吳易鳴,孫 寧,楊欽朝,尹健宇

(1.東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,沈陽 110819;2.南開大學(xué) 人工智能學(xué)院 機(jī)器人與信息自動(dòng)化研究所,天津 300350;3.南開大學(xué)深圳研究院 智能技術(shù)與機(jī)器人系統(tǒng)研究院,廣東 深圳 518083)

起重機(jī)作為搬運(yùn)、倉儲(chǔ)、物流等各行業(yè)中都極為重要的重型裝備之一,被廣泛應(yīng)用于工礦車間、倉庫車站、集裝箱碼頭、海洋開發(fā)等場(chǎng)合[1-3]。起重機(jī)具有欠驅(qū)動(dòng)特性。此類具有欠驅(qū)動(dòng)特性的系統(tǒng)在許多場(chǎng)合下可以節(jié)省驅(qū)動(dòng)成本、精簡(jiǎn)機(jī)械結(jié)構(gòu)、減小能源消耗。例如,機(jī)械臂[4]、飛行器[5]、移動(dòng)機(jī)器人[6]、水下機(jī)器人[7-8]等。然而,由于缺失了控制輸入,欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)相比于全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[9]在理論上更加難于分析。此外,對(duì)于起重機(jī)而言,另一個(gè)常見的特性為雙擺效應(yīng)。即貨物與吊鉤發(fā)生兩級(jí)擺動(dòng)。這種情況不僅更容易激發(fā)較大的貨物擺幅,也更難于實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)定位。

起重機(jī)系統(tǒng)的典型實(shí)現(xiàn)方法包括：輸入整形與軌跡規(guī)劃等開環(huán)控制方法[10],比例微分(proportional differential,PD)控制、先行二次規(guī)劃(linear quadratic regulator,LQR)、滑?？刂?、魯棒控制等閉環(huán)控制方法[11-15],其中,開環(huán)控制方法往往應(yīng)用便捷,但較依賴于離線計(jì)算,對(duì)參數(shù)敏感。閉環(huán)控制方法提高了魯棒性能但參數(shù)往往較多,實(shí)際效果受調(diào)參影響。

在理想條件下,較多研究將起重機(jī)吊運(yùn)負(fù)載處理為單擺模型[16-23]。而在實(shí)際應(yīng)用中,起重機(jī)系統(tǒng)往往通過繩索與吊鉤的形式運(yùn)輸負(fù)載,使雙擺效應(yīng)較為常見。在這種情況下,起重機(jī)系統(tǒng)的控制輸入數(shù)目不變,但欠驅(qū)動(dòng)自由度增加,若將其簡(jiǎn)化為單擺結(jié)構(gòu)并直接應(yīng)用未考慮雙擺效應(yīng)的防擺方法將難以達(dá)到預(yù)期的防擺效果。截至目前,受到單擺起重機(jī)控制技術(shù)的啟發(fā),已有研究對(duì)典型的開環(huán)與閉環(huán)控制方法進(jìn)行了改進(jìn)。首先,是開環(huán)的指令整形技術(shù)[24-25]與軌跡規(guī)劃技術(shù)[26-27]。然而,起重機(jī)往往應(yīng)用于復(fù)雜工況,易受到外部擾動(dòng)的影響。在這種情況下,Wu等[28]利用滑?？刂萍夹g(shù)實(shí)現(xiàn)了分布式負(fù)載的防擺吊運(yùn)。石懷濤等[29]引入擺角耦合項(xiàng)實(shí)現(xiàn)了兩級(jí)擺動(dòng)的加速抑制。Qian等[30]則利用了模糊控制技術(shù)實(shí)現(xiàn)了防擺吊運(yùn)。

在實(shí)際應(yīng)用中,可結(jié)合開環(huán)軌跡規(guī)劃與閉環(huán)軌跡跟蹤控制實(shí)現(xiàn)負(fù)載吊運(yùn)。然而,開環(huán)方法大多著眼于軌跡的離線規(guī)劃環(huán)節(jié);閉環(huán)控制方法大多為定位控制,跟蹤控制較少。為進(jìn)一步提升雙擺起重機(jī)系統(tǒng)在軌跡跟蹤環(huán)節(jié)的抗擾性能,提出了一種抗擾防擺跟蹤控制方法。該方法的貢獻(xiàn)歸納如下：① 引入集總干擾項(xiàng),并結(jié)合狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)更新律在線估計(jì)擾動(dòng),從而使系統(tǒng)能夠處理未建模動(dòng)態(tài)、外部擾動(dòng)等未知不確定性;② 設(shè)計(jì)虛擬控制器,使系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)既定軌跡的魯棒跟蹤,且通過嚴(yán)格的理論分析證明了跟蹤誤差的有界性;③ 在更新律中引入一個(gè)可調(diào)節(jié)的更新因子,并從理論上證明了更新因子增大跟蹤誤差減小,實(shí)現(xiàn)對(duì)跟蹤誤差的約束。從問題解決方面來看,該方法能夠提高系統(tǒng)對(duì)建模誤差、未建模動(dòng)態(tài)、不確定性等因素的魯棒性,同時(shí)可在理論上約束跟蹤誤差實(shí)現(xiàn)良好的軌跡跟蹤。從理論創(chuàng)新方面來看,該方法受到L1自適應(yīng)控制的啟發(fā),在此框架下進(jìn)一步探索了如何處理具有較多欠驅(qū)動(dòng)自由度的系統(tǒng)的抗擾控制問題。

1 問題描述與模型變換

首先,給出雙擺橋式起重機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下

(1)

(mh+mc)gl1sinθ1=0

(2)

(3)

其中,各變量與已知參數(shù)的定義如表1所示。本文的控制目標(biāo)是臺(tái)車位移跟蹤給定軌跡xf(t),并最終穩(wěn)定在期望的目標(biāo)值xd。同時(shí),在跟蹤控制的過程中實(shí)現(xiàn)兩級(jí)擺動(dòng)的有效抑制。

表1 系統(tǒng)參數(shù)與變量定義

(4)

(5)

(6)

(7)

同時(shí),用式(6)減去式(5),可得

(8)

基于式(7)、式(8)與χ(t)的定義,可知原始狀態(tài)變量x(t),θ1(t),θ2(t)均可以用新的狀態(tài)變量χ(t)來表示。于是,可將式(4)改寫為如下形式

(9)

式中：參數(shù)a=mtmhl1l2[(mh+mc)g2];參數(shù)b=[mt(l1+l2)+mhl2]g;參數(shù)γ=mt+mh+mc;為未知的建模誤差。后續(xù)的控制律設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析將基于變換后的模型式(9)。等效地,基于新的狀態(tài)變量與動(dòng)力學(xué)模型式(9),控制目標(biāo)變?yōu)槭功?t)跟蹤軌跡xd(t)。

2 控制設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

為實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。接下來將對(duì)控制輸入F(t)進(jìn)行設(shè)計(jì)。給出控制系統(tǒng)的整體流程框圖如圖1所示。

圖1 控制系統(tǒng)流程框圖

首先,定義如下誤差變量eχ(t)∈R及其導(dǎo)數(shù)

(10)

式中,i=1,2,3,…,6。結(jié)合后續(xù)的分析,最終的控制輸入的形式設(shè)計(jì)如下

(11)

(12)

其中,Aχ∈R4×4,Bχ,Cχ∈R2分別定義如下

(13)

(14)

(15)

基于所設(shè)計(jì)的控制器與更新律,為方便后續(xù)分析,給出閉環(huán)系統(tǒng)方程如下

(16)

并根據(jù)實(shí)際應(yīng)用情況給出如下假設(shè)：

接下來,將通過分析論證如下的定理,以證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

定理1對(duì)于雙擺橋式起重機(jī)系統(tǒng)式(9)與式(12),所設(shè)計(jì)的控制器與參數(shù)更新律式(11)、式(14)與式(15)能夠使如下結(jié)論成立。

(1) 當(dāng)未知擾動(dòng)是時(shí)變量時(shí),所有的系統(tǒng)狀態(tài)有界,并滿足

(17)

(18)

(19)

式中,存在h∈R2×2,使hT(Is-A)-1Bχ=N1(s)/N2(s),deg(N1)-deg(N2)=1成立。

證明對(duì)定理1展開證明需對(duì)如下兩種情況進(jìn)行討論與分析：

情況1考慮未知擾動(dòng)時(shí)變的情況。首先,構(gòu)造如下標(biāo)量函數(shù)V(t)

(20)

并求導(dǎo),可得

(21)

(22)

V≤σmΓ-1?V∈L∞

(23)

并可通過式(13)、式(14)與式(23)推知

(24)

即可得跟蹤誤差有界。

為進(jìn)一步證明定理1,可將式(21)與式(23)中的結(jié)論進(jìn)行整理,并得到

(25)

(26)

接著,若將式(12)與式(13)相減,可得到

(27)

則式(26)中的不等式變?yōu)?/p>

(28)

即式(18)成立。此外,利用式(27),還可從式(14)與式(16)得知

(29)

即式(19)成立,情況1得證。值得注意的是,在式(17)～式(19)中,隨著參數(shù)Γ的增大,跟蹤誤差減小,而當(dāng)Γ趨于無窮大時(shí),跟蹤誤差趨于0。表明在應(yīng)用時(shí),可通過增大Γ的值來減小跟蹤誤差,使其滿足需求。

即情況2得證。

因此,綜合結(jié)論式(25)、式(28)、式(29)與式(30),定理1證畢。

3 仿真與試驗(yàn)結(jié)果分析

本章將對(duì)所提方法進(jìn)行仿真與試驗(yàn)驗(yàn)證。仿真模型使用原始模型式(1)～式(3)。試驗(yàn)時(shí)應(yīng)用圖2所示的橋式起重機(jī)系統(tǒng)樣機(jī)[35]。在此給出所提控制律與更新律參數(shù)的調(diào)節(jié)規(guī)律。kp,kd類似PD控制中的P增益與D增益;Kχ為濾波相關(guān)的參數(shù);更新因子Γ越大,跟蹤誤差的界越小。

圖2 雙擺橋式起重機(jī)硬件試驗(yàn)平臺(tái)

3.1 仿真驗(yàn)證

仿真時(shí)選取了兩種對(duì)比方法,分別為：經(jīng)典的LQR方法與石懷濤研究中的方法。LQR控制器的控制增益為k1=60,k2=49.33,k3=-128.72,k4=-7.49,k5=20.4,k6=-6.84。石懷濤研究中控制器的控制增益為kp=5,kd=20。同時(shí),在仿真中加入外部擾動(dòng),對(duì)比各方法的跟蹤與防擺效果。仿真結(jié)果如圖3所示,其中,為驗(yàn)證理論結(jié)果,在仿真時(shí)給更新因子Γ賦不同的值。從圖3中可以看出：① 所提方法引入集總干擾項(xiàng),能夠在線補(bǔ)償未知不確定性,較快速地消除了擾動(dòng)的影響;② 所提方法可良好跟蹤時(shí)變軌跡,并可使吊鉤與負(fù)載額的擺幅在2 deg以內(nèi);③ 根據(jù)仿真數(shù)據(jù),當(dāng)分別取Γ=100,Γ=50時(shí),位移的跟蹤誤差分別穩(wěn)定在0.003 m與0.007 m,即驗(yàn)證了Γ越大跟蹤誤差越小的理論結(jié)果。綜上,仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性。

(a)

3.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

試驗(yàn)1跟蹤S型軌跡。令軌跡參數(shù)為xd=0.5 m,λ1=1.1,λ2=0.1,γ=3.5,增益為kp=167,kd=9,Kχ=10,并取Γ=5。試驗(yàn)結(jié)果圖4所示?？梢钥闯?所提方法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)給定軌跡的良好跟蹤,且在跟蹤過程中有效地抑制吊鉤與負(fù)載的兩級(jí)擺動(dòng)。

(a)

試驗(yàn)2施加外部擾動(dòng)。本組試驗(yàn)為驗(yàn)證所提方法針對(duì)外部擾動(dòng)的魯棒性,其試驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。在5～15 s加入擾動(dòng),可以看出在加入了外部擾動(dòng)的情況下,所提方法依然能夠很好地跟蹤期望軌跡,有效地抑制人為施加在欠驅(qū)動(dòng)擺角上的干擾。

(a)

4 結(jié) 論

針對(duì)存在未知不確定性與未建模動(dòng)態(tài)的情況,基于L1自適應(yīng)控制技術(shù)提出了一種雙擺橋式起重機(jī)系統(tǒng)抗擾防擺跟蹤控制方法,實(shí)現(xiàn)了對(duì)S型軌跡的魯棒跟蹤。具體而言,首先分析模型,引入集總干擾項(xiàng)處理未建模動(dòng)態(tài)。之后,引入虛擬控制量并設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器、濾波環(huán)節(jié)以及未知擾動(dòng)更新律。經(jīng)過嚴(yán)格的理論分析證明了跟蹤誤差均有界,且更新因子越大跟蹤誤差越小。試驗(yàn)結(jié)果表明所提方法具有良好的跟蹤性能,且能夠快速消除負(fù)載擺動(dòng)。