金亮，鞏德鑫

(1. 河北工業(yè)大學(xué) 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室，天津 300401；2.河北工業(yè)大學(xué) 河北省電磁場與可靠性重點實驗室，天津 300401)

電樞電磁推力作為電磁軌道炮的基本性能,是電磁軌道炮動態(tài)特性研究和設(shè)計的基礎(chǔ)[1-2]。對電樞電磁推力的計算,一般有解析計算方法和數(shù)值模擬方法。解析計算方法速度快,能直觀反映參數(shù)和變量之間的映射關(guān)系,對裝備的快速設(shè)計具有重要指導(dǎo)意義。文獻(xiàn)[3-4]研究了固定電感梯度下電樞電磁推力解析計算方法。文獻(xiàn)[5-8]研究了動態(tài)電感梯度下電樞電磁推力解析計算方法。

實際工況下,電磁場動態(tài)變化使得難以得到準(zhǔn)確的解析解,數(shù)值模擬方法能獲得場的時空分布特性,實現(xiàn)電樞電磁推力的計算求解。文獻(xiàn)[9-11]僅考慮電流擴(kuò)散影響,對電樞靜止時的電磁軌道炮進(jìn)行多場耦合仿真分析。文獻(xiàn)[12-14]建立考慮電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)的二維模型,分析了電樞運動時的電磁場分布特性,未對三維模型分析研究。文獻(xiàn)[15-19]分別使用LS-DYNA、COMSOL、ANSYS和二次開發(fā)軟件,建立考慮電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)的三維模型,圍繞電樞運動時電磁軌道炮的場分布特性開展研究。

目前對三維模型數(shù)值模擬后電樞電磁推力動態(tài)特性分析的文獻(xiàn)較少,缺乏考慮速度趨膚效應(yīng)和不考慮速度趨膚效應(yīng)時,對電樞電磁推力計算結(jié)果差異性的對比研究。筆者旨在定量對比分析不同計算方法下,三維電磁軌道炮的電樞電磁推力動態(tài)特性。首先給出電流沿軌道表面分布時,基于Kerrisk軌道電感梯度的電樞電磁推力解析計算方法[20]。然后從電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)對電流分布的影響出發(fā),給出不考慮速度趨膚效應(yīng)和考慮速度趨膚效應(yīng)的電樞控制方程并搭建對應(yīng)的有限元模型。使用公開試驗數(shù)據(jù)[21],驗證考慮速度趨膚效應(yīng)模型的正確性。最后調(diào)整模型參數(shù),定量對比研究電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)影響下的電樞電磁推力動態(tài)特性,并得到影響電樞電磁推力的最大速度值。通過對不同因素影響下電樞電磁推力的系統(tǒng)分析和數(shù)值模擬,為后續(xù)電磁軌道炮的優(yōu)化設(shè)計和可靠性分析提供了依據(jù)。

1 理論分析

1.1 電樞電磁推力解析計算

筆者采用C形電樞的電磁軌道炮作為研究對象,如圖1所示。

流入軌道和電樞中的電流產(chǎn)生磁場,電磁相互作用產(chǎn)生的電磁推力推動電樞沿軌道方向運動。從電路動態(tài)特性角度出發(fā),結(jié)合電樞力學(xué)特性,將力學(xué)量與電學(xué)量聯(lián)系在一起,可得到電樞電磁推力的經(jīng)典計算公式[22]:

(1)

式中:Fas為電樞電磁推力解析解;L′為軌道電感梯度;i為任意時刻的激勵電流。

發(fā)射前期,電流集中在軌道表面,而非均勻分布[23]。此時軌道電感梯度可由Kerrisk公式[20]快速計算得到

(2)

式中:w為軌道厚度;h為軌道寬度;s為軌道間距?？芍?L′與軌道尺寸有關(guān),可以通過增大軌道間距、縮小軌道高度以及減小軌道厚度等方法,來提高軌道電感梯度,進(jìn)而增大電樞電磁推力。

Kerrisk軌道電感梯度公式是基于軌道尺寸參數(shù)得到的代數(shù)表達(dá)式,考慮了電流沿軌道表面分布的特性,可實現(xiàn)發(fā)射前期電感梯度和電樞電磁推力解析解的快速計算。

1.2 電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)

發(fā)射過程中,電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)影響著電流的動態(tài)分布,兩者作用機(jī)制不同,共同對電樞電磁推力產(chǎn)生影響。

僅考慮電流擴(kuò)散影響時,不同時刻軌道上的電流分布情況,如圖2所示。隨著時間的增長,電流會從軌道表面向內(nèi)部逐漸擴(kuò)散,且最大電流密度值在減小。

考慮電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)共同影響時,同一時刻不同電樞速度時軌道上的電流分布情況,如圖3所示。電樞在軌道內(nèi)高速滑動時,樞軌接觸面向后一段距離內(nèi)軌道上的電流趨向集中在軌道內(nèi)表面。電樞速度越高,電流集中程度越強(qiáng),且最大電流密度值會增大。

1.3 電樞控制方程

從不考慮速度趨膚效應(yīng)和考慮速度趨膚效應(yīng)兩個角度出發(fā),分析電磁軌道炮的電樞控制方程,并作如下基本假設(shè):

1)軌道與電樞接觸良好。

2)分析研究中不涉及溫度場,不考慮材料性能隨溫度的變化。

1.3.1 不考慮速度趨膚效應(yīng)的控制方程

為簡化計算,提高計算收斂性,研究者們對不考慮速度趨膚效應(yīng)的電磁軌道炮進(jìn)行了較為充分的研究,并得到大量研究成果。雖然其中一些結(jié)論產(chǎn)生于電樞靜止情況,研究結(jié)果僅反映電流擴(kuò)散的影響,但是仍然可以為電樞運動情況下電磁軌道炮的動態(tài)特性研究提供參考。

不考慮速度趨膚效應(yīng)時,聯(lián)立Maxwell方程組、本構(gòu)方程和A-φ位函數(shù),得到電樞區(qū)域的三維瞬態(tài)電磁場控制方程

(3)

式中:A為矢量磁位;φ為標(biāo)量電位;μ為相對磁導(dǎo)率;σ為電導(dǎo)率。

進(jìn)一步,得到不考慮速度趨膚效應(yīng)的電樞電磁推力Fems為

(4)

式中:J為電流密度;B為磁感應(yīng)強(qiáng)度。

基于式(4),經(jīng)有限元仿真得到的電樞電磁推力在下文中稱為不考慮速度趨膚效應(yīng)數(shù)值解。計算結(jié)果體現(xiàn)了電流擴(kuò)散的作用機(jī)制,未考慮速度趨膚效應(yīng)影響。

1.3.2 考慮速度趨膚效應(yīng)的控制方程

考慮速度趨膚效應(yīng)時,聯(lián)立此時的Maxwell方程組、本構(gòu)方程和A-φ位函數(shù),得到電樞區(qū)域的三維瞬態(tài)電磁場控制方程

(5)

進(jìn)一步,得到考慮速度趨膚效應(yīng)的電樞電磁推力Femm為

(6)

基于式(6),經(jīng)有限元仿真得到的電樞電磁推力在下文中稱為考慮速度趨膚效應(yīng)數(shù)值解,計算結(jié)果體現(xiàn)了電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)的共同作用。

1.3.3 電樞動力學(xué)方程

電樞速度通過動力學(xué)方程求得。考慮樞軌摩擦阻力Ff和空氣阻力Fair的影響,電樞所受合力F為

F=maa=Fem-Ff-Fair,

(7)

式中,Fem為Fems和Femm的統(tǒng)稱,且

(8)

式中:ma、a和x分別為電樞的質(zhì)量、加速度和位移;樞軌摩擦阻力Ff的大小與摩擦系數(shù)μf、電磁接觸壓力FN,em、機(jī)械預(yù)緊壓力FN,p有關(guān);空氣阻力Fair的大小與電樞運動參數(shù)和其氣動外形有關(guān);γ為空氣的比熱比;ρ0為初始空氣密度;S為電樞橫截面積;L為電樞截面周長;Cf為粘滯摩擦系數(shù)。

2 模型驗證

2.1 有限元模型搭建

以美國佛羅里達(dá)州實驗室公開的奧卡盧薩電樞測試發(fā)射裝置(Okaloosa Armature Tester, OAT)和試驗編號為SLK018的發(fā)射數(shù)據(jù)作為研究對象[21],樞軌模型參數(shù)如表1所示。

表1 樞軌模型參數(shù)

發(fā)射試驗使用的激勵電流,如圖4所示。根據(jù)模型參數(shù)、激勵電流和電樞控制方程,進(jìn)行材料屬性設(shè)定和網(wǎng)格剖分,并對“電流”“磁場”和“全局常微分和微分代數(shù)方程”等物理場進(jìn)行條件設(shè)置和方程修改,分別搭建起不考慮速度趨膚效應(yīng)和考慮速度趨膚效應(yīng)的電磁軌道炮有限元模型。

電樞動力學(xué)方程中相關(guān)參數(shù)取值如表2所示。其中:摩擦系數(shù)μf是動態(tài)變化的,發(fā)射過程中會急劇減小并趨于穩(wěn)定,為了簡化計算,假設(shè)其在整個發(fā)射過程保持恒值0.11[24];電磁接觸壓力FN,em通過電磁場實時計算得到。瞬態(tài)求解過程中,時間步長設(shè)定為0.001 ms,計算容差設(shè)定為0.01。

表2 電樞動力學(xué)方程參數(shù)取值

2.2 計算結(jié)果對比分析

將有限元仿真得到的不考慮速度趨膚效應(yīng)電樞速度、考慮速度趨膚效應(yīng)電樞速度,與發(fā)射裝置電樞速度試驗測量值對比,如圖5所示。試驗測量值為發(fā)射試驗測量數(shù)據(jù),電樞出口速度為247.0 m/s。不考慮速度趨膚效應(yīng)時仿真計算結(jié)果偏大,電樞出口速度為262.8 m/s,比試驗測量值大6.40%?？紤]速度趨膚效應(yīng)時仿真計算結(jié)果與試驗測量值具有較好的一致性,電樞出口速度仿真計算值為245.7 m/s,僅比試驗測量值247.0 m/s小0.53%。由此可見,速度趨膚效應(yīng)的影響不可忽略,為了減小計算誤差,仿真過程中應(yīng)將其考慮進(jìn)去。

由有限元仿真可得到考慮速度趨膚效應(yīng)時電樞電磁推力,根據(jù)電樞電磁推力和圖4的激勵電流數(shù)據(jù),經(jīng)式(1)計算可得到軌道電感梯度,如圖6所示。軌道電感梯度最大值出現(xiàn)在0.4 ms時刻,為0.461 μH/m,隨后逐漸減小至0.417 μH/m。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是:0.4 ms以前,電樞速度小,速度趨膚效應(yīng)不明顯,電流擴(kuò)散影響顯著,電流向軌道內(nèi)部擴(kuò)散,軌道電感梯度逐漸增加;隨著電樞速度的增大,速度趨膚效應(yīng)影響顯著,電流趨向集中在軌道表面,軌道電感梯度會減小。

3 電樞電磁推力特性分析

調(diào)整上述模型尺寸和激勵電流,進(jìn)一步定量分析電樞電磁推力的動態(tài)特性。

3.1 模型參數(shù)

將軌道尺寸更改為1 000 mm×30 mm×10 mm,電樞質(zhì)量設(shè)定為75 g,其他參數(shù)保持不變。為了便于觀察電磁推力動態(tài)特性,更改使用梯形激勵電流,如圖7所示。

3.2 軌道截面電磁場分布

根據(jù)調(diào)整后的模型參數(shù),分別搭建起梯形激勵電流下不考慮速度趨膚效應(yīng)和考慮速度趨膚效應(yīng)的電磁軌道炮有限元模型。瞬態(tài)求解過程中,時間步長設(shè)定為0.002 5 ms,計算容差設(shè)定為0.01。數(shù)值模擬得到不同時刻距電樞尾部5 mm處上軌道截面的電磁場分布,其中觀察視角如圖8所示。

不考慮速度趨膚效應(yīng)模型軌道截面的電流和磁場分布,如圖9、10所示。軌道截面的電流和磁場首先主要分布在軌道表面,隨時間增長而逐漸向內(nèi)部擴(kuò)散,且電流的動態(tài)變化更加明顯。

考慮速度趨膚效應(yīng)模型軌道截面的電流和磁場分布,如圖11、12所示。速度趨膚效應(yīng)對電流分布的影響顯著,隨時間和速度的增加,與不考慮速度趨膚效應(yīng)模型相比,速度趨膚效應(yīng)模型的電流趨向集中于軌道表面,分布更不均勻。磁場的變化趨勢與不考慮速度趨膚效應(yīng)模型一致,均逐漸向軌道內(nèi)部擴(kuò)散。

3.3 電樞電磁推力定量研究

電樞的電磁推力解析解、數(shù)值解和電樞速度,如圖13所示。

解析解基于式(1)、(2)得到,是發(fā)射前期考慮電流在軌道表面分布時,基于Kerrisk軌道電感梯度的解析計算結(jié)果;不考慮速度趨膚效應(yīng)數(shù)值解基于式(4)經(jīng)有限元仿真得到,電流動態(tài)分布受電流擴(kuò)散影響;考慮速度趨膚效應(yīng)數(shù)值解基于式(6)經(jīng)有限元仿真得到,電流動態(tài)分布受電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)共同影響。電樞速度基于電樞動力學(xué)方程得到,反映電樞的實時運動情況。解析解在發(fā)射前期與數(shù)值解吻合較好,滿足對電樞電磁推力的快速計算需求。兩條數(shù)值解曲線中,考慮速度趨膚效應(yīng)數(shù)值解始終小于不考慮速度趨膚效應(yīng)數(shù)值解,體現(xiàn)了速度趨膚效應(yīng)對電樞電磁推力的削弱作用。電流恒定階段,不考慮速度趨膚效應(yīng)數(shù)值解逐漸增大,體現(xiàn)了電流擴(kuò)散對電樞電磁推力的增強(qiáng)作用。

電流恒定階段(0.5—2.0 ms),以0.3 ms為間隔,從圖13的兩條數(shù)值解曲線中提取出12個電樞電磁推力具體數(shù)值;并以圖13中2.0 ms時刻不考慮速度趨膚效應(yīng)的電樞電磁推力為基準(zhǔn),將其他11個計算數(shù)值除以此值,轉(zhuǎn)換得到電樞電磁推力百分比數(shù)值,如表3所示。

表3 電樞電磁推力百分比數(shù)值

0.5 ms時刻速度趨膚效應(yīng)對電樞電磁推力的影響較小,兩模型的電樞電磁推力百分比差值為1.89%。隨時間和速度增加,電樞電磁推力受電流擴(kuò)散增強(qiáng)作用和速度趨膚效應(yīng)削弱作用均在變大。由于電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)作用機(jī)制的差異性,電樞電磁推力百分比差值逐漸增大至18.56%。兩曲線每0.3 ms的變化率均在降低并趨于穩(wěn)定:不考慮速度趨膚效應(yīng)曲線由2.40%降低至0.10%;考慮速度趨膚效應(yīng)曲線由6.23%降低至0.08%。

3.4 恒定速度下電樞電磁推力特性分析

禁用有限元仿真分析軟件中計算電樞速度的“全局常微分和微分代數(shù)方程”物理場。直接在“電流”和“磁場”物理場方程中將電樞速度設(shè)定為固定值,進(jìn)一步研究不同恒定速度下電樞電磁推力的動態(tài)特性。電樞速度分別為100、200、300、400、500和600 m/s時,考慮速度趨膚效應(yīng)模型的電樞電磁推力計算結(jié)果,如圖14所示。

受電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)影響,各電樞電磁推力曲線在電流恒定階段均逐漸減小;恒定速度越大,電樞電磁推力受速度趨膚效應(yīng)阻礙作用越強(qiáng),曲線數(shù)值越小。隨著速度增大,曲線間差距在減小,說明速度對電樞電磁推力的邊際效應(yīng)是遞減的。400、500和600 m/s三條曲線基本重合,即400 m/s時電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)對電樞電磁推力的作用效果基本穩(wěn)定,之后不再隨速度的增長而變化。因此,400 m/s是筆者建立考慮速度趨膚效應(yīng)有限元模型中影響電樞電磁推力的最大速度值。

4 結(jié)論

筆者從不同因素影響出發(fā),對電磁軌道炮的電樞電磁推力特性進(jìn)行了系統(tǒng)分析,并通過計算實例檢驗了有限元模型計算性能,具體結(jié)論如下:

1)基于Kerrisk軌道電感梯度的解析計算方法,可實現(xiàn)發(fā)射前期電樞電磁推力的快速計算。電流恒定階段,不同仿真模型計算結(jié)果存在差異性:不考慮速度趨膚效應(yīng)模型受電流擴(kuò)散影響,電樞電磁推力逐漸增大;考慮速度趨膚效應(yīng)模型受電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)共同影響,電樞電磁推力會減小。兩種仿真模型計算結(jié)果的最大差值為18.56%。

2)建立考慮速度趨膚效應(yīng)和阻力影響的有限元模型,電樞出口速度仿真計算值與計算實例中試驗測量值僅相差0.53%。

3)隨時間和速度增加,電流擴(kuò)散和速度趨膚效應(yīng)對電樞電磁推力的作用效果逐漸趨于穩(wěn)定。400 m/s是模型中影響電樞電磁推力的最大速度值。