柳春鋒，李崢，王居鳳

分布式工廠中微型制造單元多目標優(yōu)化

柳春鋒1，2*，李崢1，王居鳳3

（1.杭州電子科技大學(xué) 管理學(xué)院，杭州 310018； 2.杭州電子科技大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與智能決策實驗中心，杭州 310018； 3.中國計量大學(xué) 理學(xué)院，杭州 310018）（?通信作者電子郵箱lcf_spring@163.com）

由于各地區(qū)存在資源稟賦和產(chǎn)業(yè)政策差異，分布式生產(chǎn)對提升制造企業(yè)競爭力的作用非常重要，如何利用分布式生產(chǎn)增強大規(guī)模定制的柔性是提振消費信心需要解決的重要問題。結(jié)合微型制造單元的思想，在多市場多類型產(chǎn)品的分布式混流生產(chǎn)情景下，以最小化人工和轉(zhuǎn)運等運營成本以及最大完工時間為目標，提出分布式工廠構(gòu)建和生產(chǎn)調(diào)度集成模型，以求解微型單元構(gòu)建、工人和機器配置和各批次產(chǎn)品的生產(chǎn)策略。所提模型能幫助企業(yè)實現(xiàn)產(chǎn)能快速釋放和合理混流生產(chǎn)，從而實現(xiàn)滿足多區(qū)域、多產(chǎn)品和差異化需求的分布式制造與銷售，并在確保產(chǎn)量的同時降低制造過程中的運營成本。此外，設(shè)計多目標粒子群優(yōu)化（MOPSO）算法求解模型，并將它與非支配排序遺傳算法Ⅱ（NSGA?Ⅱ）和多目標模擬退火（MOSA）算法進行比較。大規(guī)模數(shù)值實驗的結(jié)果表明，在相同的運行時間內(nèi)，MOPSO算法在解集支配覆蓋率（CM）、平均理想距離（MID）和最大分散度（MS）這3個指標上均優(yōu)于NSGA?Ⅱ和MOSA算法。所提算法可以為微型化分布式生產(chǎn)系統(tǒng)提供高質(zhì)量的生產(chǎn)運作決策方案。

微型制造單元；分布式制造；生產(chǎn)調(diào)度；多目標優(yōu)化；粒子群優(yōu)化算法

0 引言

分布式生產(chǎn)指多家工廠（車間）同時參與生產(chǎn)制造，已經(jīng)應(yīng)用于鋼鐵、食品和化工等領(lǐng)域，也受到越來越多學(xué)者的關(guān)注。多地建設(shè)工廠有效利用各地區(qū)位、人力和政策等優(yōu)勢，對于企業(yè)在激烈市場競爭中降本增效至關(guān)重要。近年來許多研究者聚焦分布式生產(chǎn)問題。在傳統(tǒng)的調(diào)度問題中，一般只考慮工廠內(nèi)機器之間的作業(yè)分配和機器上的作業(yè)順序；而在分布式生產(chǎn)調(diào)度問題中，必須額外確定各個工廠之間的作業(yè)分配。Fu等［1］總結(jié)了近年來學(xué)者對分布式生產(chǎn)調(diào)度的相關(guān)研究，發(fā)現(xiàn)以往研究集中在同質(zhì)化工廠之間的調(diào)度，異構(gòu)工廠間調(diào)度應(yīng)為今后研究方向。Chaouch等［2］提出了一種新的工廠動態(tài)分配方法和一種結(jié)合局部搜索的混合蟻群優(yōu)化算法，以解決具有制造時間準則的分布式作業(yè)車間調(diào)度問題，并通過大規(guī)模數(shù)值實驗，與其他算法的對比結(jié)果證明了所提算法的有效性。Xu等［3］提出了一個仿真平臺，該平臺支持在分布式工廠之間集成各種硬件和軟件組件，例如制造設(shè)備、基于物理的過程模擬器、系統(tǒng)動態(tài)、基于代理和離散事件模擬器，它們通過模擬飛機機翼車間裝配，證明模擬集成模型的有效性。

傳統(tǒng)制造系統(tǒng)中的制造單元相對固定，無法快速調(diào)整適應(yīng)市場變動，因而一些學(xué)者提出微型制造單元的構(gòu)想，設(shè)計了更加靈活的結(jié)構(gòu)適應(yīng)高度波動的多產(chǎn)品需求。Mohammadi等［4］基于大規(guī)模定制產(chǎn)品提出了微型單元制造，即根據(jù)產(chǎn)品功能選項對應(yīng)微型生產(chǎn)單元，將單元采用S型布局，以最小化總材料處理成本、最大化機器之間的總相似性為目標，提出了一種歸一化加權(quán)方法統(tǒng)一這些目標函數(shù)，驗證了微型制造單元可以有效地降低成本。Alhawari等［5］提出分層制造單元構(gòu)建模型，相較于傳統(tǒng)單元制造能取得更好效果，在3種需求模式下，以預(yù)期利潤最大化為目標，證明了分層單元制造系統(tǒng)構(gòu)建模型的優(yōu)勢。Sara?o?lu等［6］提出一種多階段單元制造模型，該模型集成了微型單元構(gòu)建和流水線調(diào)度問題，并以一家鞋類制造廠為例，將制造過程分為3個階段，即持久單元、旋轉(zhuǎn)注塑單元、精整包裝單元，通過模型得到生產(chǎn)效率最大化的單元構(gòu)建和生產(chǎn)調(diào)度方案。

優(yōu)化問題通常存在多個優(yōu)化目標，且目標之間相互影響，甚至相互沖突，這種問題或存在多種可能的解決方案。對于多目標優(yōu)化，一般有聚合［4］、字典排序、亞群、帕累托最優(yōu)和混合應(yīng)用等方法，其中帕累托最優(yōu)是應(yīng)用最廣泛的方法。Kaur等［7］提出一種多目標細菌覓食算法，引入優(yōu)勢和非優(yōu)勢前沿面和自適應(yīng)步長，加速迭代搜索尋優(yōu)過程，解決多目標調(diào)度問題。Yin等［8］建立了一個多目標拆解線平衡模型，同時最小化工作站數(shù)量、總拆卸時間、怠速平衡指標和拆卸工具的數(shù)量，提出了一種帕累托離散蜂鳥算法。Ayyoubzadeh等［9］研究了車間調(diào)度問題，以最小化剩余能源消耗的稅收成本和最小化基于軟時間窗的工作延誤總成本為目標函數(shù)，開發(fā)了一個雙目標數(shù)學(xué)模型表述該問題，并引入了一種改進型非支配遺傳算法Ⅱ（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ， NSGA-Ⅱ）。Zhang等［10］提出一種改進的人工蜂群算法以同時優(yōu)化生產(chǎn)線平衡和工件排產(chǎn)，驗證動態(tài)節(jié)拍時間的合理性，同時在多個維度上將該算法與多目標粒子群和多目標遺傳算法比較，驗證所提算法的優(yōu)越性。

可見，以往研究將分布式生產(chǎn)作為傳統(tǒng)車間調(diào)度的延伸，著眼于多工廠調(diào)度或供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)，對制造單元微型化的研究主要側(cè)重單元布局角度。本文在多市場場景下提出了分布式工廠中微型單元構(gòu)建和調(diào)度的集成模型，結(jié)合了分布式生產(chǎn)的穩(wěn)定性和微型制造單元的靈活性，可以更加柔性地實施大規(guī)模定制產(chǎn)品，從而滿足快速變動的市場。同時，設(shè)計了多目標粒子群優(yōu)化（Multi-Objective Particle Swarm Optimization， MOPSO）算法，改進了傳統(tǒng)多目標粒子群算法，將決策變量在多個維度的變異對應(yīng)為粒子在相應(yīng)方向的移動，粒子群以一定概率向種群最優(yōu)和個體最優(yōu)方向移動并快速迭代，這種尋優(yōu)方式具有較好的收斂和穩(wěn)定特性。

本文的主要工作如下：

1）通過將制造過程劃分為多個階段，對每個階段靈活組合多平行機構(gòu)建微型單元，從而消除生產(chǎn)瓶頸，實現(xiàn)產(chǎn)能快速釋放，提高生產(chǎn)效率。

2）將多地區(qū)產(chǎn)品需求和資源稟賦差異融入生產(chǎn)制造場景中，使分布式生產(chǎn)的優(yōu)化更具有全局性。

3）MOPSO算法的個體編碼能有效表征高維度的復(fù)雜決策變量，有利于求解最優(yōu)資源配置和生產(chǎn)策略。

1 問題描述與假設(shè)

現(xiàn)階段消費者對個性化的需求日益增加，對制造企業(yè)靈活性、敏捷性的要求越來越高。隨著人工智能的發(fā)展，大規(guī)模分布式生產(chǎn)受到越來越廣泛的關(guān)注。

一方面，傳統(tǒng)制造單元大部分依據(jù)產(chǎn)品制造全流程形成，隨著產(chǎn)品更加多元，制造單元亟須提升靈活性以適應(yīng)生產(chǎn)需要。傳統(tǒng)制造單元導(dǎo)致加工等待時間長，需要將加工過程合理劃分為多階段加工，將機器分階段組合為微型制造單元，以靈活適應(yīng)需求變化；同時，生產(chǎn)單元需要合理配置平行機，以提升生產(chǎn)線平衡率，適應(yīng)小批量生產(chǎn)，提高生產(chǎn)效率。另一方面，分布式生產(chǎn)對于制造企業(yè)應(yīng)對風(fēng)險、保障市場競爭力至關(guān)重要。企業(yè)在多地區(qū)建廠也存在人力和轉(zhuǎn)運等成本的差異，需要通過合理決策提升制造企業(yè)的穩(wěn)定性和適應(yīng)性。因此，本文的優(yōu)化問題將微型單元和分布式生產(chǎn)結(jié)合，形成一個集成模型解決多平行機的微型制造單元構(gòu)建、分布式生產(chǎn)工廠構(gòu)建和生產(chǎn)調(diào)度問題。此問題基于以下假設(shè)：

1）區(qū)域。已知區(qū)域數(shù)、區(qū)域中包含的產(chǎn)品需求來源、加工工廠、加工所需人力和機器等資源。不同區(qū)域?qū)Σ煌愋彤a(chǎn)品需求量存在差異，不同區(qū)域間距不同，勞動力雇傭成本各不相同。同一區(qū)域內(nèi)的運輸時間遠小于任意產(chǎn)品單階段加工時間，所以運輸時間和成本可忽略不計。

2）工廠。工廠可能分布于不同區(qū)域，工廠在不同區(qū)域的建廠成本可能不同，最大建廠可用面積因地制宜。各區(qū)域建廠數(shù)存在上限，工廠的產(chǎn)品可以銷往本地或外地區(qū)域。

3）機器。機器類型數(shù)已知，每種類型機器僅對應(yīng)一道加工工序，每種類型產(chǎn)品的機器加工時間可能不同。不考慮機器啟動或故障等影響生產(chǎn)進度因素。

4）產(chǎn)品。已知產(chǎn)品類型數(shù)和各類型產(chǎn)品的需求量。各類型產(chǎn)品的需求量遠大于各類型平行機數(shù)。

5）工序。各類型產(chǎn)品的加工包含若干道工序，其中每道工序需要相應(yīng)的機器類型加工；如果某類型機器存在多臺平行機，則將相應(yīng)產(chǎn)品平均分配至平行機加工。每個產(chǎn)品的每道工序的處理一旦開始就不能中斷。兩臺不同機器之間的產(chǎn)品安裝和卸載時間遠小于處理時間，可以忽略不計。

6）批次。各種類型產(chǎn)品中每批次數(shù)相同，且僅與產(chǎn)品類型相關(guān)。批次數(shù)不超過任意區(qū)域需求。產(chǎn)品按批次生產(chǎn)運輸，當(dāng)產(chǎn)品需求量不足一個批次，按照一個批次計算。

7）生產(chǎn)階段。生產(chǎn)工序依據(jù)實踐經(jīng)驗可劃分為多個生產(chǎn)階段，每階段至少包含一種機器類型。各產(chǎn)品類型各批次的各生產(chǎn)階段任務(wù)應(yīng)在某個微型單元處理。

8）微型制造單元。每個微型單元僅可完成某一個生產(chǎn)階段的產(chǎn)品加工，配置該階段所有機器類型一臺，如果配置多臺平行機，平行機數(shù)不超出上限。

9）工人。工人包含多種技能水平，不同技能水平的工人擁有不同的加工速度。技能水平及區(qū)域位置決定著雇傭成本。要求一臺機器由一位工人操作。

2 模型建立

2.1　參數(shù)介紹

1）輸入變量。

2）決策變量。

目前宏濟堂中醫(yī)藥文化產(chǎn)業(yè)園區(qū)已建成多條不同主題的游覽線路以適合不同群體的需求，旅游配套設(shè)施不完善是園區(qū)的短板，逐漸設(shè)置明確的路標、導(dǎo)覽圖、標示牌、景物介紹牌、安全提示牌等標識。園區(qū)內(nèi)設(shè)有多輛觀光游覽車、擺渡車等，主題展區(qū)均配備充足的廁所，男女廁位比例合理。特色旅游商品主要有阿膠、阿膠棗、阿膠山楂、阿膠速溶粉、雪梨膏等企業(yè)自有產(chǎn)品。園區(qū)內(nèi)雖然有高中低不同檔次的餐廳，但與員工、游客期望的差距依然巨大，調(diào)查問卷對應(yīng)得分是2.72和3.56，均為所有項目中的最低分。

3）中間變量。

2.2　數(shù)學(xué)模型

s.t.

目標函數(shù)式（1）表示最大完工時間，其中包含不同階段制造單元間轉(zhuǎn)運時間以及生產(chǎn)完工后到達需求所在區(qū)域的運輸時間。

目標函數(shù)式（2）表示運營成本，包含以下四項：第一項為固定投資成本，是不同地域工廠數(shù)、工廠面積與單位面積固定成本的乘積；第二項為機器成本，是每種類型機器價格與所有微型單元中數(shù)和的乘積；第三項為人工成本，是不同區(qū)域中不同技能水平工人數(shù)與該區(qū)域中人工雇傭成本的乘積；第四項為轉(zhuǎn)運成本，包含不同階段制造單元間的轉(zhuǎn)運成本和生產(chǎn)完工后到達需求所在區(qū)域的轉(zhuǎn)運成本。

約束式（3）確保任意產(chǎn)品任意批次任意階段所在微型單元釋放資源的時刻等于該單元中更高優(yōu)先級任務(wù)的完成時間，優(yōu)先級最高的任務(wù)可直接開始加工；約束式（4）確保任意產(chǎn)品任意批次任意階段的任務(wù)抵達生產(chǎn)單元時間等于上一階段任務(wù)的完工時間與運輸時間之和，任意產(chǎn)品任意批次第一階段的任務(wù)可直接開始加工；約束式（5）確保任意產(chǎn)品任意批次任意階段任務(wù)的開始加工時間不早于微型單元資源釋放時間和該任務(wù)抵達時間；約束式（6）確保任意產(chǎn)品任意批次任意階段任務(wù)的完成時間等于它的開始時間與加工時間之和，其中加工時間為該批次產(chǎn)品數(shù)與該批次加工瓶頸時間的乘積，瓶頸時間為產(chǎn)品在該階段的工序的加工時長與機器數(shù)和工人效率系數(shù)乘積之比的最大值；約束式（7）確保任意微型單元中僅能加工某一個生產(chǎn)階段的任務(wù)；約束式（8）確保任意生產(chǎn)階段的任務(wù)至少配置一個可用微型單元；約束式（9）確保任意產(chǎn)品的任意批次在任意階段僅能分配至具備該階段生產(chǎn)能力的微型單元；約束式（10）確保任意產(chǎn)品任意批次僅將需要加工的生產(chǎn)階段分配至微型單元，且只能分配至某一個微型單元加工；約束式（11）確保任意微型單元至少加工一個批次產(chǎn)品；約束式（12）確保任意單元中所有產(chǎn)品所有批次需要排定優(yōu)先級；約束式（13）確保任意單元中所生產(chǎn)的任意產(chǎn)品的任意批次僅占一個優(yōu)先級；約束式（14）確保任意微型單元僅能分配至唯一工廠；約束式（15）確保任意產(chǎn)品的任意批次僅銷往某一區(qū)域；約束式（16）確保任意產(chǎn)品的任意區(qū)域的需求都被滿足；約束式（17）確保任意微型單元中任意類型機器上分配一種類型工人操作；約束式（18）確保任意微型單元處理某階段任務(wù)所需機器類型數(shù)不少于1且不超過平行機數(shù)上限；約束式（19）確保任意區(qū)域的任意工廠中所分配機器占地面積總和不得超過該工廠可使用面積；約束式（20）定義了決策變量類型。

3 本文算法

3.1　MOPSO算法

粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization， PSO）是一種應(yīng)用廣泛的智能優(yōu)化算法［10-12］，算法最初受到飛鳥集群活動規(guī)律性啟發(fā)，進而利用群體智能建立了一個簡化模型。粒子群算法在對動物集群活動行為觀察基礎(chǔ)上，利用群體中的個體對信息的共享，使整個群體的運動在問題求解空間中產(chǎn)生從無序到有序的演化過程，從而獲得最優(yōu)解。

經(jīng)典PSO算法常用于連續(xù)空間求解［13］，但本文模型中包含的7個決策變量均為多維度離散變量，同時模型的兩個優(yōu)化目標為時間和成本，屬性不同，使用傳統(tǒng)算法思路求解存在收斂慢、易陷入局部最優(yōu)解等諸多問題，因此決策變量編碼和尋優(yōu)路徑設(shè)計將直接決定求解效率和所求解的質(zhì)量。本文為構(gòu)建的多目標模型提出了離散型MOPSO算法。算法的群體中包含多個粒子（可行解），并標記群體和個體最優(yōu)方向（即決策變量），尋優(yōu)過程中每個粒子以一定的概率朝各個方向移動（即變異），并朝個體和群體最優(yōu)方向進行多次移動，將產(chǎn)生的粒子放入種群，通過快速非支配排序和擁擠度排序更新種群。

3.1.1粒子編碼

粒子采用7個多維解結(jié)構(gòu)的組合［14］，每個多維解結(jié)構(gòu)分別代表不同的決策變量。

結(jié)合以上七個部分，粒子（解決方案）的編碼如下所示：

3.1.2算法實施

MOPSO算法系數(shù)的選取綜合考慮算法運行時間、收斂速度、解的質(zhì)量等要素，系數(shù)均為多次實驗調(diào)試得到的較理想的值。MOPSO算法流程如下：

7） End for

11） End for

15） End for

18） End if

19） End for

24） End while

圖1　粒子變異

3.2　多目標優(yōu)化相關(guān)術(shù)語

1）多目標優(yōu)化基礎(chǔ)模型。

2）帕累托支配。

3）非支配解。

4）帕累托最優(yōu)解集。

5）帕累托前沿面。

4 實驗與結(jié)果分析

4.1　參數(shù)

本文通過算例實驗對比MOPSO、NSGA-Ⅱ［9，16］和多目標模擬退火（Multi-Objective Simulated Annealing， MOSA）算法［17］的性能。實驗在64位戴爾個人筆記本電腦上運行，時鐘脈沖頻率為1.8 GHz，RAM為6 GB。兩種算法均通過C++編寫，用Microsoft Visual C++ 8.0編譯器編譯，并在Microsoft Windows 7操作系統(tǒng)下測試。

實驗種群規(guī)模為50，變量取值情況見表1，其中部分參數(shù)是給定數(shù)值，部分參數(shù)在極值范圍內(nèi)隨機生成。通過實驗對比兩種算法性能差異，圖2顯示了相同運行時間內(nèi)兩種算法所得解集的帕累托前沿面，可以看出MOPSO算法前沿面明顯優(yōu)于NSGA-Ⅱ和MOSA算法。下文通過更加科學(xué)的指標統(tǒng)計，并通過大規(guī)模數(shù)值實驗進一步驗證算法性能。

4.2　多目標優(yōu)化解的評價

由于多目標優(yōu)化算法存在多維決策變量，本文將從收斂性和延展性［10］出發(fā)，通過兩種多目標優(yōu)化算法所得解集質(zhì)量驗證算法的優(yōu)劣，其中：收斂性通過兩種算法帕累托前沿面的覆蓋率進行比較，延展性根據(jù)最大分散度指標衡量。

4.2.1收斂性

4.2.2延展性

4.2.3綜合性指標

4.3　數(shù)值實驗

表2　MOPSO算法、NSGA-Ⅱ和MOSA算法在不同參數(shù)取值下的性能對比

5 結(jié)語

本文分析了多區(qū)域建設(shè)工廠滿足各區(qū)域的多類產(chǎn)品差異性需求的生產(chǎn)場景，研究了合理劃分加工過程、將機器組合為微型單元，并使它集成于分布式制造系統(tǒng)。以最小化人工和轉(zhuǎn)運等運營成本和最小化最大完工時間作為雙目標，提出了一個微型單元構(gòu)造和生產(chǎn)調(diào)度的集成模型，該模型可得出多區(qū)域的工廠中工人和機器配置以及各批次產(chǎn)品的生產(chǎn)策略。本文提出了MOPSO算法，種群中粒子能以一定的概率多次向個體歷史最優(yōu)值、種群最優(yōu)值學(xué)習(xí)，通過快速非支配排序和擁擠度排序不斷更新迭代，使得種群趨向最優(yōu)值。算例和大規(guī)模數(shù)值實驗結(jié)果顯示：MOPSO算法在3個評價指標（即解集支配覆蓋率、平均理想距離和最大分散度）上均優(yōu)于應(yīng)用廣泛的NSGA-Ⅱ和MOSA算法，可見MOPSO算法在處理高維多目標問題時，可快速收斂并具有更好的尋優(yōu)性能。未來可以進一步研究分布式微型制造單元系統(tǒng)的實時布局，為大規(guī)模個性化定制創(chuàng)造有利的技術(shù)條件。

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Multi-objective optimization of minicells in distributed factories

LIU Chunfeng1，2*， LI Zheng1， WANG Jufeng3

（1，，310018，；2，，310018，；3，，310018，）

Due to differences in resource endowments and industrial policies among different regions， the role of distributed production in improving the competitiveness of manufacturing enterprises is very important. How to use distributed production to enhance the flexibility of mass customization is an important problem to be solved to boost consumer confidence. Combined with the idea of minicells — small manufacturing cells， in the distributed mixed production scenario with the multi-market and multi-product characteristics， an integrated model of distributed factory construction and production scheduling was proposed with the objectives to minimize the operating costs （e.g.， labor and transportation costs） and minimize the makespan. By the proposed model， the minicell construction， worker and machine configuration， as well as production strategies for each batch of products were able to be solved. With the help of the proposed model， the enterprises were able to realize the quick release of production capacity and reasonable mixed flow production， so as to realize distributed manufacturing and sales that meet the multi-region， multi-product， and differentiated needs， and reduce the operating cost in the manufacturing process while guaranteeing the throughput. In addition， a Multi-Objective Particle Swarm Optimization （MOPSO） algorithm was designed to solve the proposed model， and was compared with Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ （NSGA-Ⅱ） and Multi-Objective Simulated Annealing （MOSA） algorithm. The results of extensive numerical experiments show that MOPSO algorithm outperforms NSGA-Ⅱ and MOSA algorithm with the same running time in terms of three metrics： C-Metric （CM）， Mean Ideal Distance （MID） and Maximum Spread （MS）. The proposed algorithm can provide a high-quality decision-making scheme of production operation for the miniaturized distributed production system.

minicell; distributed manufacturing; production scheduling; multi-objective optimization; Particle Swarm Optimization (PSO) algorithm

This work is partially supported by Foundation of Humanities and Social Sciences of Ministry of Education （21YJA630065）.

LIU Chunfeng， born in 1977， Ph. D.， professor. His research interests include production system optimization， intelligent optimization algorithm.

LI Zheng， born in 1995， M. S. candidate. His research interests include production system optimization， intelligent optimization algorithm.

WANG Jufeng， born in 1977， Ph. D.， associate professor. Her research interests include mathematical modeling， intelligent optimization algorithm.

TP30； F406.2

A

1001-9081（2023）12-3824-09

10.11772/j.issn.1001-9081.2022111772

2022?12?07；

2023?06?19；

2023?06?28。

教育部人文社會科學(xué)研究規(guī)劃基金資助項目（21YJA630065）。

柳春鋒（1977—），男，江蘇張家港人，教授，博士，主要研究方向：生產(chǎn)系統(tǒng)優(yōu)化、智能優(yōu)化算法；李崢（1995—），男，山西晉城人，碩士研究生，主要研究方向：生產(chǎn)系統(tǒng)優(yōu)化、智能優(yōu)化算法；王居鳳（1977—），女，江西樟樹人，副教授，博士，主要研究方向：數(shù)學(xué)建模、智能優(yōu)化算法。