張旭東 張瑋東 柴曉冬 彭樂(lè)樂(lè) 鄭樹(shù)彬 葉智楊

（1.上海工程技術(shù)大學(xué)城市軌道交通學(xué)院 上海 201620）（2.上海地鐵維護(hù)保障有限公司車(chē)輛分公司 上海 200031）

1 引言

在我們周?chē)h(huán)境中振動(dòng)能量廣泛分布，收集環(huán)境中的振動(dòng)能量轉(zhuǎn)化為電能是實(shí)現(xiàn)諸多無(wú)線(xiàn)智能傳感器能源自供給的最要途徑［1～4］，由于壓電材料所具有較大的機(jī)電耦合系數(shù)及較高的能量轉(zhuǎn)化效率，壓電振動(dòng)能量收集器被廣泛應(yīng)用。軌道車(chē)輛運(yùn)行過(guò)程中所產(chǎn)生的振動(dòng)，具有瞬時(shí)沖擊較大的特點(diǎn)［5～6］，所以發(fā)電效率高、與車(chē)輛振動(dòng)頻譜高度適配的壓電結(jié)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)安裝在軌道車(chē)輛軸箱處智能傳感器自供給的技術(shù)要點(diǎn)。

目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者在壓電振動(dòng)能量收集器的壓電材料、壓電結(jié)構(gòu)、動(dòng)力學(xué)模型和機(jī)電耦合模型等維度進(jìn)行研究。由于壓電材料作為能量轉(zhuǎn)化器件，其直接影響到了振動(dòng)能量到電能的轉(zhuǎn)換效率［7～10］。Wen Cheng 等針對(duì)沖擊載荷下溫度對(duì)壓電陶瓷機(jī)電響應(yīng)及輸出能量的影響［11］。丁維高等基于哈密頓原理，建立了壓電曲梁機(jī)電耦合偏微分方程［12］。相對(duì)于常用的單端式懸臂梁［13］，圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)具有抗沖擊性強(qiáng)、不易碎及發(fā)電效率高等優(yōu)點(diǎn)［14～16］，其適用于振動(dòng)強(qiáng)烈且瞬時(shí)沖擊大的環(huán)境。

本文針對(duì)可適用于較大沖擊載荷環(huán)境下的圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)，基于歐拉-伯努利理論建立了其固有頻率模型，利用辛幾何方法得出壓電梁撓度振型表達(dá)式，通過(guò)基爾霍夫定律推導(dǎo)出輸出功率模型，研究了結(jié)構(gòu)參數(shù)與固有頻率及發(fā)電特性之間的關(guān)系。最后通過(guò)理論值計(jì)算以及COMSOL 仿真分析，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

2 圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)建模

2.1 圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)模型

圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)安裝在軌道列車(chē)走行件上的能量俘獲器中。在軌道列車(chē)運(yùn)行過(guò)程中，載體受到振動(dòng)激勵(lì)，上下質(zhì)量塊受外界慣性力的作用而產(chǎn)生垂向機(jī)械振動(dòng)，從而使壓電陶瓷發(fā)生形變產(chǎn)生電荷。圖1（a）為圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)圖，該結(jié)構(gòu)由金屬基底、壓電陶瓷及質(zhì)量塊組成。

圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)截面圖如圖1（b）所示，設(shè)壓電陶瓷直徑為Rs，厚度為T(mén)s，金屬基底直徑為Rp，厚度為T(mén)p，質(zhì)量塊質(zhì)量為mz。以固支梁幾何邊界點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。

固支端A 與固支端B 對(duì)梁作用的彎矩分別為MA、MB，垂直支撐力分別為FA、FB。梁的變形微分方程為

其中，ω1和ω2分別表示梁在中間載荷作用點(diǎn)左右兩側(cè)的變形撓度，E為梁的彈性模量，I為梁截面的慣性矩。

力與彎矩之間的平衡關(guān)系為

聯(lián)合式（1）、（2）、（3）、（4）解得變形表達(dá)式為

根據(jù)材料力學(xué)：

圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)的等效彈性模量為

圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)的慣性矩為

結(jié)合式（8）、（9），因此可以得到圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)模型為

2.2 圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)輸出功率模型

在集中載荷q(x,y,t)作用下，根據(jù)瞬態(tài)平衡條件，得圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)受迫振動(dòng)的微分方程［17］：

根據(jù)撓度函數(shù)正交性以及杜哈梅積分計(jì)算整理可得圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)的撓度為

發(fā)電梁受到外力作用下相對(duì)于平衡位置的相對(duì)位移為ω(t)，當(dāng)外界載體振動(dòng)時(shí)，設(shè)固定載體運(yùn)動(dòng)位移為y，(t)為固定載體的激勵(lì)加速度，從而建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程：

設(shè)C為壓電等效夾持電容，α為壓電等效力壓轉(zhuǎn)換因子，V為壓電輸出電壓，R為外接負(fù)載，基于基爾霍夫定律可列出壓電懸臂梁KCL方程：

可以得到外界激勵(lì)加速度幅值yM表示的輸出功率表達(dá)式：

3 仿真驗(yàn)證

3.1 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)模型的正確性，利用COMSOL有限元軟件構(gòu)建了圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)仿真模型如圖2所示。

圖2 圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)仿真圖

該模型由金屬基底、上下壓電陶瓷以及上下質(zhì)量塊組成。選用銅為金屬基底材質(zhì)，PZT-5H 為壓電陶瓷材料。其中模型各參數(shù)如表1 所示。設(shè)置激勵(lì)加速度為1g，采用步長(zhǎng)為0.2Hz，范圍為0～1000Hz 之間進(jìn)行掃頻以獲取圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)各階諧振頻率的大小。

3.2 驗(yàn)證結(jié)果

在COMSOL 軟件中進(jìn)行仿真得到圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)前六階振型如圖3所示。

圖3 圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)前六階振型

圖3（a）～（f）依次為發(fā)電梁前六階振型圖，其中一階諧振頻率為69.5Hz，二階諧振頻率為219.34Hz，三階諧振頻率為225.51Hz，后三階諧振頻率分別為742.03Hz、794.33Hz、798.22Hz。結(jié)合前六階振型圖可以看出，該梁第二、三及五、六階振型基本一致，諧振頻率數(shù)值接近。經(jīng)COMSOL仿真軟件對(duì)模型進(jìn)行特征頻率研究得到圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)在前六階輸出電壓的峰值如圖4所示。

圖4 前六階輸出電壓峰值

由圖4 可以得出，圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)輸出主要頻段在二、三階處。通過(guò)式（15）計(jì)算出圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)在二、三階處輸出功率理論值，并得到峰值電壓值。通過(guò)理論值與仿真值，計(jì)算其相對(duì)偏差。圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)在二、三階處仿真數(shù)據(jù)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)如圖5（a）、（b）所示。

圖5 二、三階振型處理論及仿真圖

從圖5（a）、（b）可以得出，圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)理論值與COMSOL 有限元仿真模型得出的仿真值在諧振頻率以及輸出電壓峰值方面數(shù)值非常相近。其中在二階振型處頻率相對(duì)誤差為1.94%，輸出電壓峰值相對(duì)誤差為2.09%，在三階振型處頻率相對(duì)誤差為1.14%，輸出電壓峰值相對(duì)誤差為2.67%。綜上所述仿真及實(shí)驗(yàn)，可以得出，圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)諧振頻率模型及輸出功率模型誤差值均在3%以?xún)?nèi)，證明了模型的正確性。

4 結(jié)語(yǔ)

為獲取圓盤(pán)形壓電雙晶片結(jié)構(gòu)的發(fā)電特性，本文構(gòu)建了頻率響應(yīng)及輸出功率模型，通過(guò)仿真驗(yàn)證了模型的正確性，可以得到以下結(jié)論：通過(guò)對(duì)圓形壓電雙晶片發(fā)電梁受力變形分析，推導(dǎo)出復(fù)合結(jié)構(gòu)等效剛度及等效慣性矩，得到了固有頻率模型及輸出功率模型，確定了其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)。通過(guò)COMSOL 仿真結(jié)果，得到圓形壓電雙晶片發(fā)電梁在二三階處輸出峰值電壓為別為87.6657V 和64.6657V，即其主要輸出頻段在二、三階振型處。根據(jù)圓形壓電雙晶片發(fā)電梁理論值及仿真值，其相對(duì)誤差均小于3%。