基于障礙Lyapunov函數(shù)的未知控制方向非線性系統(tǒng)的約束魯棒輸出調節(jié)

孫偉杰,喬雨晨,彭云建

(華南理工大學自動化科學與工程學院,廣東廣州 510640)

1 引言

輸出調節(jié)問題旨在為不確定系統(tǒng)設計反饋控制器,使得受控閉環(huán)系統(tǒng)在內部狀態(tài)有界的前提下,其輸出可以在抵抗干擾的同時而漸近跟蹤上給定的參考信號.這類問題也可以稱為漸近跟蹤或抗干擾問題,在控制領域得到了廣泛關注[1–5].

然而,實際物理系統(tǒng)受到外界環(huán)境或自身物理結構的約束.因而,在對非線性系統(tǒng)進行反饋控制規(guī)律的設計時,必須考慮受控系統(tǒng)的暫態(tài)性能.例如,在人機交互設計中,需要對機器人機械手的位置進行約束,以避免與人或周圍環(huán)境的碰撞[6–8].此外,不確定系統(tǒng)存在控制方向未知的問題,對控制系統(tǒng)的設計帶來了挑戰(zhàn)[9].20世紀80年代提出的Nussbaum增益技術是處理未知控制方向的標準方法[10].

在考慮非線性系統(tǒng)的約束輸出問題時,障礙Lyapunov函數(shù)(barrier Lyapunov function,BLF)技術得到了廣泛應用[11–13].與二次型Lyapunov函數(shù)(quadratic Lyapunov function,QLF)不同,BLF不是徑向無界的,而是在其參數(shù)接近某一有限值時趨近于無窮大[11–12].這一特性使得BLF技術可應用于系統(tǒng)輸出受到約束的非線性系統(tǒng)控制問題.為了放松靜態(tài)約束的要求[11],并降低設計保守性,文獻[13]進一步發(fā)展了時變BLF技術,允許期望輸出被限制在給定的時變范圍內.

基于BLF的控制技術已被成功應用于解決具有輸出約束的各類非線性系統(tǒng)[14–15].然而,現(xiàn)有的研究大多基于逆跟蹤設計方法,這種方法普遍需要依賴于跟蹤參考信號的高階差分信息[16].在實際應用中,對信號的高階微分會引入噪聲放大問題.最近,文獻[17–19]結合Nussbaum增益技術,將BLF技術應用到控制方向未知的非線性系統(tǒng)跟蹤控制問題中,采用模糊控制和神經網絡設計框架,使跟蹤誤差收斂到零附近的一個緊集中.與基于逆跟蹤的方法相比,輸出調節(jié)設計框架基于內模原理[20],消除對高階微分信息的依賴要求,而且能夠保證跟蹤誤差漸進收斂到零.

文獻[3–4]利用Nussbaum增益技術研究了非線性輸出反饋系統(tǒng)控制方向未知時的輸出調節(jié)問題.文獻[5,21]考慮了外部系統(tǒng)含有未知參數(shù)的情況.以上研究成果都未考慮被控系統(tǒng)的輸出約束.基于文獻[13]的BLF技術,文獻[22]研究了一類非線性系統(tǒng)的約束輸出調節(jié)問題,但其要求系統(tǒng)的控制輸入方向已知.因此,文章將結合BLF方法和Nussbaum增益技術,討論一類非線性系統(tǒng)控制方向未知時的約束魯棒輸出調節(jié)問題,使得系統(tǒng)的跟蹤誤差能漸近趨近于零,而且一直保持在給定的限制區(qū)域內.

本文基于解決魯棒輸出調節(jié)問題的一般框架[20]:首先,將非線性系統(tǒng)的約束魯棒輸出調節(jié)問題轉化為增廣系統(tǒng)的約束魯棒穩(wěn)定問題;然后,將BLF方法與Nussbaum增益技術相結合,解決增廣系統(tǒng)的約束魯棒穩(wěn)定問題;最后,選用Lorenz系統(tǒng)進行數(shù)值仿真,驗證反饋控制器的合理性,并與基于QLF設計的仿真結果進行對比,表明反饋控制器的有效性.

2 問題描述及預備知識

考慮如下的一類非線性系統(tǒng):

其中:z ∈Rn,y ∈R和e ∈R分別表示非線性系統(tǒng)的狀態(tài)、輸出和輸出跟蹤誤差,u ∈R代表系統(tǒng)的控制輸入,w∈W ?Rnw表示系統(tǒng)中的不確定參數(shù),v∈V ?Rnv表示外部系統(tǒng)信號.給定的目標輸出參考信號yr∈R由如下的線性外部系統(tǒng)提供:

系統(tǒng)(1)中的所有函數(shù)都是充分光滑的.同時,系統(tǒng)的控制輸入增益b(w)≠0,但符號未知.對于已知的σ ∈S ?Rl,系統(tǒng)(2)中矩陣A(σ)的所有特征值互異,并且實部都為零.因此,外部系統(tǒng)(2)能夠產生有限個階躍函數(shù)和正弦函數(shù)的組合,其幅值和相位由外部系統(tǒng)的初始條件決定.

本文研究的問題描述如下: 對系統(tǒng)(1)建立如下形式的動態(tài)輸出反饋控制律:

使得非線性系統(tǒng)(1)和控制器(3)組成的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)有界,跟蹤誤差e漸近趨于零,并且輸出y(t)滿足|y(t)|≤kc(t),?t≥0,其中:(M,N)是一對待定矩陣,F(·),ρ(·)是η,k,e的待設計函數(shù),kc(t)是一個與時間有關的給定約束.

注1在控制器(3)中:η表示內模狀態(tài)[2],u為系統(tǒng)(1)的控制輸入,k為高增益參數(shù).由于考慮的外部系統(tǒng)(2)是線性的,因此內模η的動態(tài)行為是線性的.

如果t≥0,w∈W ?Rnw,v(t)∈V ?Rnv,那么存在一個與期望輸出yr(t)有關的函數(shù)r(t),并且滿足r(t)≥|yr(t)|.定義函數(shù)kb(t)=kc(t)-r(t).如果?t≥0,|e(t)|

通過上述變換,可以將系統(tǒng)的輸出約束轉化為系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差約束,其中kb(t)是跟蹤誤差的約束函數(shù).通過引入r(t),將被控系統(tǒng)的輸出約束問題轉化為跟蹤誤差約束問題.根據(jù)文獻[20]中提出的輸出調節(jié)設計框架,引進如下標準假設:

假設1存在一個滿足z(0,w,σ)=0的充分光滑函數(shù)z(v,w,σ):Rnv×Rnw×Rl →Rn,且

根據(jù)假設1,令y(v,w)=q(v,w),可以計算得到

此時,z(v,w,σ),y(v,w,σ)和u(v,w,σ)給出了系統(tǒng)(1)的調節(jié)器方程的解[2].為了構造線性動態(tài)補償器來重建穩(wěn)態(tài)控制輸入u(v,w,σ),引入如下假設:

假設2函數(shù)u(v,w,σ)是有關v的多項式,并且該多項式的系數(shù)依賴于不確定性參數(shù)w和σ.

注2由文獻[2]和文獻[23]可知,對于線性外部系統(tǒng)(2),如果系統(tǒng)(1)中的函數(shù)f(z,y,v,w)是(z,y,v)的多項式,且系數(shù)依賴于w,則假設1中的z(v,w,σ)一定有解.此時,如果系統(tǒng)(1)中的函數(shù)g(z,y,v,w)和q(v,w)也是關于(z,y,v)的多項式且系數(shù)依賴于w,則假設2得到滿足.

由文獻[21]可知,存在一個正整數(shù)s,對于外部系統(tǒng)(2)的v以及任意的(w,σ)∈W×S,函數(shù)u(v,w,σ)滿足下面方程:

其中h1(σ),h2(σ),···,hs(σ)為實數(shù),并且對于任意的σ ∈S,多項式

具有實部為零的各個互異根.

定義π(v,w,σ)=[u···u(s-1)]T,則有

其中:?(v,w,σ)=T(σ)π(v,w,σ),Ψσ=ΨT-1(σ).

根據(jù)式(6),構造如下動態(tài)補償器:

上式可稱為系統(tǒng)(1)輸出為u的內模[20].

將內模動態(tài)方程(7)與非線性系統(tǒng)(1)合并,然后進行如下的坐標變換:

可得增廣系統(tǒng)

其中:b=b(w),=u-Ψση.因此,如果存在控制器

可以解決增廣系統(tǒng)(9)在跟蹤誤差受約束且控制方向末知情況下的穩(wěn)定性問題,則控制器

可以解決系統(tǒng)(1)的約束輸出調節(jié)問題[20].

3 主要結果

這一部分,本文將使用BLF技術和Nussbaum增益技術解決增廣系統(tǒng)(9)的約束鎮(zhèn)定問題.為此,引入如下引理1[11]和假設3[21].

引理1對正常數(shù)k1和k2,令開區(qū)間Z={ξ ∈R:-k1<ξ

其中:ζ=(ω,ξ)T∈N,函數(shù)h:R+×N→Rl+1在時間t上分段連續(xù)且對ζ滿足局部Lipschitz條件.假定存在兩個正定可微的函數(shù)V1:Z →R+和U:Rl×R+→R+,并分別滿足如下條件:1)V1(ξ)→∞,當ξ →-k1或ξ →k2時;2)γ1(‖ω‖) ≤U(ω,t) ≤γ2(‖ω‖),其中: 函數(shù)γ1(·)和γ2(·)均為K∞類函數(shù).令函數(shù)V(ζ)=V1(ξ)+U(ω,t)且初始值ξ(0)∈Z.對于ξ ∈Z,如果,則對t≥0的時刻,有ξ(t)∈Z.

假設3考慮增廣系統(tǒng)(9),對于所有的μ=(v,w)∈Σ ?Rnv×Rnw,存在一個滿足下面條件的C1函數(shù)V():

其中:δe是未知正常數(shù),γe(·)是已知光滑正函數(shù).

選擇改進型障礙Lyapunov 函數(shù)(modified barrier Lyapunov function,MBLF)

其中:ln(·)表示自然對數(shù),exp(·)表示以自然常數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù).式(14)的MBLF函數(shù),既適用于處理有輸出約束的情況,又可以處理無輸出約束的情況,擴展了BLF技術的應用范圍[16].同時,由于非系統(tǒng)(1)的控制輸入方向未知,本文選擇Nussbaum增益函數(shù)[3]為N(k)=k2cosk.

引理2在假設3下,對于增廣系統(tǒng)(9),考慮如下形式的控制器:

則存在正常數(shù)p,光滑實函數(shù)ρ(·)≥1和Lyapunov函數(shù)V,并且V沿著閉環(huán)系統(tǒng)軌跡的導數(shù)滿足

證首先,將增廣系統(tǒng)(9)的子系統(tǒng)動態(tài)(,)看作文獻[21]中方程(17)的形式,其中

因此,在假設3下,依據(jù)文獻[21]中的引理3.1可得,對任意的μ ∈Σ,存在一個滿足下面條件的C1函數(shù)V1(,),即

其次,對式(14)中的MBLF函數(shù)VMBLF求導,可得

其中:Z=col(,),p1是未知正常數(shù),?1(Z)和ρ1(e)是兩個光滑的正實函數(shù).

定義Lyapunov函數(shù)V=U(Z)+VMBLF.結合式(21)–(22),可得V沿著增廣系統(tǒng)(9)和控制器(15)組成的閉環(huán)系統(tǒng)的軌跡滿足

根據(jù)引理2,可得到如下定理.

定理1在假設1–3下,如下反饋控制器:

可以解決非線性系統(tǒng)(1)在控制方向末知情況下的約束魯棒輸出調節(jié)問題.

證在時間區(qū)間[0,t),?t≥0上,對不等式(16)的兩邊同時積分,可得

根據(jù)式(26)以及文獻[25]中的引理1,對于時間區(qū)間[0,T),0

4 數(shù)值仿真

考慮以下Lorenz系統(tǒng)[3]:

其中:(L1,L2,L3)是系統(tǒng)的常參數(shù)向量,L1>0,L2<0,并且b是一個未知符號的非零常數(shù).

系統(tǒng)輸出y(t)要實現(xiàn)跟蹤的正弦參考信號v1(t)由外部系統(tǒng)(2)產生,初始狀態(tài)v0=[0 1]T.同時,要求系統(tǒng)輸出y(t)滿足|y(t)|≤kc(t),?t≥0,其中kc(t)=1.4+0.33 cost.選取參考信號上限函數(shù)(t)中的參數(shù)λ=0.5,可得跟蹤誤差約束函數(shù)kb(t)=kc(t)-(t).

由文獻[3]可知,假設1–2得到滿足,并且

選擇能控矩陣對

根據(jù)第3 部分給出的設計思路,可得ρ(e)=11.選取正弦參考信號的頻率σ=0.8,給定Lorenz系統(tǒng)的參數(shù)L1=10,L2=-,L3=28,系統(tǒng)的初始狀態(tài)為(z1(0),z2(0))=(2,-1),η(0)=0和k(0)=1.

系統(tǒng)輸出y(t)的初始狀態(tài)分別設置為y(0)=1.2和y(0)=-1.2,分析可得|e(0)|

圖1 b=1時,輸出y(t)的響應曲線(MBLF and BLF)Fig.1 Profile of y(t),when b=1 with MBLF and BLF

圖2 b=1時,輸出e(t)的響應曲線(MBLF and BLF)Fig.2 Profile of e(t),when b=1 with MBLF and BLF

圖3 b=-1時,輸出y(t)的響應曲線(MBLF and BLF)Fig.3 Profile of y(t),when b=-1 with MBLF and BLF

圖4 b=-1時,輸出e(t)的響應曲線(MBLF and BLF)Fig.4 Profile of e(t),when b=-1 with MBLF and BLF

圖5 b=1時,y(t)和e(t)的響應曲線(QLF)Fig.5 Profile of y(t)and e(t),when b=1 with QLF

圖6 b=-1時,y(t)和e(t)的響應曲線(QLF)Fig.6 Profile of y(t)and e(t),when b=-1 with QLF

5 總結

本文討論了一類非線性系統(tǒng)在控制方向未知下的約束魯棒輸出調節(jié)問題.在基于內模原理的輸出調節(jié)框架下,文章綜合利用障礙Lyapunov函數(shù)與Nussbaum增益函數(shù)相結合的技術方案,設計對應的輸出反饋控制器.以Lorenz系統(tǒng)為仿真實例,與基于傳統(tǒng)二次型Lyapunov函數(shù)設計的仿真結果對比,表明了本文控制方案的有效性.未來工作可考慮將研究方法推廣至其他類型非線性系統(tǒng)的類似輸出約束問題.