基于無量綱法兩種一維溶質(zhì)運(yùn)移解的比較

李 堯,付營帥

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 四川成都 610000)

0 引言

改革開放以來我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展取得了顯著成就的同時也產(chǎn)生了許多嚴(yán)重的環(huán)境問題,尤其是土壤與地下水污染問題,已經(jīng)嚴(yán)重危害到人類健康。土壤與地下水安全是人類賴以生存的保障和人類健康發(fā)展的前提。土壤及地下水是人類生產(chǎn)活動的重要物質(zhì)基礎(chǔ)。由于城市生活垃圾和工業(yè)“三廢”的不合理處置,以及農(nóng)藥、化肥的大量使用,導(dǎo)致區(qū)域土壤、地下水污染狀況日趨加重,對區(qū)域內(nèi)居民飲水安全、糧食安全構(gòu)成了嚴(yán)重威脅[1]。保護(hù)土壤和地下水資源是我國的重要任務(wù),對我國的可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略起著至關(guān)重要的作用。隨著環(huán)境污染問題日益嚴(yán)重,我國對環(huán)境污染的問題愈加重視,但目前缺乏對污染物在土壤和地下水中運(yùn)移快速且有效的評估手段。

國內(nèi)外許多學(xué)者研究污染物在土壤及地下水中運(yùn)移數(shù)學(xué)模型,Ogata and Banks(1961)[2]基于土體為均質(zhì)、各向同性且處于飽和狀態(tài),不考慮化學(xué)吸附作用和其他反應(yīng)影響等假設(shè)建立了污染物在半無限厚度土層中的一維對流-彌散方程。van Genuchten (1981)[3]假設(shè)含水層為半無限含水層,基于拉普拉斯變換推導(dǎo)了在第一類邊界條件(固定濃度邊界)和第三類邊界條件(可變通量邊界條件)下無降解的溶質(zhì)運(yùn)移解析解。Bear(1972)and van Genuchten and Alves (1982)推導(dǎo)了包含降解在內(nèi)的一維溶質(zhì)運(yùn)移解析解。Rowe and Booker(1985)[4]提出了在有限厚度的黏土層中包含對流、擴(kuò)散-彌散、化學(xué)吸附作用的污染物一維運(yùn)移半解析解并考慮了地下水流速對濃度分布的影響。Yeh等(2007)[5]基于拉普拉斯變換提出了在第一類和第三類邊界條件下一維半無限介質(zhì)中溶質(zhì)運(yùn)移方程解析解。王超等(1998)建立了水分和污染物之間耦合遷移理論模型,并通過有限差分法對污染物在非飽和分層土中遷移特性進(jìn)行了研究。欒茂田等(2005)[6]對污染物頂部濃度采用了指數(shù)衰減關(guān)系,在有限厚度條件下進(jìn)行了填埋場污染物運(yùn)移過程數(shù)值模擬的一維計算。陳云敏等(2006)[7]和謝海建等(2008)[8]采用了分離變量法得出了成層土中污染物一維擴(kuò)散解析解。

1 一維溶質(zhì)運(yùn)移解析解

溶質(zhì)在多孔介質(zhì)中運(yùn)移主要受對流、分子擴(kuò)散和機(jī)械彌散、吸附及分子降解等因素影響,其控制方程偏微分方程形式如式(1)所示。

(1)

式中:c為液相中溶質(zhì)濃度;t為溶質(zhì)運(yùn)移時間;R為阻滯因子;Dij為水動力彌散系數(shù),包括分子擴(kuò)散系數(shù)與機(jī)械彌散系數(shù);vi為實(shí)際水流速度;S表示包括生物降解和化學(xué)反應(yīng)等一系列反應(yīng)。

1.1 常濃度邊界條件下溶質(zhì)運(yùn)移一維解

一維溶質(zhì)運(yùn)移控制方程見式(2)～式(5)。

(2)

常濃度邊界條件:

C=C0,x=0

(3)

(4)

初始條件:

C=0,0

(5)

假設(shè):

(1)流體密度、粘度為常數(shù)。

(2)溶質(zhì)具有一階化學(xué)反應(yīng)(對于保守溶質(zhì),λ=0)。

(3)流動只存在于x方向,并且速度為常數(shù)。

(4)縱向色散系數(shù)D為常數(shù)。

常濃度邊界下解析解見式(6):

(6)

1.2 可變通量邊界條件下污染物運(yùn)移一維解

一維溶質(zhì)運(yùn)移控制方程見式(7)～式(10)。

(7)

可變通量邊界條件:

(8)

(9)

初始條件:

C=0,0

(10)

假設(shè):

(1)流體密度、粘度為常數(shù);

(2)溶質(zhì)具有一階化學(xué)反應(yīng)(對于保守溶質(zhì),λ=0);

(3)流動只存在于x方向,并且速度為常數(shù);

(4)縱向色散系數(shù)D為常數(shù)。

可變通量邊界條件下解析解見式(11)。

(11)

2 無量綱分析

帶有量綱方程在不同單位制下會多出不同的常數(shù),通過數(shù)學(xué)變換對溶質(zhì)運(yùn)移方程中的變量進(jìn)行無量綱分析變?yōu)檎嬲枋鋈苜|(zhì)運(yùn)移規(guī)律的量,使得方程明晰易懂。同時,無量綱參數(shù)比較適用于不同解析解間的比較,因?yàn)榕c使用實(shí)際參數(shù)相比,使用無量綱參數(shù)可以覆蓋更廣的參數(shù)值。

2.1 第一類邊界條件

定義以下無量綱參數(shù)見式(12)。

(12)

式中:CR是相對濃度;tR是無量綱時間;Pe是貝克萊數(shù);λR是無量綱一階衰減常數(shù);V是溶質(zhì)運(yùn)移速率;x是任意位置離污染源的距離;t是溶質(zhì)運(yùn)移時間;D是水動力彌散系數(shù)。

基于上述定義無量綱參數(shù),式6變換為式(13)。

(13)

2.2 第三類邊界條件

基于上述定義無量綱參數(shù),式(11)變換為式(14)。

(14)

表1 無量綱參數(shù)取值

圖1 一維溶質(zhì)運(yùn)移解無量綱曲線

圖2 穩(wěn)態(tài)條件下衰減對解的影響

圖3 v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)不同無量綱時間值沿羽流中心線的解

3 案例計算

使用某一典型污染場地參數(shù)說明上述2種溶質(zhì)運(yùn)移解析解的差異。污染源位于地下水位以下3 m,污染源濃度為358 mg/L,假設(shè)污染物位于的含水層是一維流動,其滲流速率為3.69×10-6m/s,污染物的有效彌散系數(shù)值為2.34×10-5m2/s,其一階降解速率估計值為0.000 01 1/d。

圖4根據(jù)貝克萊數(shù)定義給出從污染源到距離源頭150 m處貝克萊數(shù)值,可以得到在距離污染源150 m內(nèi),貝克萊數(shù)在25以內(nèi)變化。圖5繪制了在0.3年、0.5年、1年時間范圍內(nèi)且降解速率為0.000 01 1/d時貝克萊數(shù)與CR曲線,可以看出v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)解的結(jié)果隨著時間的增加相對濃度均逐漸降低,但兩者的差異逐漸減小。圖6繪制了0.3年、0.5年、1年時間范圍內(nèi)貝克萊數(shù)與相對濃度曲線圖,此時一階衰減速率為0.005 1/d,圖6與圖5比較可以看出,衰減越快其相對濃度降低越快。v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)解的結(jié)果相對濃度值差異不大,若初值濃度值較高,則相對濃度值微小的差異也會導(dǎo)致較大的結(jié)果。

圖4 貝克萊數(shù)曲線

圖5 v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)不同無量綱時間值下沿源中心線的解

圖6 v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)不同無量綱時間值沿羽流中心線的解

4 結(jié)果討論

用v G and Alves (1982)和v G and Bear (1972)提出的溶質(zhì)運(yùn)移一維解在無量綱時間和空間中計算恒定濃度下點(diǎn)源的衰減一維溶質(zhì)運(yùn)移可以更全面地考慮2種溶質(zhì)運(yùn)移解的差異。計算結(jié)果表明,沿著地下水流動方向,若以對流擴(kuò)散為主導(dǎo)且污染物初始濃度較小,則2種解之間的差異在實(shí)際應(yīng)用中可以忽略不計,但通常來講由于v G and Alves (1982)解假設(shè)污染源為固定濃度,因此更加保守,但v G and Bear (1972)滿足質(zhì)量守恒定律可能更符合實(shí)際情況。如果對大量污染源進(jìn)行快速濃度分布評估,應(yīng)采取保守做法,優(yōu)先選擇v G and Alves (1982)的解。