張海濤 劉新天

（合肥工業(yè)大學(xué)，合肥 230009）

1 前言

電池管理系統(tǒng)（Battery Management System，BMS）控制算法的優(yōu)劣直接影響電動汽車的安全可靠運(yùn)行，其中，電池的荷電狀態(tài)（State Of Charge，SOC）是BMS監(jiān)測的關(guān)鍵指標(biāo)[1]。但SOC無法直接獲得，需要進(jìn)行估計(jì)。目前，常用的SOC 估算方法主要有安時積分法[2]、開路電壓法[3]、數(shù)據(jù)驅(qū)動法[4]和基于模型的方法[5]，其中基于模型的估算方法應(yīng)用較為廣泛。由于卡爾曼濾波算法只能解決線性系統(tǒng)問題，國內(nèi)外研究學(xué)者對算法進(jìn)行改進(jìn)，提出了擴(kuò)展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）算法和無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）算法等非線性系統(tǒng)算法?？柭盗袨V波算法作為一種遞推算法，特點(diǎn)是計(jì)算量小、計(jì)算速度快，適合在線SOC 估計(jì)[6-8]?；跒V波方案的鋰離子電池SOC 估計(jì)方法一般將電池模型與閉環(huán)SOC 估計(jì)迭代過程相結(jié)合，具有高估計(jì)精度和良好的實(shí)時性能[9]。在初始參數(shù)設(shè)置合理的前提下，卡爾曼系列濾波算法的估計(jì)誤差已被證明呈指數(shù)收斂[10]。

但是當(dāng)前很多濾波算法在實(shí)際應(yīng)用中仍存在一些問題，其中一個重要問題是沒有考慮到誤差新息序列的振幅分布的變化。通過使用固定長度區(qū)間的誤差序列來計(jì)算新息協(xié)方差矩陣，導(dǎo)致無法應(yīng)對新息協(xié)方差矩陣的變化，使得誤差增大，甚至估計(jì)結(jié)果發(fā)散。文獻(xiàn)[11]采用一種變窗口噪聲估計(jì)器，通過識別誤差新息序列分布的變化，選擇分布變化后的誤差新息序列更新噪聲協(xié)方差。但是在其變窗口自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波（Adaptive Unscented Kalman Filter，AUKF）算法設(shè)計(jì)中，窗口自適應(yīng)的算法估計(jì)結(jié)果具有一定波動性，在窗口自適應(yīng)階段產(chǎn)生突變，對模型的收斂速度、精確度和穩(wěn)定性存在一定影響。本文針對這一問題，在誤差新息序列的幅值分布發(fā)生變化時，改變窗口自適應(yīng)算法的增減邏輯，使變窗口過程更加平滑，減小因窗口大小突變導(dǎo)致的誤差，從而提升算法的精確度和穩(wěn)定性。采用遺忘遞推最小二乘（Forgetting Factor Recursive Least Square，F(xiàn)FRLS）算法對鋰電池電路模型參數(shù)進(jìn)行在線辨識，并結(jié)合改進(jìn)的變窗口自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波算法進(jìn)行鋰電池的SOC 估算。最后，通過試驗(yàn)驗(yàn)證，將改進(jìn)的變窗口AUKF 算法與UKF、AUKF及變窗口AUKF算法進(jìn)行對比。

2 鋰電池建模及參數(shù)辨識

2.1 電池模型建立

等效電路模型通過電壓源、電阻、電容等元器件組成電路網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)描述電池的外特性，其能夠滿足辨識的實(shí)時性要求，快速實(shí)現(xiàn)電池特性的仿真[12]?？紤]電池模型的簡易性、計(jì)算的簡捷性以及能夠較好適應(yīng)BMS 的處理性能，本文以二階RC 等效電路網(wǎng)絡(luò)作為研究模型，如圖1 所示。其中：UOC為電池開路電壓；R0為歐姆內(nèi)阻；R1、C1分別為極化電阻、極化電容；R2、C2分別為濃差極化電阻、濃差極化電容；U1為電化學(xué)極化電壓；U2為濃差極化電壓；I為充、放電電流；UL為輸出端電壓。

圖1 二階RC等效電路模型

該模型的狀態(tài)方程與輸出方程分別為：

SOC的定義為：

式中，Qt為電池剩余容量；Qn為電池額定容量。

對式（3）進(jìn)行離散化，可得：

式中，η為電池庫侖效率，充電時η<1，放電時η>1；Δt為當(dāng)前充放電時間；I(k-1)為(k-1)時刻電流。

選擇U1、U2、SSOC(k)為狀態(tài)變量，將式（1）、式（2）離散化，結(jié)合式（4），可得觀測方程和狀態(tài)空間方程：

式中，τ1=R1C1、τ2=R2C2為時間常數(shù)。

2.2 帶遺忘因子的遞推最小二乘法

遞推最小二乘辨識[13]的主要步驟為：

式中，為k時刻系統(tǒng)估計(jì)值系數(shù)矩陣；φ(k)為k時刻系統(tǒng)測量矩陣；φT(k)(k-1)、q(k)分別為系統(tǒng)在k時刻的理論觀測值和實(shí)際觀測值；K(k)為k時刻校準(zhǔn)值，即系統(tǒng)增益矩陣；P(k)為k時刻協(xié)方差矩陣。

在使用遞推最小二乘法進(jìn)行參數(shù)辨識的過程中，隨著采樣次數(shù)和數(shù)據(jù)量的不斷增多，矩陣P(k)將逐漸趨于零而出現(xiàn)“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象，從而使得估計(jì)算法無法收斂到參數(shù)真實(shí)值附近?！皵?shù)據(jù)飽和”是指隨著遞推時間的推移，數(shù)據(jù)的不斷累積導(dǎo)致新數(shù)據(jù)提供的信息被舊數(shù)據(jù)所覆蓋，新數(shù)據(jù)的修正作用逐漸減弱，甚至消失的現(xiàn)象。為降低算法對舊數(shù)據(jù)的信任度，減小其對當(dāng)前時刻估計(jì)結(jié)果的影響，突出新數(shù)據(jù)在辨識過程中的修正作用，引入遺忘因子λ。遺忘因子最小二乘遞推辨識[14]的公式為：

式中，E為單位矩陣。

其中，λ的取值范圍為0~1，λ越小，算法追蹤能力越強(qiáng)，波動也越大，一般取λ=0.95~1。λ=1時算法為遞推最小二乘法。

2.3 模型參數(shù)在線辨識

根據(jù)式（2），進(jìn)行拉普拉斯（Laplace）變換可得傳遞函數(shù)為：

對式（9）進(jìn)行雙線性離散化處理[15]：

將離散化傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為時域差分方程：

式中，q(k)=UOC(k)-UL(k)；α1、α2、β0、β1、β2為待辨識參數(shù)。

狀態(tài)方程和待辨識參數(shù)為：

則式（11）可改寫為：

根據(jù)文獻(xiàn)[16]的方法，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以改寫為：

式中，T為采樣時間。

式（9）、式（14）的對應(yīng)系數(shù)相同，可以得到：

進(jìn)而求得電池待辨識參數(shù)，最后傳遞給SOC 算法進(jìn)行電池SOC估計(jì)。

3 鋰電池SOC估計(jì)

3.1 自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波算法

與EKF 方法不同，UKF 算法是一種非線性濾波方法，首先確定無跡變換在估計(jì)點(diǎn)附近的采樣點(diǎn)，再利用這些采樣點(diǎn)表示高斯密度函數(shù)近似狀態(tài)的概率密度函數(shù)。無跡變換的核心在于按照某一規(guī)則選擇一些采樣點(diǎn)，使選取的采樣點(diǎn)的均值和協(xié)方差與原狀態(tài)分布的相同。將這些點(diǎn)代入非線性函數(shù)中，得到非線性函數(shù)值點(diǎn)集，通過點(diǎn)集獲取變換后的均值和協(xié)方差。這樣得到的非線性變換后的均值和協(xié)方差精度最少具有二階精度。

AUKF 方法的核心在于，在UKF 算法的基礎(chǔ)上結(jié)合自適應(yīng)噪聲估計(jì)器對系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行估算。自適應(yīng)噪聲估計(jì)器基于協(xié)方差匹配原理對測量噪聲和過程噪聲協(xié)方差進(jìn)行更新。對任意系統(tǒng)，其狀態(tài)空間方程通?？梢詫懽鳎?/p>

式中，xk為k時刻系統(tǒng)狀態(tài)矢量；yk為k時刻測量矢量；uk為k時刻輸入矢量；wk為k時刻高斯過程噪聲；vk為高斯測量噪聲；f(xk,uk)為非線性系統(tǒng)函數(shù)；g(xk,uk)為非線性測量函數(shù)。

AUKF 算法的詳細(xì)推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[17]，其大致流程如下：

a.狀態(tài)和誤差協(xié)方差矩陣初始化；

b.計(jì)算西格瑪（Sigma）點(diǎn)；

c.時間步更新；

d.測量更新；

e.測量校準(zhǔn)；

f.過程和測量噪聲協(xié)方差更新；

g.更新迭代，重復(fù)步驟b~步驟f，以獲取最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)。

3.2 變窗口噪聲估計(jì)器

在AUKF 算法中，采用固定長度的誤差新息序列估計(jì)新息協(xié)方差矩陣。受模型誤差、算法近似誤差以及放電工況的不確定性等因素影響，誤差新息序列的幅值分布不是固定不變的。故應(yīng)優(yōu)化算法，更新變化后的誤差新息序列估計(jì)新息協(xié)方差矩陣，進(jìn)而提高測量和過程噪聲協(xié)方差矩陣的估計(jì)精度。

參考文獻(xiàn)[18]，設(shè)置識別窗口長度為2N，假設(shè)識別窗口內(nèi)的誤差新息序列服從高斯白噪聲分布，均值為0、方差為σ2。根據(jù)高斯分布，識別窗口內(nèi)的誤差新息序列的概率密度函數(shù)可以表示為：

式中，ek為k時刻的誤差新息值。

變窗口的核心在于：如果誤差新息序列分布未發(fā)生變化，將增加識別窗口長度；相反，如果誤差新息序列分布發(fā)生較大變化，在識別窗口內(nèi)的誤差新息序列的概率密度分布可能存在很大不同，繼續(xù)采用原長度的固定窗口將無法精確估計(jì)新息協(xié)方差矩陣。因此，需要識別窗口中誤差新息序列的概率密度分布變化時刻，并且重新選擇誤差序列估計(jì)新息協(xié)方差矩陣。

令wk=ek2，根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的性質(zhì)，可得wk的累計(jì)分布函數(shù)：

式中，P為概率；F為分布函數(shù)。

對式（18）兩邊微分，得wk的概率密度函數(shù)：

令識別窗口長度內(nèi)的誤差新息序列W=[wk-2N,wk-1]，如果窗口內(nèi)的誤差新息序列分布沒有發(fā)生變化，則W中的誤差新息序列的概率密度均服從獨(dú)立同分布。W的極大似然函數(shù)為每個序列的乘積：

對數(shù)極大似然函數(shù)F1為：

如果窗口內(nèi)的誤差新息序列分布發(fā)生變化，每更新一次識別窗口長度，必須對識別窗口中的中間時刻進(jìn)行檢驗(yàn)。如果被檢驗(yàn)的時間點(diǎn)剛好是誤差新息序列分布變化臨界點(diǎn)，則識別窗口中誤差新息序列的極大似然函數(shù)等于臨界點(diǎn)兩側(cè)隨機(jī)變量序列的概率密度函數(shù)乘積：

式中，σ21、σ22分別識別窗口臨界點(diǎn)前、后序列服從的高斯分布對應(yīng)的方差。

同上述方法，可得σ21和σ22：

因此，變化后對數(shù)極大似然函數(shù)F2為：

當(dāng)F1-F2>TH時，可判斷窗口中誤差新息序列分布發(fā)生變化，其中TH為閾值。通過試驗(yàn)驗(yàn)證，取TH=1.0時的效果最好。F1-F2可以化簡為：

窗口長度初始值設(shè)置為L0。如果誤差新息序列分布沒有變化，則增大窗口長度，其最大值為Lmax。同時，為保證數(shù)據(jù)過渡平滑，原窗口自適應(yīng)算法在誤差序列分布發(fā)生變化時，窗口突變過大，窗口序列數(shù)據(jù)急劇減少，在狀態(tài)估計(jì)時，會導(dǎo)致誤差加大，如圖2、圖3所示。

圖2 原自適應(yīng)算法窗口波動情況

圖3 原自適應(yīng)算法SOC誤差

因此，自適應(yīng)調(diào)整公式為：

式中，Lk為k時刻動態(tài)窗口長度。

經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)證，取Lmax=120時效果最好。

調(diào)整后的新息協(xié)方差矩陣估計(jì)方法為：

式中，Hk為k時刻新息噪聲協(xié)方差；ek為k時刻誤差新息。

同時，測量和過程噪聲協(xié)方差為：

式中，Rk為k時刻測量噪聲協(xié)方差矩陣；Kk為k時刻卡爾曼增益；Pxx,k|k-1為k時刻誤差協(xié)方差；Qk為k時刻過程噪聲協(xié)方差矩陣；Ck=

4 仿真結(jié)果與分析

本文選用容量為3 200 mA·h的18650型三元鋰電池作為研究對象。在城市道路循環(huán)（Urban Dynamometer Driving Schedule，UDDS）工況下驗(yàn)證改進(jìn)算法的精確度。SOC初始值設(shè)定為0.8，實(shí)際初始值為1.0。

4.1 確定窗口大小

通過控制變量法進(jìn)行算法驗(yàn)證，設(shè)置閾值TH為1.5，最大窗口大小分別為80、120、160、200。驗(yàn)證SOC 誤差結(jié)果如圖4、表1 所示，采用均方根誤差（Root Mean Squared Error，RMSE）和平均絕對誤差（Mean Absolute Error，MAE）表征算法誤差。

表1 不同最大窗口下SOC均方根誤差和平均絕對誤差

圖4 不同最大窗口SOC誤差對比

由表1可以確定，最大窗口大小取120較為合適。

4.2 確定閾值TH

固定最大窗口大小為120，設(shè)置閾值TH分別為0.5、1.0、1.5、2.0、2.5，利用控制變量法進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖5、表2所示。

表2 不同閾值下SOC均方根誤差和平均絕對誤差

圖5 不同閾值SOC誤差對比

由表2可以確定，取閾值TH=1.0較為合適。

4.3 算法優(yōu)化前、后對比

通過對自適應(yīng)窗口算法的改進(jìn)，取最大窗口大小為120，閾值TH=1.0，窗口變化前、后對比如圖6 所示，由圖6 可知，窗口大小的波動突變減小，總體較為平滑。算法優(yōu)化前、后的SOC 誤差對比及均方根誤差、平均絕對誤差如圖7 和表3 所示。由仿真結(jié)果可知，優(yōu)化后算法在更新新息協(xié)方差時，減小因?yàn)樾孪⒎植夹蛄写罅咳笔г斐上到y(tǒng)估算誤差的影響，使得其快速跟蹤能力，穩(wěn)定性以及精確度提升明顯。

圖6 算法改進(jìn)前、后窗口變化

圖7 算法改進(jìn)前、后SOC誤差對比

將改進(jìn)后的算法與UKF 和AUKF 算法進(jìn)行對比，結(jié)果如圖8 所示。由圖8 可知，改進(jìn)后的AUKF前期由于窗口數(shù)量較少，SOC估計(jì)誤差略有波動，但在后期趨于收斂且穩(wěn)定性均優(yōu)于UKF 和AUKF 算法，整體性能指標(biāo)如表4所示。

5 結(jié)束語

本文采用二階RC 等效電路模型模擬電池動態(tài)特性，結(jié)合帶遺忘因子的最小二乘法進(jìn)行模型參數(shù)在線辨識。結(jié)合辨識結(jié)果，采用改進(jìn)后的變窗口自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波方法進(jìn)行SOC 估計(jì)。由仿真對比結(jié)果可知，改進(jìn)后的算法精度和穩(wěn)定性均明顯提升，收斂速度更快。