彭 斌, 陶耀輝, 劉慧鑫

(蘭州理工大學 機電工程學院, 甘肅 蘭州 730050)

渦旋壓縮機作為先進容積式壓縮機,具有運行平穩(wěn)、低振微噪、節(jié)能高效等諸多優(yōu)點,因而被廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)療等需要壓縮空氣的領(lǐng)域.相較于等截面壓縮機,變截面渦旋壓縮機在壓縮比和氣體泄漏量方面都更為優(yōu)秀,因而常常成為研究的熱點.渦旋盤作為渦旋壓縮機的核心零部件,其型線的優(yōu)化設(shè)計便成為了其中的研究重點.

Shaffer等[1]基于控制體積法建立了變壁厚渦旋壓縮機的幾何模型.Liu等[2]運用有限元分析法對變徑基圓漸開線渦旋齒進行了優(yōu)化.彭斌等[3]建立了由圓漸開線、高次曲線、圓弧組合而成的變截面渦旋型線,構(gòu)建了整體數(shù)學模型并進行了實驗研究.侯才生等[4]基于Frenet標架建立了由圓漸開線和三次曲線構(gòu)成的變截面渦旋型線,并在幾何性能和動力性能方面與等截面渦旋型線進行了比較.張朋成等[5]利用不同極徑的代數(shù)螺線生成了變截面渦旋齒,并與圓漸開線渦旋模型作了定量對比.李雪琴等[6]提出了非對稱變壁厚渦旋齒結(jié)構(gòu),并在應(yīng)力和變形方面與對稱變壁厚渦旋齒進行了對比.Cavazzini等[7]利用PSO算法對渦旋壓縮機的效率進行了優(yōu)化研究.彭斌等[8]采用多目標遺傳算法對雙圓弧修正和雙圓弧加直線修正中各參數(shù)不同組合的選取進行了優(yōu)化.劉濤等[9]利用NSGA-Ⅱ算法對變截面渦旋盤幾何性能和力學性能進行了綜合優(yōu)化.彭斌等[10]對變壁厚渦旋膨脹機的型線參數(shù)做了深入研究.張賢明等[11]結(jié)合NSGA-Ⅱ算法對渦旋壓縮機動靜渦旋齒受到的氣體力、力矩和能效比進行了多目標優(yōu)化設(shè)計,有效提高了渦旋壓縮機的性能.

綜上所述,對變截面渦旋壓縮機研究主要集中于渦旋型線的設(shè)計和數(shù)學模型的建立等方面,而在型線參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計方面研究較少.本文引入Ⅲ(圓漸開線-圓漸開線-圓漸開線)變截面渦旋齒的型線面積、占積比和行程容積模型,利用控制變量法研究Ⅲ變截面渦旋齒的型線參數(shù)對型線面積、占積比和行程容積的影響,并利用NSGA-Ⅱ算法進行多目標優(yōu)化設(shè)計,研究結(jié)果可為Ⅲ變截面渦旋齒的設(shè)計提供一定參考.

1 型線母線的建立

組合型線母線由3段圓漸開線組成,其中,第1段和第3段圓漸開線的基圓半徑相同,第2段圓漸開線的基圓半徑要比其他2段的基圓半徑大.漸開線母線方程如下:

第1段圓漸開線母線方程為

(1)

第2段圓漸開線母線方程為

(2)

第3段圓漸開線母線方程為

(3)

為保證型線的連續(xù)性和光滑性,曲率半徑需滿足的條件為

式中:φ1為第1段圓漸開線最大展角;φ2為第2段圓漸開線最大展角;φe為漸開線終端展角;a為第1段和第3段圓漸開線基圓半徑;a1為第2段圓漸開線基圓半徑,且a

利用法向等距線法[12]由母線生成Ⅲ變截面渦旋齒,并對變截面渦旋齒齒頭進行雙圓弧修正,得到修正后的變截面渦旋齒如圖1所示.

圖1 Ⅲ變截面渦旋齒Fig.1 Ⅲ variable wall thickness scroll tooth

2 數(shù)學模型的建立

2.1 型線面積

渦旋齒的型線面積由渦旋齒外壁型線與基圓所圍面積減去內(nèi)壁型線與基圓所圍面積而得,內(nèi)、外壁型線如圖2所示.

圖2 渦旋齒內(nèi)、外壁型線Fig.2 Inner and outer profile of scroll tooth

圓漸開線面積增量為

(7)

其中,

(8)

dL=ldφ=a(t-α)dφ

(9)

式中:α為漸開線發(fā)生角;t為漸開線結(jié)束角.

則面積增量為

(10)

渦旋齒齒頭采用雙圓弧修正,雙圓弧修正面積為

(11)

式中:Rd為修正大圓弧半徑;Rx為修正小圓弧半徑;γ為修正角;θ為主軸轉(zhuǎn)角.

由此可得,Ⅲ變截面內(nèi)、外壁型線與基圓所圍面積和渦旋齒型線面積So、Si、S分別為

式中:So1、So2、So3分別為渦旋齒外壁的第1段、第2段、第3段圓漸開線與基圓所圍面積;Si1、Si2、Si3分別為渦旋齒內(nèi)壁的第1段、第2段、第3段圓漸開線與基圓所圍面積.

2.2 占積比

渦旋型線占積比是渦旋齒的型線面積占渦旋盤總面積的比值.在渦旋盤盤徑一定的條件下,型線面積越小占積比就越小,渦旋盤的有效容積就越大,同時材料利用率就越高.Ⅲ變截面渦旋齒的占積比Z為

Z=S/Sp

(15)

式中:Sp為渦旋盤總面積,即

Sp=πR2

(16)

式中:R為渦旋盤半徑,即

(17)

式中:Ror為渦旋盤回轉(zhuǎn)半徑.

2.3 行程容積

當主軸轉(zhuǎn)角θ=0時,渦旋盤壓縮腔閉合,最外圈壓縮腔的容積為行程容積.

最外圈壓縮腔母線長度為

(18)

式中:x′2和y′2為式(2)的一階導(dǎo)數(shù);x′3和y′3為式(3)的一階導(dǎo)數(shù).

最外圈單個壓縮腔面積為

A3(θ)=2Ror[L3+Rt(φe-2π)-Rt(φe)]

(19)

式中:Rt為漸開線展角處對應(yīng)基圓半徑.

行程容積為

V3(0)=2A3(0)h

(20)

式中:h為渦旋齒齒高.

3 型線參數(shù)對數(shù)學模型的影響

由式(14,15,20)可知,Ⅲ變截面渦旋齒的型線面積、占積比和行程容積都與基圓半徑a、漸開線發(fā)生角α、漸開線展角φ1、φ2和終端展角φe有關(guān).

3.1 基圓半徑對型線面積和占積比的影響

基圓半徑a對型線面積和占積比的影響如圖3所示.由圖3a可以看出,當基圓半徑a從1 mm增加到3 mm時,變截面渦旋齒型線面積和圓漸開線渦旋齒型線面積都是逐漸增加的,且變截面渦旋齒的型線面積明顯大于圓漸開線渦旋齒的,而圓漸開線渦旋齒型線面積的增加速率明顯大于變截面渦旋齒的.

由圖3b可以看出,基圓半徑a對變截面渦旋齒占積比的影響與對型線面積的影響正好相反,變截面渦旋齒占積比隨a的增加逐漸減小,而圓漸開線渦旋齒占積比不隨a的增加而改變.這是因為當a改變時,圓漸開線渦旋盤總面積的變化速率與型線面積的變化速率相同,而變截面渦旋盤總面積的變化速率大于型線面積的變化速率,從而導(dǎo)致變截面渦旋盤的占積比逐漸減小,圓漸開線渦旋盤占積比不變.當基圓半徑a增加到2.62 mm時,變截面渦旋盤的占積比與圓漸開線渦旋盤的占積比相同.

圖3 基圓半徑對型線面積和占積比的影響

因此,在設(shè)計Ⅲ變截面渦旋盤時,若考慮基圓半徑對占積比的影響,可以在滿足a

3.2 終端展角對型線面積和占積比的影響

終端展角φe對型線面積和占積比的影響如圖4所示.由圖4a可以看出,當終端展角φe從17.28 rad增加到20.42 rad時,變截面渦旋齒和圓漸開線渦旋齒的型線面積近似為線性增加,其中,變截面渦旋齒型線面積的增加速率較大.

由圖4b可以看出,終端展角φe對變截面渦旋齒和圓漸開線渦旋齒占積比的影響完全相反,變截面渦旋齒占積比隨φe逐漸減小,而圓漸開線渦旋齒占積比隨φe逐漸增大.這是因為變截面渦旋盤總面積隨φe的變化速率大于渦旋齒型線面積隨φe的變化速率,從而導(dǎo)致型線面積增加的同時渦旋盤總面積增加得更快;而圓漸開線渦旋齒型線面積隨φe的變化速率大于渦旋盤總面積隨φe的變化速率,從而導(dǎo)致渦旋齒型線面積和渦旋盤總面積都增加的同時占積比也在增大.

圖4 終端展角對型線面積和占積比的影響

因此,在設(shè)計Ⅲ變截面渦旋盤時,若考慮終端展角對占積比的影響,可以在滿足相關(guān)設(shè)計要求的同時選擇較小的終端展角,使得Ⅲ變截面渦旋盤的占積比較小.

3.3 漸開線展角對型線面積和占積比的影響

漸開線展角φ1、φ2對變截面渦旋齒型線面積和占積比的影響分別如圖5和圖6所示.可以看出,型線面積和占積比隨φ1的增加而減小,隨φ2的增加而增大.

圖5 漸開線展角φ1對型線面積和占積比的影響Fig.5 Influence of involute spread angle φ1 on profile area and occupancy ratio

圖6 漸開線展角φ2對型線面積和占積比的影響Fig.6 Influence of involute spread angle φ2 on profile area and occupancy ratio

因此,在設(shè)計Ⅲ變截面渦旋盤時,若考慮漸開線展角對占積比的影響,可以在滿足渦旋盤設(shè)計要求的同時選取較大的φ1和較小的φ2,使得Ⅲ變截面渦旋盤的占積比較小.

3.4 發(fā)生角對型線面積和占積比的影響

發(fā)生角與型線面積和占積比的關(guān)系如圖7所示.可以看出,當發(fā)生角從0.34 rad增加到1.13 rad時,發(fā)生角與型線面積和占積比都呈正相關(guān).同時,對比圖5和圖6可以看出,發(fā)生角對占積比的影響非常顯著.因此,通過改變發(fā)生角的大小可以有效改善渦旋盤的占積比.

圖7 發(fā)生角對型線面積和占積比的影響Fig.7 Influence of occurrence angle on profile area and occupancy ratio

3.5 基圓半徑和發(fā)生角對行程容積的影響

基圓半徑和發(fā)生角對的變截面渦旋盤行程容積的影響如圖8和圖9所示.可以看出,基圓半徑和發(fā)生角對行程容積的影響完全相反,行程容積隨基圓半徑的增加而增大,隨發(fā)生角的增加而減小.因此,可以通過對基圓半徑和發(fā)生角的優(yōu)化尋求行程容積的最優(yōu)解集.

圖8 基圓半徑對行程容積的影響Fig.8 Influence of base circle radius on suction volume

圖9 發(fā)生角對行程容積的影響

4 NSGA-Ⅱ算法的優(yōu)化

NSGA-Ⅱ算法是以遺傳算法為基礎(chǔ)并通過Pareto最優(yōu)概念得到具有精英策略的快速非支配排序遺傳算法.首先,NSGA-Ⅱ算法通過隨機產(chǎn)生的初始種群,經(jīng)過非支配排序后進行選擇、交叉、變異的操作生成第1代子種群.然后,將父代種群與子代種群合并為新種群,并通過快速非支配排序、計算擁擠度、精英策略等操作生成新的父代種群.最后,通過對生成的父代種群進行選擇、交叉、變異的操作生成新的子代種群.以此類推,直到算法滿足最大進化代數(shù),得到Pareto最優(yōu)解集.

4.1 優(yōu)化目標、優(yōu)化變量和約束條件的確定

本文引入Ⅲ變截面渦旋齒的占積比和行程容積作為渦旋盤幾何性能的評估對象,從而將占積比和行程容積確定為優(yōu)化目標.由于優(yōu)化目標有多個型線參數(shù)共同影響,所以優(yōu)化變量選擇了相互獨立且對變截面渦旋盤性能影響相反的型線參數(shù),即基圓半徑a和發(fā)生角α.由占積比和行程容積的定義可以確定約束條件為V3(0)>0和0

4.2 單初始參數(shù)的優(yōu)化

4.2.1基圓半徑的優(yōu)化

由圖3和圖8可以看出,Ⅲ變截面渦旋齒的占積比隨基圓半徑的增加而減小,行程容積隨基圓半徑的增加而增大.兩優(yōu)化目標隨優(yōu)化變量的變化趨勢相反,即兩優(yōu)化目標無法同時取得極值.因此,考慮對其進行多目標單初始參數(shù)優(yōu)化,取得基圓半徑的Pareto最優(yōu)解集.

圖10是對占積比和行程容積通過NSGA-Ⅱ算法進行單初始參數(shù)優(yōu)化的結(jié)果.可以看出,兩優(yōu)化目標隨優(yōu)化變量的改變呈相反的變化趨勢,這對應(yīng)于基圓半徑與占積比和行程容積的關(guān)系,證明了優(yōu)化結(jié)果的合理性.選取部分Pareto最優(yōu)解集,如表1所列.由上文可知,隨著基圓半徑的改變,兩優(yōu)化目標的取值不能同時達到最優(yōu),而表1中基圓半徑的取值是經(jīng)過NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化后并且考慮了占積比和行程容積取值的Pareto最優(yōu)解.

圖10 優(yōu)化基圓半徑Fig.10 Optimize the base circle radius

表1 基圓半徑的Pareto解集

4.2.2發(fā)生角的優(yōu)化

同理,由于發(fā)生角對占積比和行程容積的影響是相反的,所以利用NSGA-Ⅱ算法對發(fā)生角也進行多目標單初始參數(shù)優(yōu)化,結(jié)果如圖11所示,Pareto解集如表2所列.

圖11 優(yōu)化發(fā)生角Fig.11 Optimize occurrence angle

4.3 多初始參數(shù)的優(yōu)化

由于基圓半徑和發(fā)生角對變截面渦旋齒占積比和行程容積的影響都是相反的,所以利用NSGA-Ⅱ算法進行多目標多初始參數(shù)優(yōu)化,得到相關(guān)型線參數(shù)的Pareto最優(yōu)解集.

圖12是對占積比和行程容積通過NSGA-Ⅱ算法進行多初始參數(shù)優(yōu)化的結(jié)果.可以看出,相比單初始參數(shù)優(yōu)化,經(jīng)多初始參數(shù)優(yōu)化后占積比和行程容積的取值范圍更大.因此,通過多初始參數(shù)優(yōu)化可以選取更好的優(yōu)化參數(shù),從而生成變截面渦旋盤.

圖12 優(yōu)化基圓半徑和發(fā)生角Fig.12 Optimize base circle radius and occurrence angle

選取優(yōu)化后部分Pareto最優(yōu)解集,如表3所列.由上文可知,隨著基圓半徑和發(fā)生角的改變,兩優(yōu)化目標的取值不能同時達到最優(yōu),而表3中基圓半徑和發(fā)生角的取值是經(jīng)過NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化后并且考慮了占積比和行程容積取值的Pareto最優(yōu)解.

表3 基圓半徑和發(fā)生角的Pareto解集

5 渦旋盤對比

在多目標多初始參數(shù)優(yōu)化后的Pareto最優(yōu)解集中選取1組最優(yōu)解集,即a=1.717 8 mm和α=0.353 rad,生成優(yōu)化后的變截面渦旋盤如圖13所示.同時,將優(yōu)化后渦旋盤與優(yōu)化前渦旋盤的占積比、行程容積和開始排氣角處的軸向氣體力Fa進行對比,對比結(jié)果如表4所列.

由表4可以看出,優(yōu)化后渦旋盤在幾何性能方面有了明顯提高,優(yōu)化后渦旋盤行程容積提升了5.49%,占積比降低了23.81%.由此說明,通過NSGA-Ⅱ算法可以有效改善Ⅲ變截面渦旋盤的幾何性能.但是通過對比也可以發(fā)現(xiàn),優(yōu)化后渦旋盤在開始排氣角處的軸向氣體力增加了30.84%,對渦旋盤的力學性能不利.

圖13 優(yōu)化后渦旋齒Fig.13 The optimized scroll tooth

表4 渦旋盤對比

6 結(jié)論

本文建立了Ⅲ組合型線變截面渦旋齒型線面積、占積比和行程容積的數(shù)學模型,得到了漸開線發(fā)生角、基圓半徑、漸開線展角和終端展角隨數(shù)學模型的變化規(guī)律.可以發(fā)現(xiàn),與圓漸開線渦旋齒相比,Ⅲ變截面渦旋齒在型線面積和占積比方面性能較差.

結(jié)合占積比和行程容積,利用NSGA-Ⅱ算法對型線參數(shù)進行了優(yōu)化.結(jié)果表明,Ⅲ變截面渦旋齒的行程容積提升了5.49%,占積比降低了23.81%,軸向氣體力增加了30.84%,幾何性能提升的同時力學性能有所下降.因此,設(shè)計Ⅲ變截面渦旋齒時,在滿足力學性能要求的條件下,可以通過NSGA-Ⅱ算法優(yōu)化選取合適的型線參數(shù),從而提高渦旋齒的幾何性能.