王玉春, 王 莉

(1.宿遷學(xué)院 文理學(xué)院, 江蘇 宿遷 223800; 2.中國礦業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 徐州 221116)

0 引言

最近幾十年,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究受到了廣泛關(guān)注,在各個領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用,如大腦中的神經(jīng)回路,生態(tài)系統(tǒng)中的食物網(wǎng)和通信網(wǎng)絡(luò)中的互聯(lián)網(wǎng)等[1-3]. 在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的電子實現(xiàn)中,信息在存儲記憶和傳遞中一般會存在延遲現(xiàn)象,也稱為時滯, 這種現(xiàn)象一般會引起系統(tǒng)的振蕩,影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 另一方面,學(xué)者發(fā)現(xiàn),在某些特殊情況下,在系統(tǒng)中引入時滯可以獲得更好的系統(tǒng)性能[4],如帶時滯的遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5-7]得到了廣泛的研究.

在進行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計和應(yīng)用時,研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性是必不可少的先決條件,目前穩(wěn)定性的研究主要是在Lyapunov意義下的[8-9]. 另外,在實際應(yīng)用中,系統(tǒng)的穩(wěn)定性往往受一些不確定的隨機因素的影響和干擾,包括外部不確定因素的擾動、傳感器噪聲和脈沖影響等會造成網(wǎng)絡(luò)的不穩(wěn)定。因此,隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性逐漸引起了學(xué)者們的關(guān)注,與確定性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比,其動力學(xué)行為會更復(fù)雜多變,這也給研究者帶來了極大的挑戰(zhàn)和興趣,目前已經(jīng)取得了很多較好的成果[7,10-11].

在隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中考慮馬氏切換下的系統(tǒng)的穩(wěn)定性,目前是一個新的研究方向[12-15].這類模型包含多個模式,不同的模式可以在一條馬氏鏈的驅(qū)動下進行切換,在實際中有著潛在的應(yīng)用價值. 如文[12]利用Lyapunov 穩(wěn)定性理論,使用LMI分析技巧和矩陣?yán)碚?研究了具有隨機擾動和馬氏切換的中立型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)同步問題,給出系統(tǒng)同步的充分條件.文[14]研究了帶馬爾可夫跳的隨機Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的以分布漸近穩(wěn)定性,給出了以分布漸近穩(wěn)定性的充分條件. 但據(jù)作者所知,目前還沒發(fā)現(xiàn)在隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中同時考慮馬氏切換和時變時滯的文獻.基于此,本文將馬氏切換和時變時滯同時考慮到隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中,通過構(gòu)造Lyapunov泛函,并利用伊藤公式和不等式放縮技巧,研究了系統(tǒng)的依分布漸近穩(wěn)定的充分條件,并通過數(shù)值模擬驗證所得結(jié)果的正確性.

1 模型描述

模型方程如下

(1)

模型中記號的含義說明如下

1)r(t),t≥0為一馬氏過程,右連續(xù),在S={1,2,…,N}內(nèi)取值,Γ=(γij)N×N,(i,j∈S)為轉(zhuǎn)換矩陣

2) 向量x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T∈Rn為神經(jīng)元的狀態(tài),f(·)=(f1(·),f2(·),…fn(·))T為激活函數(shù),A(r(t))=diag{a1(r(t)),a2(r(t)),…,an(r(t))},ai(r(t))>0(i=1,2,…,n)為行為函數(shù),B(r(t))=(bij(r(t)))n×n,C(r(t))=(cij(r(t)))n×n代表反饋和時滯反饋陣,I(r(t))=(I1(r(t)),I2(r(t)),…,In(r(t)))T代表外部輸入.σ=(σij)n×n是噪聲強度陣,ω(t)=(ω1(t),ω2(t),…ωn(t))T∈Rn是定義在(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的n維布朗運動.記r(t)=i,A(r(t))=Ai,B(r(t))=Bi,(r(t))=Ci,I(r(t))=Ii,i∈S.

3) 0≤τ(t)≤h,τk(t)≤τ<1,其中h,τ都是大于零的常數(shù).

另外,設(shè)矩陣H∈Rn×n,并且可表示為H=sI-B,s>0,B≥0,若s≥ρ(B),ρ(B)表示矩陣B的譜半徑,則稱矩陣H為M-矩陣[16]．

為了對模型的穩(wěn)定性進行分析,做如下假設(shè).

假設(shè)1 激活函數(shù)f(·),對?i∈S,t∈R+,x,y∈Rn,存在的正常數(shù)矩陣L滿足

|f(x)-f(y)|≤L|x-y|,f(0)=0,σ(t,i,0)=0.

假設(shè)2對?(t,i,x(t),x(t-τ(t)))∈R+×S×Rn×Rn,存在正對角陣T1,T2,滿足

trace[σT(t,i,x(t),x(t-τ(t)))σ(t,i,x(t),x(t-τ(t)))]≤xT(t)T1x(t)+xT(t-τ(t))T2x(t-τ(t)).

定義1[13]如果存在一個C([-τ,0];Rn)×S上的概率測度π(·,·)滿足對?(x,i)∈Rn×S,x(t)的轉(zhuǎn)移概率p(t,i,x,dy×{j})當(dāng)t→∞時弱收斂于π(dy×{j}),則稱隨機過程x(t)是依分布漸近穩(wěn)定的.如果系統(tǒng)(1)的解x(t)是依分布漸近穩(wěn)定的,則稱系統(tǒng)(1)是依分布漸近穩(wěn)定的.

引理1[14]如果存在函數(shù)V,U∈C1,2(R+×S×Rn,R+),μ,μ1∈H∞,μ2∈H和正數(shù)α,β,對?i∈S,x,y∈Rn,有μ(|x|)≤V(t,i,x),LV(t,i,x)≤-αV(t,i,x)+β,U(t,i,0)=0,μ1(|x|)≤U(t,i,x),LU(t,i,x,y)≤-μ2(|x-y|)成立,則稱系統(tǒng)(1)是依分布漸近穩(wěn)定的.

引理2[15]設(shè)x,y∈Rn和ε>0,有xTy+yTx≤εxTx+ε-1yTy.

下面給出證明中會用到的Ito公式.令C1,2(R+×S×Rn;R+)代表在R+×S×Rn上對t一次可微,對x二次可微的非負(fù)函數(shù)V(t,i,x)的全體,對?V(t,i,x)∈C1,2(R+×S×Rn;R+),廣義的Ito公式定義如下

LV(t,i,x)=Vt(t,i,x)+Vx(t,i,x)[-A(r(t))x(t)+B(r(t))f(x(t))+

(2)

其中

2 主要結(jié)果

定理1如果假設(shè)1與假設(shè)2成立,那么若對?i∈S,存在正定對稱矩陣Di,常數(shù)ε1,ε2,ε3>0,使得

(3)

證明構(gòu)造Lyapunov泛函

(4)

利用式(2)可得

LV(t,i,x)=2xT(t)Di[-Aix(t)+Bif(x(t))+Cif(x(t-τ(t)))+Ii]+

trace[σT(t,i,x(t),x(t-τ(t)))Diσ(t,i,x(t),x(t-τ(t)))]+

(5)

根據(jù)引理2及假設(shè)1和假設(shè)2,得

(6)

2xT(t)DiBif(x(t-τ(t)))≤

λ[xT(t)T1x(t)+xT(t-τ(t))T2x(t-τ(t))]-

(7)

把式(6)和式(7)代入式(5),得

(8)

由式(8)知

(9)

其中

由式(4)知

又由式(3)知,η<0,故由式(9),得

設(shè)x(t)、y(t)分別代表系統(tǒng)(1)初始值不相同時的兩個解,則

d(x(t)-y(t))=[-Ai(x(t)-y(t))+Bi(f(x(t)-f(y(t)))+

Ci(f(x(t-τ(t)))-f(y(t-τ(t))))]dt+

[σ(t,i,x(t),x(t-τ(t)))-σ(t,i,y(t),y(t-τ(t)))]dω(t).

構(gòu)造一個正定的Lyapunov泛函

類似可得LU(t,i,x,y)≤β2|x-y|2,其中

顯然,β2<η<0,從而根據(jù)引理1,系統(tǒng)(1)是依分布漸近穩(wěn)定的.

定理2如果假設(shè)1與假設(shè)2成立,若存在常數(shù)ε1,ε2,ε3>0,使得

證明利用MK-矩陣的性質(zhì),存在q=(q1,q2,…,qN)T>0,滿足(k1,k2,…,kN)T=Kq>0.取正定的Lyapunov泛函

LV(t,i,x)=2qixT(t)[-Aix(t)+Bif(x(t))+Cif(x(t-τ(t)))+Ii]+

qitrace[σT(t,i,x(t),x(t-τ(t)))σ(t,i,x(t),x(t-τ(t)))]+

qixT(t)Q1x(t)-qixT(t-τ(t))(1-τ)Q1x(t-τ(t))+qixT(t)T1x(t)+

取下面正定的Lyapunov泛函

同理可得,可得

3 數(shù)值仿真

例1設(shè)r(t)是一個右連續(xù)的馬氏過程,并且取值在S={1,2}內(nèi),其對應(yīng)轉(zhuǎn)換矩陣如下

考慮如下二維帶Markov跳的隨機變時滯隨機神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

dx(t)=[-Aix(t)+Bif(x(t))+Cif(x(t-τ(t)))+Ii]dt+σ(t,i,x(t),x(t-τ(t)))dω(t)

(10)

其中

圖1 系統(tǒng)(10)的動力學(xué)行為