劉岳　歐陽英圖　葉雯

摘 要：加速壽命試驗(yàn)是利用加速應(yīng)力水平下的壽命特征去外推評(píng)估正常應(yīng)力水平下的壽命特征的試驗(yàn)技術(shù)。針對(duì)在汽車智能化發(fā)展中起著重要作用的汽車電子器件，本文將服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的樣本在步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)合貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷，得出了基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)的加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析方法，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)汽車電子器件的壽命估計(jì)。本文通過有機(jī)發(fā)光二極管的案例應(yīng)用，驗(yàn)證了貝葉斯對(duì)數(shù)正態(tài)分布加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析方法的可行性和有效性，對(duì)相關(guān)理論研究和工程試驗(yàn)的開展具有借鑒意義。

關(guān)鍵詞：汽車電子產(chǎn)品 壽命分析 加速壽命試驗(yàn) 貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷

1 緒論

隨著汽車電氣化乃至智能化的發(fā)展，汽車電子器件在車身各關(guān)鍵設(shè)備上的應(yīng)用日漸廣泛[1]。汽車電子器件的工作狀態(tài)、功能、壽命與汽車的正常行駛息息相關(guān)，若出現(xiàn)問題，輕則造成財(cái)產(chǎn)損失，重則造成人員傷亡。因此，對(duì)汽車電子器件進(jìn)行壽命分析，具有重大的實(shí)際意義。

1.1 加速壽命試驗(yàn)與加速模型

為了快速地暴露產(chǎn)品的薄弱環(huán)節(jié)，在較高應(yīng)力下以更短的試驗(yàn)時(shí)間推斷正常應(yīng)力下的壽命特征，常采取加速壽命試驗(yàn)（Life Accelerated Testing，ALT）。即在失效機(jī)理不變的基礎(chǔ)上，通過加速模型，利用加速應(yīng)力水平下的壽命特征去外推評(píng)估正常應(yīng)力水平下的壽命特征的試驗(yàn)技術(shù)。加速壽命試驗(yàn)方法因其可縮短試驗(yàn)時(shí)間、提高試驗(yàn)效率、降低試驗(yàn)成本等優(yōu)勢(shì)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于各類工程實(shí)際問題之中[2]。

為了能夠利用ALT中搜集到的產(chǎn)品壽命信息外推產(chǎn)品在正常應(yīng)力條件下的壽命特征，必須建立產(chǎn)品壽命特征與加速應(yīng)力水平之間的關(guān)系，即加速模型。常用的加速模型分為物理模型和統(tǒng)計(jì)模型，具體有阿倫尼斯模型、艾琳模型、廣義艾琳模型、沖蝕磨損模型、逆冪律模型、Coffin-Manson模型、Norris-Landzberg模型等[3]。

ALT的統(tǒng)計(jì)分析是通過估計(jì)壽命分布函數(shù)的參數(shù)和確定加速模型的參數(shù)，從而外推評(píng)估正常應(yīng)力水平S0下的壽命特征。

1.2 貝葉斯理論

在工程和實(shí)際試驗(yàn)中，對(duì)于待估計(jì)參數(shù)常常會(huì)有一定的現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)和信息，為了利用好這一部分信息，同時(shí)通過新的數(shù)據(jù)對(duì)已有信息進(jìn)行更新，則常用貝葉斯統(tǒng)計(jì)方法[4]進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。

p（θ|y）稱為后驗(yàn)密度函數(shù)；p（θ）稱為先驗(yàn)密度函數(shù)；m（y）是數(shù)據(jù)的邊沿密度函數(shù)；f（y|θ）是數(shù)據(jù)的抽樣密度函數(shù)。

由于汽車為批量生產(chǎn)的產(chǎn)品，因此其電子器件也具有相當(dāng)多的歷史信息，故采用基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)ALT分析，能夠更準(zhǔn)確地評(píng)估汽車電子器件壽命，并對(duì)產(chǎn)品已有信息進(jìn)行更新。

2 基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)的ALT分析方法

2.1 基本假設(shè)

以對(duì)數(shù)正態(tài)分布場(chǎng)合下的步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)（Step-Stress Accelerated Life Testing， SSALT）為例，試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析是在以下四個(gè)假定下進(jìn)行的[2]。

假設(shè)1：在正常應(yīng)力水平S0和k個(gè)加速應(yīng)力水平S1

式中，?為對(duì)數(shù)均值，σ2為對(duì)數(shù)方差。

其分布函數(shù)為

假設(shè)2：產(chǎn)品在加速應(yīng)力水平S1

假設(shè)3：產(chǎn)品的某壽命特征ξ與施加的應(yīng)力水平Si有如下的對(duì)數(shù)線性關(guān)系

在對(duì)數(shù)正態(tài)分布中我們用中位壽命e?來表征壽命特征，所以常用的加速模型例如阿倫尼斯模型、逆冪律模型、指數(shù)率模型的加速模型表達(dá)式為

假設(shè)4：產(chǎn)品的殘余壽命僅依賴于已累積失效的部分和當(dāng)時(shí)的應(yīng)力水平，而與累積方式無關(guān)（Nelson累積失效假定）。

2.2 假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)檢驗(yàn)是指根據(jù)樣本提供的信息來推斷總體特性的某些假設(shè)是否成立，步驟如下：

1.提出原假設(shè)H0：即需要檢驗(yàn)的假設(shè)內(nèi)容；

2.引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量：根據(jù)H0的內(nèi)容選取合適的統(tǒng)計(jì)量；

3.確定統(tǒng)計(jì)量的精確分布或漸近分布；

4.根據(jù)觀測(cè)到的樣本值算出統(tǒng)計(jì)量的值；

5.確定適當(dāng)?shù)娘@著性水平α；

6.根據(jù)統(tǒng)計(jì)量分布，由顯著性水平確定臨界點(diǎn)P{統(tǒng)計(jì)量計(jì)算值>Kα}=α

現(xiàn)針對(duì)基本假設(shè)1和2做分布檢驗(yàn)和參數(shù)檢驗(yàn)。

2.2.1 壽命分布的假設(shè)檢驗(yàn)

分布檢驗(yàn)針對(duì)基本假設(shè)1，使用正態(tài)分布偏峰度檢驗(yàn)[2]進(jìn)行對(duì)數(shù)正態(tài)分布分布檢驗(yàn)。

偏度描述分布密度函數(shù)的對(duì)稱程度，分布密度越對(duì)稱，偏度越??；峰度描述分布密度函數(shù)的陡峭程度，分布密度越陡峭，峰度越大。偏度和峰度分別定義為

式中，?3為三階中心矩，?4為四階中心矩，σ2為方差。以正態(tài)分布為例，由于正態(tài)分布N（?，σ2）的偏度為0，峰度為3，因此可以通過樣本偏度和峰度是否接近0和3來判斷數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布，具體判斷方法如下：

1）偏度檢驗(yàn)

檢驗(yàn)原假設(shè)H0：Cs=0，即原假設(shè)認(rèn)為分布密度函數(shù)是對(duì)稱的，若偏度Cs估計(jì)的絕對(duì)值超過它的1-α分位數(shù)，則在顯著水平α下拒絕原假設(shè)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量|Cs|的1-α分位數(shù)可查表[5]得到，偏度檢驗(yàn)適用于樣本量n≥8。

2）峰度檢驗(yàn)

3）檢驗(yàn)原假設(shè)H0：Ce=3，即原假設(shè)認(rèn)為分布密度函數(shù)是對(duì)稱的，若Ce大于3，則說明峰度過度，這時(shí)備擇假設(shè)H1：Ce>3，若Ce小于3，則說明峰度不足，這時(shí)備擇假設(shè)H1：Ce<3，峰度檢驗(yàn)適用于樣本量n≥8。其中統(tǒng)計(jì)量Ce的臨界值可查[5]得到。

2.2.2 形狀參數(shù)相等的假設(shè)檢驗(yàn)

形狀參數(shù)檢驗(yàn)?zāi)康氖谴_認(rèn)加速應(yīng)力是否改變了產(chǎn)品的失效機(jī)理，該檢驗(yàn)針對(duì)基本假設(shè)2。

對(duì)于對(duì)數(shù)正態(tài)分布，可以把形狀參數(shù)的檢驗(yàn)問題轉(zhuǎn)化成方差一致性的檢驗(yàn)問題[6]。對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)

根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)用最好線性無偏估計(jì)（BLUE）計(jì)算σi的估計(jì)值。構(gòu)造巴特利特檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，即

式中，lri，ni為的方差系數(shù)。則在H0成立下，B2/C近似的服從自由度為K-1的χ2分布，給定顯著性水平?，若，拒絕H0；否則接受H0。

2.3 特征數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

2.3.1 數(shù)據(jù)折算

在應(yīng)力水平Si下，產(chǎn)品工作ti時(shí)間內(nèi)累積失效的概率Fi（ti）相當(dāng)于此種產(chǎn)品在Sj下工作tj時(shí)間內(nèi)累積失效的概率Fj（tj）[2]。由假設(shè)2，可得在應(yīng)力水平Si下的工作時(shí)間τi折算到應(yīng)力水平Sj下的折算時(shí)間τij為

記a1=0，。則產(chǎn)品在Si下的真實(shí)壽命數(shù)據(jù)為

其中b為假設(shè)3中加速方程：中的待估參數(shù)；φ（Si）為已知函數(shù)，記為φi。即在每一個(gè)應(yīng)力水平Si下，ri個(gè)失效產(chǎn)品的折算壽命為

式中：;，除外，它們都是b的函數(shù)。

2.3.2 貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷

聯(lián)立壽命分布和加速模型：

得下式：

可知，待估參數(shù)為a、b、σ。

1）確定先驗(yàn)分布

進(jìn)行貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的第一步是為待估參數(shù)確定先驗(yàn)分布。根據(jù)待估參數(shù)的先驗(yàn)信息的多少，可分為無信息先驗(yàn)分布和有信息先驗(yàn)分布。

a）無信息先驗(yàn)分布

若試驗(yàn)前有關(guān)待估參數(shù)a、b、σ的信息相對(duì)較少，可以假設(shè)其先驗(yàn)分布為均勻分布，例如：a～U[x1， y1]，b～U[x2， y2]，σ～U[x3，y3]；xi，yi的取值可由現(xiàn)有信息、經(jīng)驗(yàn)決定。確定無信息先驗(yàn)分布的方法還有Jeffrey法則[7]等。

b）有信息先驗(yàn)分布

若試驗(yàn)前有比較充足的關(guān)于待估參數(shù)的先驗(yàn)信息時(shí)，可根據(jù)先驗(yàn)信息確定先驗(yàn)分布。常見的先驗(yàn)信息主要來源于：物理/化學(xué)理論、仿真分析、工程試驗(yàn)和質(zhì)量控制測(cè)試結(jié)果、一些通用的可靠性數(shù)據(jù)、相似產(chǎn)品信息以及專家經(jīng)驗(yàn)。

確定有信息先驗(yàn)分布的方法[8]主要有：直方圖法、選定先驗(yàn)密度分布函數(shù)形式再估計(jì)其超參數(shù)、變分讀法與定分度法以及多層先驗(yàn)等。

2）觀測(cè)數(shù)據(jù)先驗(yàn)分布的更新

先驗(yàn)分布p（θ）代表了試驗(yàn)前對(duì)待估參數(shù)的初始估計(jì)。在得到數(shù)據(jù)后，可以利用“新的信息”對(duì)先驗(yàn)分布進(jìn)行更新，得到后驗(yàn)分布。根據(jù)貝葉斯定理，后驗(yàn)分布是由似然函數(shù)和先驗(yàn)分布相乘得到的。

后驗(yàn)分布似然函數(shù)×先驗(yàn)分布

在本文中，似然函數(shù)即

具體計(jì)算是由馬爾科夫鏈蒙特卡羅（MCMC）算法得出[9]：通過模擬的方法直接從后驗(yàn)分布中生成參數(shù)向量的仿真樣本，基于樣本進(jìn)行后續(xù)統(tǒng)計(jì)推斷。

在本文算例中，具體計(jì)算通過WinBUGS軟件實(shí)現(xiàn)。在WinBUGS中輸入三個(gè)參數(shù)的先驗(yàn)分布、似然函數(shù)，以及試驗(yàn)失效數(shù)據(jù)，運(yùn)行后能夠給出參數(shù)的仿真樣本，即一系列服從對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)分布的a、b、σ的值。

3）分位壽命的計(jì)算

第三步則是通過估計(jì)參數(shù)計(jì)算出分位壽命tp=f（a，b，p），可分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。

a）點(diǎn)估計(jì)

主要有三種方法：一是極大后驗(yàn)密度估計(jì)（maximum a posteriori estimate， MAP），即后驗(yàn)密度函數(shù)取極大值處相應(yīng)的待估參數(shù)值；二是取參數(shù)的后驗(yàn)均值；三是取參數(shù)的后驗(yàn)中位數(shù)。通過點(diǎn)估計(jì)得到a，b的值后，即可計(jì)算出分位壽命tp。

b）區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)時(shí)可以通過a， b的樣本值，兩兩配對(duì)各算出一個(gè)分位壽命——tp=f（a，b，p）；然后對(duì)其取置信區(qū)間即可（例如，取置信度為α的置信區(qū)間，則除去tp取值中前α/2和后α/2的取值，所得的[tpmin， tpmax]即為置信區(qū)間）。

3 案例分析

本文借鑒文獻(xiàn)[10]中的案例和試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行貝葉斯對(duì)數(shù)正態(tài)步進(jìn)ALT統(tǒng)計(jì)分析。

試驗(yàn)對(duì)象采用汽車電子器件——有機(jī)發(fā)光二極管（Organic Light-Emitting Diode， OLED）。對(duì)于OLED，影響其壽命的主要因素是電流，因而選擇電流為加速應(yīng)力進(jìn)行分析。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)要求，在對(duì)OLED電子產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn)階段，施加的應(yīng)力，即電流，應(yīng)該介于最大應(yīng)力和最小應(yīng)力中，且最大應(yīng)力不應(yīng)該超過極限應(yīng)力，并且所施加的應(yīng)力水平由目前的制造技術(shù)可以達(dá)到?？紤]到試驗(yàn)時(shí)長(zhǎng)與成本，采用SSALT。此外，隨著電流的增大，不能夠?qū)LED電子產(chǎn)品引發(fā)新的失效機(jī)理。OLED電子產(chǎn)品的失效判據(jù)為：當(dāng)OLED的亮度降低到原亮度的50%以下時(shí)，認(rèn)為這個(gè)樣本失效，并記錄相應(yīng)的失效時(shí)間。

3.1 基本假設(shè)

進(jìn)行SSALT試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析的基本假設(shè)同2.1節(jié)。其中，在對(duì)數(shù)正態(tài)分布中用中位壽命來表征壽命特征，本文中的應(yīng)力為電流，所以選擇逆冪律模型作為加速模型：

3.2 數(shù)據(jù)折算處理

1.原始數(shù)據(jù)

試驗(yàn)中一共投入了32個(gè)樣本進(jìn)行試驗(yàn)，假定正常的工作條件中，應(yīng)力I0=3.20mA。在SSALT中選擇了四個(gè)應(yīng)力水平，分別為：I1=9.64mA，I2=12.36mA，I3=17.09mA，I4=22.58mA，在每個(gè)應(yīng)力水平下收集八個(gè)失效數(shù)據(jù)，示意圖如圖1，試驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄如表1。

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行折算：

其中，τji為加速因子，且，β=-1.8154，，，。將所有的數(shù)據(jù)折算到應(yīng)力為I1的水平。

3.3 基于貝葉斯的SSALT統(tǒng)計(jì)分析

將壽命分布的模型、先驗(yàn)信息以及折算數(shù)據(jù)導(dǎo)入到winbugs中進(jìn)行求解，求解的結(jié)果如圖２所示。

通過winbugs的求解，得到參數(shù)a和b的貝葉斯估計(jì)，即后驗(yàn)樣本值，代入到壽命分布函數(shù)中即可計(jì)算在正常應(yīng)力下的各種壽命指標(biāo)的估計(jì)。

顯然，0.5分位壽命是參數(shù)a和b的函數(shù)，即t0.5=（a，b）；每一組a，b可以計(jì)算一個(gè)p=0.5的分位壽命，取均值，得到0.5分位壽命t0.5=24100h。

先對(duì)參數(shù)a和b進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)，常用的方法有眾數(shù)/平均數(shù)和中位數(shù)。

眾數(shù)：求得a和b的眾數(shù)，帶入到壽命分布中，得到相關(guān)的分位壽命，t0.5=20647h，這個(gè)結(jié)果和分位壽命均值的結(jié)果有所差異，通過分析a和b的概率密度函數(shù)（如圖3）可知原因?yàn)椋簠?shù)a和b通過數(shù)據(jù)的迭代會(huì)逐漸向著最終的分布形式過渡，但是由于目前的試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，概率密度函數(shù)都還具有均勻分布和正態(tài)分布的特點(diǎn)，因而處于過渡階段。

平均數(shù)：求得a和b的平均數(shù)，帶入到壽命分布中，得到相關(guān)的分位壽命t0.5=16400h；

中位數(shù)：求得a和b的中位數(shù)，帶入到壽命分布中，得到相關(guān)的分位壽命t0.5=16200h；

0.5分位點(diǎn)壽命的置信區(qū)間：對(duì)于winbugs生成的參數(shù)a和b的后驗(yàn)樣本，帶入壽命分布函數(shù)中求解一組0.5分位點(diǎn)的壽命值t0.5，對(duì)這些t0.5進(jìn)行分布擬合，可以得到如圖4的概率密度函數(shù)。

相應(yīng)地，根據(jù)置信區(qū)間的計(jì)算方法，可以得到置信度為0.9的t0.5的置信區(qū)間為[3639.1041， 76083.1355]。

4 總結(jié)

本文針對(duì)汽車電子器件，介紹了基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的對(duì)數(shù)正態(tài)步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析方法。利用已有歷史數(shù)據(jù)的信息，同時(shí)通過新的數(shù)據(jù)對(duì)已有信息進(jìn)行更新；結(jié)合加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析方法，對(duì)服從對(duì)數(shù)正態(tài)的汽車電子器件壽命進(jìn)行了點(diǎn)估計(jì)及區(qū)間估計(jì)。通過案例應(yīng)用，驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。同時(shí)，基于貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的對(duì)數(shù)正態(tài)步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析方法也可以進(jìn)一步推廣應(yīng)用于各類加速壽命試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析中，對(duì)工程應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。

項(xiàng)目資助：

湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)21C1659

湖南省自然基金科教聯(lián)合項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)2022JJ60113。

參考文獻(xiàn)：

[1]李莉. 基于售后數(shù)據(jù)的汽車電子元器件壽命分布估計(jì)研究[J]. 甘肅科技， 2021， 37（6）：2.

[2]趙宇. 可靠性數(shù)據(jù)分析[M]. 國(guó)防工業(yè)出版社， 2011.

[3]Nelson W. Accelerated Testing： Statistical Models， Test Plans， and Data Analysis[M].? 2008.

[4]王婧， 鮑貴. 貝葉斯統(tǒng)計(jì)與傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法的比較[J]. 統(tǒng)計(jì)與決策， 2021（037-001）.

[5]李良巧. 可靠性工程師手冊(cè)[M]. 中國(guó)人民大學(xué)出版社， 2012.

[6]程琮，范華， Levene方差齊性檢驗(yàn). 中國(guó)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)， 2005. 22（6）： p. 408-408.

[7]Tiao， G. C.， and G. E. P. Box. Some Comments on "Bayes" Estimators. American Statistician 27.1. 1973. pp：12-14.

[8]柴慧敏， 趙昀瑤， 方敏. 利用先驗(yàn)正態(tài)分布的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)參數(shù)學(xué)習(xí)[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2018， 40（10）：6.

[9]Hamada， Michael S.， et al. Bayesian Reliability. Bayesian reliability. Springer， 2008.

[10]Zhang J， Cheng G， Xiao C， et al. Accelerated life test of white OLED based on lognormal distribution[J]. Indian Journal of Pure and Applied Physics. 2014， 52（10）：671-677.