2023年高考江蘇卷壓軸題“滾輪線運(yùn)動(dòng)”的研究

段石峰

(長沙市周南中學(xué),湖南 長沙 410201)

1 原題呈現(xiàn)

圖1 電子在復(fù)合場中運(yùn)動(dòng)

試題.(2023年高考江蘇卷第16題)霍爾推進(jìn)器某局部區(qū)域可抽象成如圖1所示的模型.Oxy平面內(nèi)存在豎直向下的勻強(qiáng)電場和垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從O點(diǎn)沿x軸正方向水平入射.入射速度為v0時(shí),電子沿x軸做直線運(yùn)動(dòng);入射速度小于v0時(shí),電子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1中的虛線所示,且在最高點(diǎn)與在最低點(diǎn)所受的合力大小相等.不計(jì)重力及電子間相互作用.

(1) 求電場強(qiáng)度的大小E;

解析：(1) 入射速度為v0時(shí),電子沿x軸做直線運(yùn)動(dòng),必為勻速直線運(yùn)動(dòng),由受力平衡方程可得

eE=eBv0,

E=Bv0.

(1)

(2) 由于電子入射速度小于v0,所以電子偏向y軸正方向,電場力做正功而洛倫茲力不做功,由動(dòng)能定理可得

(3) 方法1：設(shè)電子入射速度為v,能到達(dá)縱坐標(biāo)的最大值為ym,此時(shí)的速度最大為vm,由動(dòng)能定理可得

(2)

由已知條件“電子在最高點(diǎn)與在最低點(diǎn)所受的合力大小相等”可得

eBvm-eE=eE-eBv.

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)解得

(4)

由于電子入射速度在0

方法2：由于電場力在y軸方向,所以電子在x軸方向只受洛倫茲力的分力fx=eBvy,在x軸方向由動(dòng)量定理可得

∑eBvyΔt=eBym=mvm-mv.

(5)

方法3：將電子的初速度v分解為x軸正方向的v0和x軸負(fù)方向的v0-v,則電子以分速度v0做勻速直線運(yùn)動(dòng),同時(shí)以分速度v0-v做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由牛頓第二定律可得

(6)

點(diǎn)評(píng)：方法1直接利用題給條件“電子在最高點(diǎn)與在最低點(diǎn)所受的合力大小相等”,而方法2和方法3并沒有用到這個(gè)條件,說明這個(gè)已知條件是多余的.反過來講,從方法2或方法3的角度可以得出這個(gè)條件.但題中給出這個(gè)條件,降低了思維臺(tái)階,明確指向了方法1是更直觀的方法.方法2利用在某一方向僅受洛倫茲力時(shí)的動(dòng)量定理,將水平速度與豎直位移聯(lián)系起來了.方法3是基于電子的受力特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)性質(zhì),利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解,將復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)巧妙地分解為兩個(gè)簡單的運(yùn)動(dòng),通常叫作速度補(bǔ)償法、速度構(gòu)造法或配速法.

縱觀近些年高考計(jì)算題中,都會(huì)給出一個(gè)多余的已知條件,以避開方法2和方法3,降低難度.例如,2008年江蘇高考題中“已知此曲線在最低點(diǎn)的曲率半徑為該點(diǎn)到x軸距離的兩倍”,2011年福建高考題中“這些粒子在y軸方向上的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)”,2013年福建高考題中“粒子速度的x分量與其所在位置的y坐標(biāo)成正比,比例系數(shù)與場強(qiáng)大小E無關(guān)”.

2 正則動(dòng)量

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中若僅受洛倫茲力的作用,可將洛倫茲力f和速度v正交分解到直角坐標(biāo)系Oxy中,建立分量之間的關(guān)系為

fx=qBvy,fy=qBvx,

即x軸方向的分力取決于y軸方向的分速度,y軸方向的分力取決于x軸方向的分速度.利用微元法結(jié)合動(dòng)量定理可得

mΔvx=∑fxΔt=qB∑vyΔt=qBy,

mΔvy=∑fyΔt=qB∑vxΔt=qBx,

即x軸方向的速度變化取決于y軸方向的分位移,y軸方向的速度變化取決于x軸方向的分位移.現(xiàn)定義x軸方向和y軸方向的正則動(dòng)量分別為

px=mvx-qBy=mv0x=Cx,

py=mvy-qBx=mv0y=Cy,

其中Cx和Cy為常量,即x軸方向和y軸方向的初動(dòng)量.將以上兩個(gè)分量式合成為矢量式

p=mv-qr×B=mv0=C,

即帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中若僅受洛倫茲力作用,則它的正則動(dòng)量為一個(gè)常矢量,即正則動(dòng)量守恒.[1]實(shí)際應(yīng)用時(shí)往往寫成分量式,上述方法2利用了正則動(dòng)量的分量式,只需滿足x軸方向僅受洛倫茲力的條件,實(shí)質(zhì)是特殊的動(dòng)量定理分量式.相比傳統(tǒng)的畫出實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的處理方法,引入正則動(dòng)量概念可以簡化求解此類問題的數(shù)學(xué)關(guān)系,避開了復(fù)雜的軌跡描繪和幾何運(yùn)算,只需進(jìn)行始末狀態(tài)的分析,更加簡潔明晰,從宏觀上直達(dá)物理問題的本質(zhì).

3 滾輪曲線

3.1 滾輪線的特點(diǎn)和性質(zhì)

滾輪線是輪子滾出來的曲線,即輪子沿一條固定直線做純滾動(dòng)時(shí),輪子上或與輪子固連的一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,也叫作旋輪線,如圖2所示是輪子邊緣上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.在眾多曲線中,滾輪線既不是圓也不是橢圓,而是獨(dú)立于圓錐曲線之外的一種曲線.[2]從剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的角度,選擇圓心為基點(diǎn),滾輪線運(yùn)動(dòng)可以看作隨圓心的平動(dòng)和繞圓心的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成.由于圓周運(yùn)動(dòng)具有周期性,所以滾輪線也具有相同的周期性,其形狀是一拱一拱的連續(xù)曲線.

圖2 上滾輪線

如果把圖2所示的軌跡稱為上滾輪線,現(xiàn)將其繞固定直線翻轉(zhuǎn)180°而顛倒過來,得到的軌跡可稱為下滾輪線,如圖3所示.在不引起混淆的情況下,可將它們統(tǒng)稱為滾輪線.

圖3 下滾輪線

3.2 幾何法推導(dǎo)滾輪線方程

圖4 滾輪邊緣上某點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡

如圖4所示,半徑為R的滾輪從靜止開始沿一條固定直線順時(shí)針方向做無滑滾動(dòng),角速度為ω,以開始時(shí)滾輪邊緣上的某一點(diǎn)為原點(diǎn),沿固定直線為x軸,在滾輪所在的平面上建立直角坐標(biāo)系Oxy,經(jīng)過時(shí)間t,滾輪半徑轉(zhuǎn)過的圓心角為θ,則該點(diǎn)的位置坐標(biāo)可表示為

x=Rθ-Rsinθ=R(ωt-sinωt),

(7)

y=R-Rcosθ=R(1-cosωt),

(8)

即為滾輪線的參數(shù)方程,軌跡形狀與滾輪轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢無關(guān),軌跡方程只由滾輪半徑?jīng)Q定.

3.3 電子運(yùn)動(dòng)軌跡的證明

圖5 電子運(yùn)動(dòng)速度分析

方法1：初等方法.

如圖5所示,電子的初速度為v,經(jīng)過時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到某點(diǎn)(x,y),將速度分解為vx和vy,由動(dòng)量定理和動(dòng)能定理可得

eBy=mvx-mv.

(9)

eEt-eBx=mvy.

(10)

(11)

聯(lián)立式(9)～(11)整理可得軌跡方程為

(12)

方法2：微分方程.

如圖5所示,在x軸方向和y軸方向分別由牛頓第二定律可得

解以上微分方程組并結(jié)合初始條件,可得x方向和y方向的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為[5]

(13)

(14)

3.4 電子運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)的討論

3.4.1 電子運(yùn)動(dòng)的速度特點(diǎn)

由式(13)(14)對時(shí)間t求導(dǎo)可得速度方程為

(15)

(16)

由式(15)結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí),可得vx的兩個(gè)極值分別為v和2v0-v.由題中條件0

由式(15)(16)可知,x軸方向有勻速直線運(yùn)動(dòng)和簡諧運(yùn)動(dòng),y軸方向只有簡諧運(yùn)動(dòng).如果把x軸方向和y軸方向的兩個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)合成為勻速圓周運(yùn)動(dòng),那么滾輪線運(yùn)動(dòng)可以看作勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng),勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為v0,勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v0-v.另外,由于電子在最高點(diǎn)與最低點(diǎn)所受的力都在y軸方向,根據(jù)y軸方向做簡諧運(yùn)動(dòng)的對稱性特點(diǎn),所以“在最高點(diǎn)與在最低點(diǎn)所受的合力大小相等”,這正是題給的已知條件.

3.4.2 電子運(yùn)動(dòng)的加速度特點(diǎn)

由式(15)(16)對時(shí)間t求導(dǎo)可得加速度方程為

(17)

(18)

(19)

由式(17)(18)可知,在x軸方向和y軸方向都為簡諧運(yùn)動(dòng)的加速度,這是因?yàn)閯蛩僦本€運(yùn)動(dòng)

3.4.3 兩種特殊情況

(1) 當(dāng)v=v0時(shí),代入式(13)(14)可得x=v0t,y=0,即電子沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),這就是第一小題中簡單的速度選擇器模型.

(2) 假設(shè)電子的初速度為0,將v=0代入式(13)(14)可得

(20)

(21)

對比式(7)(8)(20)(21)可知,此時(shí)滾輪線是