第10 題的命題背景均為結(jié)論1,考察冪函數(shù)型數(shù)列的收斂(發(fā)散)性質(zhì).2006年浙江卷第22 題,2016年第22 題和2017年第22 題命題背景為結(jié)論2,考察指數(shù)型數(shù)列的收斂(發(fā)散)性質(zhì).進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)試題求解的方法最后都化歸為類等差類等比數(shù)列求解,本文因篇幅所限不再贅述.作為浙江卷的封關(guān)之作,數(shù)列試題仍舊以選擇題壓軸題的形式出現(xiàn),可見數(shù)列在浙江卷中地位之重要.雖然今年的數(shù)列試題相對較為溫和,但是考察的形式和考察的核心思想仍舊是浙江味道,讓人回味無窮,難說再見.

5 寫在最后

歷時(shí)19年的浙江卷告別歷史舞臺,給我們留下了太多經(jīng)典的試題,浙江的學(xué)生和教師在浙江卷的陪伴下也不斷成長與進(jìn)步.2023年浙江將開始全國卷之旅,2022年全國卷被譽(yù)為史上最難的試卷,是否在暗示著歡迎浙江的加入,全國卷會不會因此有浙江元素的注入,讓我們拭目以待.