分形Cauchy空間到Zygmund型空間的積分型復合算子

艾 錢

(浙江師范大學 數(shù)學與計算機科學學院，浙江金華 321004)

0 引言

(0.1)

近年來，分形Cauchy空間Fα在復合算子、求導算子和積分算子中有廣泛研究.[1-8]特別地，分形Cauchy空間與規(guī)范化單葉函數(shù)空間E有密切的關系，對α>2，成立E?Fα[9].

設β>0，Bloch型空間Bβ定義為全體f∈H()滿足

Zygmund型空間Zβ定義為全體f∈H()滿足

設φ∈S，定義H()上的由φ導出的復合算子Cφ為

Cφf(z)=f(φ(z))，f∈H().

對g∈H()，由g導出的Volterra型積分算子定義如下：

當g(z)=-log(1-z)時，算子Jg與Cesàro算子一致. 另一個由g導出的積分算子Ig定義如下：

由g∈H()導出的乘子算子Mg定義為Mgf(z)=g(z)f(z)，其與積分算子Jg和Ig滿足下面的關系：

Jgf+Igf+f(0)g(0)=Mgf.

近40年來，對在不同背景(空間)下的復合算子有了廣泛的研究. 經(jīng)典文獻[10]和[11]系統(tǒng)研究了復合算子在解析函數(shù)空間的基本理論性質(zhì)，特別地，對算子理論性質(zhì)和誘導該算子的函數(shù)性質(zhì)之間的研究尤為深刻. 基于文獻[12]對Volterra型算子在解析函數(shù)空間中的工作(Volterra型算子在Hardy空間H2中有界當且僅當g∈BMOA等)，對積分算子Jg和Ig在不同函數(shù)空間中相繼有了廣泛的研究，Aleman和Siskakis研究了Hardy空間和Bergman空間上積分算子的有界性和緊性.[13-14]

隨著算子理論研究的不斷深入，很多學者考慮不同解析函數(shù)空間上兩個(類)算子的乘積，復合算子與積分算子的乘積在不同函數(shù)空間的性質(zhì)成為近年來研究的熱點. Li和Stevic研究了幾類不同解析函數(shù)空間上復合算子與積分算子乘積的有界性和緊性；[15-17]Hibschweiler研究了從分形Cauchy空間到Bloch型空間復合算子與求導算子乘積的有界性和緊性.[18]引用文獻[15-18]中證明所用到的工具和方法，本文考慮分形Cauchy空間到Zygmund型空間復合算子與兩類積分算子的乘積

并給出刻畫以上乘積算子有界或成為緊的充分條件和必要條件.

1 預備引理

本節(jié)，我們回顧一些基本知識和預備引理.

文獻[19]中，緊算子的定義如下：

函數(shù)空間中算子的緊性有很多等價的條件，根據(jù)文獻[11]中的定理1.3.3，我們給出積分算子JgCφ(CφJg，IgCφ，CφIg)：Fα→Zβ緊的充要條件.

引理1 設α，β>0，φ∈S，g∈H()，令算子T=JgCφ，CφJg，IgCφ或CφIg. 則算子T：Fα→Zβ是緊的當且僅當對任意Fα中在的緊子集一致收斂于0的有界函數(shù)列{fn}(n→∞)，當n→∞時

文獻[20]中，Shapiro給出了復合算子緊的必要條件.

文獻[21]給出了復合算子在Bloch型空間中有界和緊的等價條件.

引理3 設α，β>0，φ∈S，則下列結論成立：

(1)算子Cφ：Bα→Bβ有界當且僅當

(1.1)

(2)算子Cφ：Bα→Bβ是緊的當且僅當φ∈Bβ且

(1.2)

根據(jù)關系式(0.1)，Hibschweiler[9]證明對每個w∈，有且下面的結論成立.

引理4 設α>0，對函數(shù)f∈Fα和非負整數(shù)n，存在一個與f無關的正常數(shù)C使得

(1.3)

引理5[22]設α>0，固定w∈，對任意的非負整數(shù)n定義

(1.4)

在本文中，記XY表示存在一個正常數(shù)C使得X≤CY.

2 主要結果

2.1 算子JgCφ(CφJg)：Fα→Zβ

本節(jié)，我們刻畫從分形Cauchy空間到Zygmund型空間的積分型復合算子JgCφ和CφJg的有界性和緊性.

首先，令g=φ，利用引理3對算子JφCφ：Fα→Zβ(0<β<1)的有界性和緊性進行刻畫.

定理1 設φ∈S，對α>0和0<β<1，下列結論相互等價：

(1)JφCφ：Fα→Zβ是有界的；

(2)JφCφ：Fα→Zβ是緊的；

證明：(2)?(1)是顯然的.

(1)?(3)：假設JφCφ：Fα→Zβ有界，則存在一個常數(shù)C，對所有的f∈Fα，有

(2.1)

(2.2)

因此，有φ∈Zβ，根據(jù)式(2.1)和式(2.2)，又有

(2.3)

即φ∈Bβ/2.

對固定的w∈，定義函數(shù)

(2.4)

(2.5)

將式(2.5)中的z用w代替，得

(2.6)

因此，有

(2.7)

再由式(2.3)，有

(2.8)

根據(jù)式(2.7)和式(2.8)，有

(2.9)

因此，可以得到

結合上式和引理3的條件(1)可知：Cφ：Bβ/2→Bβ/2有界.

進一步，通過式(2.9)知，當|φ(w)|→1時，有

根據(jù)引理1，設{fn}為Fα中有界且當n→∞時在的緊子集中一致收斂于0的函數(shù)列. 只需證明當n→∞時，有

注意到|(JφCφfn)(0)|=0，又n→∞時{fn}在的緊子集一致收斂于0，所以，當n→∞時，有|(JφCφfn)′(0)|=|fn(φ(0))φ′(0)|→0. 根據(jù)式(2.3)，對z∈有

(1-|z|2)β|(JφCφfn)″(z)|=

(1-|z|2)β|fn′(φ(z))(φ′(z))2+fn(φ(z))φ″(z)|

由于{fn′}當n→∞時在的緊子集一致收斂于0，有

根據(jù)定理1及證明，有下面的結論.

推論1 設α，β>0，φ∈S，若α+1>β，則下列的結論相互等價：

(1)JφCφ：Fα→Zβ是有界的；

(2)JφCφ：Fα→Zβ是緊的；

對任意g∈H()，利用符號φ和g刻畫乘積算子JgCφ：Fα→Zβ的有界性和緊性.

定理2 設α，β>0，φ∈S，g∈H()，則下面的結論成立.

(1)算子JgCφ：Fα→Zβ有界當且僅當

(2.10)

(2.11)

(2)若算子JgCφ：Fα→Zβ有界，則算子JgCφ：Fα→Zβ為緊的當且僅當

(2.12)

(2.13)

證明：(1)充分性. 假設式(2.10)和式(2.11)成立，對任意f∈Fα，根據(jù)式(2.10)和引理4，有

(2.14)

同理，根據(jù)式(2.11)和引理4，有

(2.15)

結合式(2.14)和式(2.15)，有

必要性. 假設算子JgCφ：Fα→Zβ有界.定理1中(1)?(3)的證明相同，再次利用測試函數(shù)f(z)=1，z∈Fα和算子JgCφ：Fα→Zβ的有界性可知：

(2.16)

(2.17)

根據(jù)式(2.16)和式(2.17)，有

(2.18)

因此，有

(2.19)

利用算子JgCφ：Fα→Zβ的有界性和定理1證明中的式(2.4)定義的函數(shù)fw(z)∈Fα，可得：

(2.20)

結合式(2.19)和式(2.20)可知，式(2.10)成立.

對每個w∈，定義函數(shù)

(2.21)

通過簡單計算，可知：

因此，將式(2.21)中的z用w代替，得

(2.22)

因此，式(2.11)成立，(1)證明完畢.

(2)充分性. 假設算子JgCφ：Fα→Zβ有界且式(2.12)和式(2.13)成立，要證算子JgCφ：Fα→Zβ為緊的. 根據(jù)引理1，設{fn}為Fα中有界且當n→∞時在的緊子集中一致收斂于0的函數(shù)列，只需證明當n→∞時，

根據(jù)引理4，存在僅與α有關的正常數(shù)C，使對n=1，2，…，和z∈，有

由上式和式(2.12)知，對任意給定ε>0，存在一個r0∈(0，1)，使得

(2.23)

由算子JgCφ：Fα→Zβ的有界性知式(2.18)成立. 因此，有

(1-|z|2)β|fn′(φ(z))φ′(z)g′(z)||fn′(φ(z))|.

又因為{fn′}在的緊子集一致收斂于0，因此，存在N>0，使得當n>N時，有

(2.24)

由式(2.23)和式(2.24)，當n>N時，有

(2.25)

同理，根據(jù)式(2.13)和算子JgCφ：Fα→Zβ的有界性(式(2.16)成立)可知，存在N1>0，使得當n>N1時，有

(2.26)

由式(2.25)和式(2.26)，可得

(2.27)

必要性. 假設算子JgCφ：Fα→Zβ是緊的，自然地，算子JgCφ：Fα→Zβ有界，證明式(2.12)和式(2.13)成立.

(2.28)

(2.29)

將上述結果帶入式(2.29)，有

又|φ(zn)|→1，(n→∞)，因此，式(2.12)成立.

同理，定義Fα中的函數(shù)如下：

根據(jù)算子JgCφ：Fα→Zβ的緊性可得式(2.12)成立，(2)證明完畢.

推論2 設α，β>0，φ∈S，g∈H()，若則下列的結論相互等價：

(1)JgCφ：Fα→Zβ是有界的；

(2)JgCφ：Fα→Zβ是緊的；

對于算子CφJφ：Fα→Zβ(g=φ時)，不能得到與定理1類似的結論.

接下來，對乘積算子CφJg：Fα→Zβ的有界性和緊性進行刻畫.

定理3 設α，β>0，φ∈S，g∈H()，則下列結論成立.

(1)算子CφJg：Fα→Zβ有界當且僅當

(2.30)

(2.31)

(2)若算子CφJg：Fα→Zβ有界，則算子CφJg：Fα→Zβ為緊的當且僅當

(2.32)

(2.33)

證明：(1)充分性. 假設式(2.30)和式(2.31)成立，對任意f∈Fα，根據(jù)引理4

(2.34)

和

(2.35)

必要性. 假設算子CφJg：Fα→Zβ有界，與定理2相同，使用測試函數(shù)f(z)=1，z∈Fα，由算子CφJg：Fα→Zβ的有界性可得

(2.36)

(2.37)

結合式(2.36)和式(2.37)，得

(2.38)

根據(jù)式(2.38)，可得

(2.39)

利用算子CφJg：Fα→Zβ的有界性和定理1、定理2的證明所定義的函數(shù)fw，hw∈Fα，有

(2.40)

和

(2.41)

根據(jù)式(2.40)可知，式(2.31)成立，根據(jù)(2.41)，有

(2.42)

根據(jù)式(2.39)和式(2.42)可知，式(2.30)成立，(1)證明完畢.

(2)充分性. 假設算子CφJg：Fα→Zβ有界且式(2.32)和式(2.33)成立，根據(jù)引理1，設{fn}為Fα中有界且當n→∞時在的緊子集中一致收斂于0的函數(shù)列，只需證明(n→∞)即可.

根據(jù)引理4，存在僅與α有關的正常數(shù)C，使得對n=1，2，…，和z∈，有

由上式和式(2.33)知，對任意給定ε>0，存在一個r0∈(0，1)，使得

(2.43)

由算子CφJg：Fα→Zβ的有界性可知，式(2.38)成立，因此，有

(1-|z|2)β|fn′(φ(z))g′(φ(z))φ′(z)2||fn′(φ(z))|.

又因為{fn′}在的緊子集一致收斂于0，因此，存在N>0，使得當n>N時，有

(2.44)

由式(2.43)和式(2.44)可知，當n>N時，有

(2.45)

同理，由式(2.32)可知，存在N1>0，使得當n>N1時，有

(2.46)

根據(jù)式(2.45)和式(2.46)，有

(2.47)

同理，當n→∞時，|CφJgfn(0)|→0，|CφJgfn′(0)|→0.

必要性. 假設算子CφJg：Fα→Zβ是緊的. 由定理2證明中定義的函數(shù)fn和hn，可知

由引理5可知，fn、hn∈Fα且fn、hn在的緊子集中一致收斂于0，且

(2.48)

(2.49)

根據(jù)定理2中(2)的證明，結合式(2.48)和式(2.49)，根據(jù)引理1及算子CφJg：Fα→Zβ的緊性，可知式(2.32)和式(2.33)成立，證畢.

推論3 設α，β>0，φ∈S，g∈H()，若則下列的結論相互等價：

(1)CφJg：Fα→Zβ是有界的；

(2)CφJg：Fα→Zβ是緊的；

(2.50)

2.2 算子IgCφ(CφIg)：Fα→Zβ

本節(jié)，刻畫分形Cauchy空間到Zygmund型空間的積分型算子IgCφ和CφIg的有界性和緊性. 與定理1相同，當g=φ時，利用引理3對算子IφCφ：Fα→Zβ(0<β<1)的有界性和緊性進行刻畫.

定理4 設φ∈S，對α>0和0<β<1，下列的結論相互等價：

(1)IφCφ：Fα→Zβ是有界的；

(2)IφCφ：Fα→Zβ是緊的；

證明：(2)?(1)是顯然的.

(2.51)

即φ∈Bβ，且

(2.52)

對固定的w∈，定義函數(shù)

(2.53)

(2.54)

將式(2.54)中的z用w代替，得

(2.55)

因此，有

(2.56)

結合式(2.52)和式(2.56)，有

(2.57)

因此，可以得到

結合上式和引理3中的(1)可知，Cφ：Bβ→Bβ有界. 進一步，通過式(2.57)可知，當|φ(w)|→1時，有

同理，根據(jù)引理1，設{fn}為Fα中有界且當n→∞時在的緊子集中一致收斂于0的函數(shù)列. 只需證明當n→∞時，有

注意到|IφCφfn(0)|=0和當n→∞時，有|(IφCφfn)′(0)|→0. 根據(jù)式(2.51)，對z∈，有

(1-|z|2)β|(IφCφfn)″(z)|=

(1-|z|2)β|fn″(φ(z))φ(z)φ′(z)+fn′(φ(z))φ′(z)|

由于{fn′}，{fn″}當n→∞時在的緊子集一致收斂于0，故有

根據(jù)定理4的證明，有下面的結論.

推論4 設α，β>0，φ∈S，若α+1>β，則下列的結論相互等價：

(1)IφCφ：Fα→Zβ是有界的；

(2)IφCφ：Fα→Zβ是緊的；

定理5 設α，β>0，φ∈S，g∈H()，則下列結論成立.

(1)算子IgCφ：Fα→Zβ有界當且僅當

(2.58)

(2.59)

(2)若算子IgCφ：Fα→Zβ有界，則算子IgCφ：Fα→Zβ為緊的當且僅當

(2.60)

(2.61)

證明：(1)充分性. 假設式(2.58)和式(2.59)成立，對任意f∈Fα，根據(jù)式(2.58)和引理4，有

(2.62)

同理，根據(jù)式(2.59)和引理4，有

(2.63)

(2.64)

(2.65)

根據(jù)式(2.64)和式(2.65)，有

(2.66)

根據(jù)式(2.64)和式(2.66)，有

(2.67)

(2.68)

利用算子IgCφ：Fα→Zβ的有界性和定理4證明中的式(2.53)定義的函數(shù)f1，w(z)∈Fα，可得

則有

(2.69)

根據(jù)式(2.67)和式(2.69)可知，式(2.58)成立.

對每個w∈，定義函數(shù)

(2.70)

因此，將式(2.70)中的z用w代替，得

因此，有

(2.71)

根據(jù)式(2.68)和式(2.71)可知，式(2.59)成立，(1)證明完畢.

(2)充分性. 假設算子IgCφ：Fα→Zβ有界且式(2.60)和式(2.61)成立，要證明算子IgCφ：Fα→Zβ為緊的，根據(jù)引理1，設{fn}為Fα中有界且當n→∞時在的緊子集中一致收斂于0的函數(shù)列，只需證明當n→∞時

根據(jù)引理4，存在僅與α有關的正常數(shù)C，使得對n=1，2，…，和z∈，有

由上式和式(2.60)可知，對任意給定的ε>0，存在一個r0∈(0，1)，使得

(2.72)

由算子IgCφ：Fα→Zβ的有界性可知，式(2.64)成立. 因此，有

(1-|z|2)β|fn′(φ(z))g′(z)||fn′(φ(z))|.

又因為{fn′}在的緊子集一致收斂于0，因此，存在N>0，使得當n>N時，有

(2.73)

由式(2.72)和式(2.73)，當n>N時，有

(2.74)

同理，根據(jù)算子IgCφ：Fα→Zβ的有界性可知，式(2.66)成立，再由式(2.61)可知，存在N1>0，使得當n>N1時，有

(2.75)

根據(jù)式(2.74)和式(2.75)

(2.76)

(2.77)

(2.78)

帶入式(2.78)，有

(2.79)

又|φ(zn)|→1，(n→∞)，根據(jù)式(2.79)，即可得證式(2.60).

定義函數(shù)

推論5 設α，β>0，φ∈S，g∈H()，若則下列的結論相互等價：

(1)IgCφ：Fα→Zβ是有界的；

(2)IgCφ：Fα→Zβ是緊的；

定理6 設α，β>0，φ∈S，g∈H()，則下列結論成立.

(1)算子CφIg：Fα→Zβ有界當且僅當

(2.80)

(2.81)

(2)若算子CφIg：Fα→Zβ有界，則算子CφIg：Fα→Zβ為緊的當且僅當

(2.82)

(2.83)

證明：(1)充分性. 假設式(2.80)和式(2.81)成立，對任意f∈Fα，根據(jù)引理4、式(2.80)和式(2.81)，存在正常數(shù)C，使得

(2.84)

(2.85)

必要性. 假設算子CφIg：Fα→Zβ有界，使用測試函數(shù)f(z)=z，z2/2∈Fα，由算子CφIg：Fα→Zβ的有界性，可得

(2.86)

(2.87)

根據(jù)式(2.86)和式(2.87)，可得

(2.88)

根據(jù)式(2.86)和式(2.88)，可得

(2.89)

(2.90)

根據(jù)定理4、定理5的證明所定義的函數(shù)f1，w，h1，w∈Fα，利用算子CφIg：Fα→Zβ的有界性，有

(2.91)

(2.92)

根據(jù)式(2.91)和式(2.92)，有

(2.93)

(2.94)

結合式(2.89)、式(2.90)、式(2.93)和式(2.94)可知，式(2.80)、式(2.81)成立.

(2)充分性. 根據(jù)引理1，使用與定理5中(2)的證明相同的方法可直接得到.

必要性. 根據(jù)定理5的證明及其定義的函數(shù)f1，n，h1，n∈Fα，再由引理1和算子CφIg：Fα→Zβ的緊性，可知式(2.82)和式(2.83)成立，證明完畢.

推論6 設α，β>0，φ∈S，g∈H()，若則下列的結論相互等價：

(1)CφIg：Fα→Zβ是有界的；

(2)CφIg：Fα→Zβ是緊的；

致謝：衷心感謝導師胡俊云教授對論文的悉心指導！